丁愛瓊

【摘 要】 本文以圓錐曲線中的雙曲線、拋物線為例，闡述學(xué)生動手實(shí)踐的操作步驟和形成概念所經(jīng)歷的思考過程，以及動手實(shí)踐對培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的意義。通過實(shí)踐，總結(jié)出圓錐曲線單元的教學(xué)模式。

【關(guān)鍵詞】 動手;實(shí)踐;數(shù)學(xué);核心素養(yǎng)

高中階段的數(shù)學(xué)教育目的是幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界。

首都師范大學(xué)的王尚志老師對于在教學(xué)中如何落實(shí)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)給出建議：“整體把握學(xué)科課程，抓住學(xué)科本質(zhì)，進(jìn)行單元（主題）教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)?！毕旅嫖乙詧A錐曲線單元教學(xué)為例，通過課堂教學(xué)和反思，闡述學(xué)生動手實(shí)踐的操作步驟和形成概念所經(jīng)歷的思考過程，以及動手實(shí)踐對培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的意義。

課本在圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的教學(xué)中，橢圓是用細(xì)繩作為工具，畫出橢圓圖形，進(jìn)而讓學(xué)生在畫出圖形中尋找橢圓上點(diǎn)的幾何特征，從而總結(jié)歸納橢圓定義。雙曲線是用拉鏈作為工具，畫出雙曲線圖形，進(jìn)而讓學(xué)生在畫出圖形中尋找雙曲線上點(diǎn)的幾何特征，從而總結(jié)歸納雙曲線定義。拋物線則是用多媒體技術(shù)“幾何畫板”作為工具，畫出拋物線，進(jìn)而讓學(xué)生在畫出圖形中尋找拋物線上點(diǎn)的幾何特征，從而總結(jié)歸納拋物線定義。

在多年的一線教學(xué)工作中，我也一直用這個(gè)方法處理概念形成。由于我校多媒體設(shè)備不錯(cuò)，在橢圓和雙曲線的教學(xué)中，我也用“幾何畫板”進(jìn)行了生動直觀的教學(xué)，學(xué)生也感受到了概念的形成和認(rèn)識了概念?；谖覅⑴c研究的課題《單元教學(xué)法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐研究》，讓我有機(jī)會在兩個(gè)不同的學(xué)校就雙曲線和拋物線這兩個(gè)內(nèi)容進(jìn)行同課異構(gòu)，為更好地在數(shù)學(xué)課堂中落實(shí)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行了深入的思考和實(shí)踐。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)中的概念形成環(huán)節(jié)（雙曲線定義引入）

（一）創(chuàng)設(shè)情景，引入課題

1.知識回顧

問題1：橢圓的定義是什么？

問題2：若把橢圓定義中的“與兩定點(diǎn)的距離的和”改為“距離的差”，這時(shí)軌跡又是什么呢？

2.動手作圖，觀察動畫

通過動手實(shí)踐、觀察，猜想軌跡為雙曲線，用幾何畫板展示動態(tài)生成軌跡的全過程，印證猜想。

第一步：在定圓F1的右半圓上（左半圓上）任取一點(diǎn)P1;

第二步：將白紙對折，使P1和F2重合并留下一條折痕;

第三步：用虛線連接P1和F1 ，并延長交折痕于M1 ;

第四步：在右半圓上（左半圓上）依次任取點(diǎn)P2 ，P3，P4，重復(fù)第二步和第三步，得到點(diǎn)M2 ，M3，M4，這些點(diǎn)能連成一個(gè)很美的圖形。

思考：（1）線段|PF2|與折痕的關(guān)系？

（2）與的關(guān)系？

（3）與的關(guān)系？

（二） 探究發(fā)現(xiàn)，挖掘新知

首先，歸納定義：=2a（常數(shù)）。接著讓學(xué)生探究常數(shù)2a的取值情況，得出常數(shù)2a在什么范圍時(shí)圖形才是雙曲線。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)的意義

1.讓每個(gè)學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動中提升直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

課本的實(shí)踐活動中，拉鏈不是每個(gè)學(xué)生都有，參與實(shí)踐的只是老師，并且老師在拉鏈實(shí)踐中動作太快，學(xué)生沒有看清楚發(fā)生什么，就草草引出了定義，學(xué)生是被動地獲得知識（定義）。有老師也嘗試讓學(xué)生拉拉鏈，但是，實(shí)際操作中拉鏈并不好弄，也看不出點(diǎn)的幾何特征，學(xué)生還是被動。而我進(jìn)行如上教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生親自動手畫圖，可以人人參與動手實(shí)踐，使數(shù)學(xué)課堂更活躍，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有趣，讓每個(gè)學(xué)生都感受了幾何圖形的對稱美，讓學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能更好地落實(shí)在課堂教學(xué)中，也鞏固了學(xué)生幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)策略——畫圖研究更有利于解題，提高了學(xué)生畫圖解題的考試策略。這點(diǎn)原本在直線和圓的學(xué)習(xí)中體現(xiàn)得更明顯，在這里再次畫圖，也是加強(qiáng)學(xué)生畫圖的習(xí)慣，讓學(xué)生更好地用數(shù)學(xué)符號表達(dá)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)圖形理解數(shù)學(xué)，并解決數(shù)學(xué)問題。比如以下兩道高考題，用畫圖就可以非常迅速地解出答案。

2.數(shù)學(xué)實(shí)踐活動后，需要明確思考的方向和思考的目標(biāo)，清楚實(shí)踐活動對于完成教學(xué)任務(wù)（總結(jié)定義）的作用

課本一般就一句話：通過畫圖，請你總結(jié)雙曲線中點(diǎn)的幾何特征。經(jīng)過實(shí)踐研究，學(xué)生基本不能回答這個(gè)問題。因?yàn)閹缀翁卣鲉栴}太泛，我們的學(xué)生沒有這么高的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。結(jié)合我校學(xué)生實(shí)際，在實(shí)踐活動后，需要學(xué)生總結(jié)歸納出概念，這是為了鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和總結(jié)概括能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。為了更好地在課堂中落實(shí)這一核心素養(yǎng)，在畫完圖形后的思考題中，我用問題串的形式，給出了學(xué)生明確的思考方向，讓學(xué)生知道畫出的眾多點(diǎn)、線中，這節(jié)課要研究的是哪些點(diǎn)、線，具有哪些幾何特征。給每個(gè)學(xué)生動手實(shí)踐、參與課堂的機(jī)會，也讓每個(gè)學(xué)生都進(jìn)行了有意義的思考，進(jìn)而總結(jié)歸納出雙曲線的定義。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)的反思與再次實(shí)踐

在南寧市第三十三中學(xué)和武鳴高中都上了《雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程》。這兩所高中都是南寧市的示范性高中，作為南寧市第三十三中學(xué)老師，代表我校去武鳴高中參加同課異構(gòu)活動。我先在我校進(jìn)行了磨課，我的教學(xué)設(shè)計(jì)看起來很理性，老師的設(shè)計(jì)初衷也不錯(cuò)。但是，在40分鐘的現(xiàn)場課堂教學(xué)中，光是讓學(xué)生畫圖就花了15分鐘，導(dǎo)致我未完成這節(jié)課的教學(xué)任務(wù)（定義和標(biāo)準(zhǔn)方程）。和組內(nèi)老師交流后，我們決定將作圖環(huán)節(jié)提前到上課前，也就是在課前預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)，就給學(xué)生布置作圖任務(wù)并完成作圖后的思考題。將作圖環(huán)節(jié)提前而不是取消，我們認(rèn)為課外讓學(xué)生動手畫圖，更有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的動手實(shí)踐帶來的樂趣，和同學(xué)分享成果的喜悅，感受數(shù)學(xué)圖形的對稱美，感受幾何中點(diǎn)、線特征如何轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號，并逐步總結(jié)出定義這些概念形成的過程。這一親身經(jīng)歷對于學(xué)生來說也將是難忘的。將這一環(huán)節(jié)提前到課前，學(xué)生的時(shí)間多了，學(xué)生作出的圖形更漂亮。以下是學(xué)生的作圖。

四、拋物線定義引入

通過這次《雙曲線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程》的教學(xué)設(shè)計(jì)的嘗試，使我對于課堂教學(xué)中如何更好地落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有了更深刻的體會?；谶@樣的想法，我同樣對《拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程》的概念形成做了如下教學(xué)設(shè)計(jì)：

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

籃球明星姚明精準(zhǔn)投籃，究竟是怎樣的曲線才能使得籃球精準(zhǔn)地投入籃筐呢？

（二）師生探究，抽象定義

1. 動手實(shí)驗(yàn)

（1）已知定點(diǎn)F和定直線l，請同學(xué)們按照下列步驟作圖：

第一步：在定直線l上任取一點(diǎn) H1;

第二步：過點(diǎn)H1作直線l的垂線n1;

第三步：作線段H1F的垂直平分線m1交n1于點(diǎn)M1 ;

第四步：在定直線l上依次任取點(diǎn)H2，H3，H4，H5，重復(fù)第二步和第三步，得到點(diǎn)M2，M3，M4，M5， 將這些點(diǎn)用光滑的曲線連接。

（2）思考：①線段H1F垂直平分線上的點(diǎn)M1 有什么特點(diǎn)？列出點(diǎn)M1 具有的關(guān)系式。

②點(diǎn)M1 到直線l的距離d與 |M1H1|是否相等？

③點(diǎn)M1 到直線l的距離d與|M1F|是否相等？

（3）結(jié)論：曲線上的任意點(diǎn)M滿足的關(guān)系式是_。

2. 結(jié)合信息技術(shù)幾何畫板，動態(tài)作圖

作圖步驟：

（1）點(diǎn)F是定點(diǎn);

（2）l是不經(jīng)過點(diǎn) F 的定直線;

（3）H是l上任意一點(diǎn);

（4）過點(diǎn)H作直線l的垂線n ;

（5）作線段FH的垂直平分線m交n于點(diǎn)M ;

（6）拖動點(diǎn)H，觀察點(diǎn)M的軌跡。

3.歸納定義，探究發(fā)現(xiàn)

定義：我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線，定點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線。

探究：已知定點(diǎn)F和定直線l的位置情況。結(jié)論：定點(diǎn)F不在定直線l上，作出的圖形才是拋物線。

這樣設(shè)計(jì)還是畫圖，三十三中學(xué)生經(jīng)歷了雙曲線的作圖后，再次操作類似的作圖環(huán)節(jié)，學(xué)生動手能力提高了。這個(gè)作圖環(huán)節(jié)直接在課堂進(jìn)行，只花了5分鐘就完成了作圖，學(xué)生也能準(zhǔn)確總結(jié)出拋物線定義。以下是學(xué)生作圖。

帶著這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)，我去參加了上林中學(xué)的《拋物線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程》的同課異構(gòu)活動。上林中學(xué)是上林縣的重點(diǎn)高中，上林中學(xué)的學(xué)生大部分是城鎮(zhèn)或農(nóng)村孩子，他們在初中平面幾何的學(xué)習(xí)中，并未積累相應(yīng)水平的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（作圖能力），對于畫圖比較陌生，學(xué)習(xí)中動手實(shí)踐更是少之又少，也正是由于他們這方面較弱，所以我們才更堅(jiān)持在課堂上讓學(xué)生現(xiàn)場作圖。學(xué)生第一次作圖，的確非常不習(xí)慣，動手能力較弱，花了10分鐘才有學(xué)生作出比較完整的圖形，作圖后的思考題也沒能準(zhǔn)確回答，歸納總結(jié)不順暢，還是需要老師點(diǎn)撥。但是，課后和該校老師交流，也覺得平時(shí)他們的動手實(shí)踐少了，平時(shí)課堂講太多，給學(xué)生的感悟時(shí)間太少，不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

五、通過實(shí)踐獲得圓錐曲線單元教學(xué)模式

國家提出學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，我認(rèn)為必須要根據(jù)學(xué)生學(xué)情制訂適合學(xué)生的課堂模式，才能在課堂教學(xué)中更好地落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，經(jīng)過在不同的學(xué)校實(shí)地進(jìn)行了圓錐曲線不同內(nèi)容的教學(xué)，對于圓錐曲線單元的教學(xué)，我總結(jié)出如下的課堂教學(xué)模式：實(shí)例引入，動手實(shí)踐，多媒體“幾何畫板”展示，總結(jié)定義，推導(dǎo)方程，運(yùn)用定義和方程，課堂小結(jié)，課后作業(yè)。實(shí)例引入激發(fā)學(xué)生興趣，發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)美;動手實(shí)踐人人參與，感受數(shù)學(xué)圖形對稱美;多媒體“幾何畫板”展示，體會信息技術(shù)功能的強(qiáng)大;總結(jié)定義，感悟數(shù)學(xué)的抽象、數(shù)學(xué)符號的簡潔美;推導(dǎo)方程，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性;運(yùn)用定義和方程解題，靈活熟練使用知識，更好地評價(jià)自我;課堂小結(jié)，回顧整節(jié)課的數(shù)學(xué)經(jīng)歷，總結(jié)知識，加深印象;課后作業(yè)，檢測學(xué)習(xí)效果，完善自我，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

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