福建省龍巖市永定第一中學(xué) 盧秀敏

數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)課的教學(xué)設(shè)計(jì)要踐行“為核心素養(yǎng)而教”的教育理念，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)課的課型特征。數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)課的教學(xué)設(shè)計(jì)既要關(guān)注教師的教學(xué)行為，引領(lǐng)教師合理創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納猜想、抽象概括、演繹證明、符號(hào)表達(dá)、構(gòu)建模型等思維過(guò)程，又要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)公式課的教學(xué)特征

數(shù)學(xué)公式是表征自然界不同事物的數(shù)量之間或相等或不相等的聯(lián)系，它確切地反映了事物內(nèi)在和外在的關(guān)系，是我們從一種事物遷移到另一種事物的依據(jù)，使我們更好地理解事物的本質(zhì)和內(nèi)涵。數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)課的教學(xué)旨在建構(gòu)正確的數(shù)學(xué)公式之間的本質(zhì)聯(lián)系，揭示數(shù)學(xué)公式之間的規(guī)律性及邏輯推理的聯(lián)系性。從教學(xué)結(jié)果來(lái)看，數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)的教學(xué)主要是讓學(xué)生掌握不同的公式運(yùn)用條件，合理運(yùn)用正確的數(shù)學(xué)公式解決問(wèn)題；從教學(xué)過(guò)程來(lái)看，數(shù)學(xué)公式的教學(xué)就是教師引領(lǐng)學(xué)生從已學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)公式中發(fā)現(xiàn)和提出合理的猜想，嚴(yán)密推理論證，獲得新數(shù)學(xué)公式，運(yùn)用新公式解決新問(wèn)題的過(guò)程。

數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)屬于規(guī)則學(xué)習(xí)，其學(xué)習(xí)過(guò)程一般包括公式的引入、公式的形成、公式的理解、公式的運(yùn)用這四個(gè)階段。數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)教學(xué)具有公式形成的過(guò)程性、公式表征的多元性、公式理解的層次性、公式運(yùn)用的操作性等基本特征。因此，數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)課的一般教學(xué)結(jié)構(gòu)是：引入公式—猜想公式—證明公式—理解公式—辨識(shí)公式—應(yīng)用公式—?dú)w納總結(jié)。

數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)教學(xué)的目標(biāo)就是獲得數(shù)學(xué)公式，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，幫助學(xué)生形成理性的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。本文以“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（第一課時(shí)）”為例展開(kāi)論述。

1.課時(shí)目標(biāo)

（1）掌握由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦、正切公式。

（2）會(huì)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、計(jì)算等。

（3）熟悉兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活運(yùn)用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法。

（4）領(lǐng)會(huì)觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、分析、論證、應(yīng)用的數(shù)學(xué)探究的基本思維方式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.課時(shí)重點(diǎn)

引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立探索和討論交流，由已學(xué)兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的其他公式，并從中了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，為靈活運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換打好基礎(chǔ)。

3.課時(shí)難點(diǎn)

兩角和與差的六個(gè)公式的靈活選用、逆用及角的變換。

4.教學(xué)條件支持

教學(xué)課件采用PPT 演示，節(jié)約板書(shū)時(shí)間，有利于知識(shí)點(diǎn)的反復(fù)呈現(xiàn)；學(xué)習(xí)卡片的制作，有利于學(xué)生及時(shí)收集、鞏固知識(shí)要點(diǎn)。

二、基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)課的課堂實(shí)錄

1.復(fù)習(xí)式導(dǎo)入

教師：回顧上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)掌握了兩角差的余弦公式：（教 師 板 書(shū)，PPT 展 示）cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，請(qǐng)大家在知識(shí)卡片上默寫(xiě)該公式。

那么，兩角和的余弦公式是什么呢？?jī)山呛团c差的正弦、正切是否有類似的公式呢？

教師板書(shū)：

cos（α+β）=

sin（α+β）=

sin（α-β）=

tan（α+β）=

tan（α-β）=

（給學(xué)生留出猜想的時(shí)間）

【設(shè)計(jì)意圖】“溫故而知新”，已學(xué)公式的再現(xiàn)，為學(xué)生以舊推新，從已知事物到未知事物的探究做足了充分準(zhǔn)備。

2.講授新課

問(wèn)題1：在學(xué)習(xí)完兩角差的余弦公式后，怎么推導(dǎo)出兩角和的余弦公式呢？

引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)公式——加法可以轉(zhuǎn)換為減法：

cos（α+β）=cos[α-（-β）]=cosαcos（-β）+sinαsin（-β）=cosαcosβ-sinαsinβ。

教師：請(qǐng)大家將兩角和的余弦公式寫(xiě)入知識(shí)卡片，并比較和與差公式的異同點(diǎn)，嘗試用一句話總結(jié)規(guī)律。

學(xué)生1：符號(hào)不同，形式相同。

學(xué)生2：公式左右兩邊的加減號(hào)不同。

教師：很好！觀察得很仔細(xì)，我們用一句話歸納為——同名函數(shù)相乘，異號(hào)連接。請(qǐng)大家完成知識(shí)卡片上的對(duì)應(yīng)練習(xí)——小試牛刀：

教師：與你的猜想相符嗎？將公式寫(xiě)入知識(shí)卡片吧！比較和與差的正弦公式的異同點(diǎn)，嘗試用一句話總結(jié)規(guī)律。

學(xué)生3：異名函數(shù)相乘，同號(hào)連接。

教師：很厲害哦！現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，模仿余弦公式的歸納語(yǔ)言，將正弦公式的特征明確指出來(lái)了。請(qǐng)大家完成知識(shí)卡片的對(duì)應(yīng)練習(xí)——小試牛刀：

教師：將知識(shí)卡片上的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式再次默記一遍，再次對(duì)照“小試牛刀”的六個(gè)小題，相信大家能夠當(dāng)場(chǎng)記住這六個(gè)公式了。

【設(shè)計(jì)意圖】人的認(rèn)知是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從低級(jí)到高級(jí)螺旋上升的過(guò)程。本環(huán)節(jié)通過(guò)適當(dāng)引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生觀察能力及應(yīng)用已學(xué)知識(shí)探索新知識(shí)的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯推理——?dú)w納、類比能力；“規(guī)律小結(jié)”能夠訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、歸納，透過(guò)現(xiàn)象抓住本質(zhì)，建立三角函數(shù)在角度轉(zhuǎn)換中的基本模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力；及時(shí)的“小試牛刀”，幫助學(xué)生及時(shí)鞏固新知，培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀想象能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

3.例題講解

教師：在我們共同探討完了兩角和與差的六個(gè)三角函數(shù)公式之后，很重要的一點(diǎn)就是學(xué)以致用，我們一起來(lái)看課本所舉的例子吧。

【設(shè)計(jì)意圖】相對(duì)前面兩道例題中都是具體角度，從數(shù)學(xué)抽象的角度出發(fā)，而選擇此題，培養(yǎng)學(xué)生由具體到抽象的轉(zhuǎn)變，加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)公式時(shí)的數(shù)學(xué)抽象能力及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；學(xué)生之間的共同探討、擇優(yōu)展示，培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)、競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)。

4.能力提升

本例題根據(jù)筆者從教的實(shí)驗(yàn)班和平衡班兩種不同層次的學(xué)情出發(fā)，可靈活安排在第一課時(shí)和第二課時(shí)的教學(xué)。

【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步提升學(xué)生應(yīng)用公式的靈活性，同時(shí)補(bǔ)充三角函數(shù)化簡(jiǎn)的重要方法——輔助角公式。在數(shù)學(xué)直觀運(yùn)算中進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的公式、規(guī)律探索，培養(yǎng)“直觀想象→數(shù)學(xué)抽象→數(shù)學(xué)建?！钡乃季S邏輯及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

5.課堂小結(jié)

教師：本節(jié)課在兩角差的余弦公式之后，推導(dǎo)出另外五個(gè)兩角和或差的三角函數(shù)公式，要求我們能熟悉兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活運(yùn)用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法。請(qǐng)大家再次用最快的速度默寫(xiě)出這節(jié)課學(xué)習(xí)的六個(gè)公式。

6.課后作業(yè)

【設(shè)計(jì)意圖】針對(duì)不同層次的學(xué)生布置不同水平的作業(yè)，因人而異地要求學(xué)生掌握課堂實(shí)效，讓學(xué)生體會(huì)收獲的喜悅，同時(shí)獲得提升能力的機(jī)會(huì)。

三、基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)課的教學(xué)反思

1.注重夯實(shí)基礎(chǔ)，強(qiáng)化公式整合

使用教材，這既是執(zhí)教教師分內(nèi)的事，也是執(zhí)教教師將學(xué)科核心素養(yǎng)具體落地的責(zé)任。教師應(yīng)基于教材，設(shè)計(jì)“思維過(guò)程的教學(xué)”，以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程為載體，以合適的問(wèn)題、適時(shí)的切入點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生的思維活動(dòng)，讓學(xué)生在教師的啟發(fā)下經(jīng)歷數(shù)學(xué)公式的類比—猜想—論證—?dú)w納—建模的思維過(guò)程，在課堂教學(xué)過(guò)程中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、發(fā)展數(shù)學(xué)能力。

2.強(qiáng)化邏輯推理，提高思維能力

數(shù)學(xué)是理性思維的體操，數(shù)學(xué)教師最核心的工作就是教會(huì)學(xué)生如何數(shù)學(xué)地思考。教學(xué)中，教師要“明化思維”，簡(jiǎn)單明了地引領(lǐng)數(shù)學(xué)思維歷程，使學(xué)生通過(guò)示范+模仿形成自己的思路，提高數(shù)學(xué)思考和靈活應(yīng)用公式的能力。同時(shí)，通過(guò)相應(yīng)的題組訓(xùn)練，使學(xué)生對(duì)公式本質(zhì)形成進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和應(yīng)用，從求值或化簡(jiǎn)的過(guò)程中自覺(jué)、自然地學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，逐步形成數(shù)學(xué)建模的能力。

3.提升教師水平，發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)要注意突出數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué)，即在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)公式的提出、形式、本質(zhì)，從而把握數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)特有的思維方式，鑒賞數(shù)學(xué)之美，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教學(xué)設(shè)計(jì)的過(guò)程中，從目標(biāo)設(shè)計(jì)到問(wèn)題拋出，從規(guī)律探究到實(shí)例運(yùn)用，都是對(duì)教師教學(xué)能力的考查。授課過(guò)程的具體展示，教師需根據(jù)學(xué)情，合理整合各類資源，充分利用教學(xué)條件（PPT、實(shí)物投影、學(xué)習(xí)卡片等），幫助學(xué)生及時(shí)鞏固數(shù)學(xué)公式，靈活運(yùn)用公式，達(dá)成預(yù)期學(xué)習(xí)效果。