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        有關(guān)利用軸對(duì)稱求最小值的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

        2016-02-09 08:58:16鄧曉飛
        新課程(中學(xué)) 2016年1期

        鄧曉飛

        (江蘇省張家港市塘市初級(jí)中學(xué))

        有關(guān)利用軸對(duì)稱求最小值的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

        鄧曉飛

        (江蘇省張家港市塘市初級(jí)中學(xué))

        例1.如下圖,牧童在A處放牛,其家在B處,A、B到河岸的距離分別為AC、BD,已知AC=200米,BD=600米,且CD=600米.

        (1)牧童從A處放牛牽到河邊飲水后再回家,試問(wèn)在何點(diǎn)處飲水,所走路程最短?

        (2)最短路程是多少?

        【考點(diǎn)】軸對(duì)稱—最短路線問(wèn)題.

        【分析】(1)要求牧童行駛距離最短的飲水點(diǎn)P,除非AP、BP的和為兩定點(diǎn)之間的距離,也即是P在兩定點(diǎn)F、B的連線上.

        (2)作BE⊥BD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求得AE=BD+AC=600+ 200=800 m,BE=CD=600 m,然后根據(jù)勾股定理求出FB的長(zhǎng).

        【解答】解:(1)作點(diǎn)A關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)F,連接BF交CD于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所求,此時(shí)PA+PB=BF,BF就是最短路程.

        (2)作BE⊥BD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,如圖所示,

        由題意得AE=BD+AC=600+200=800m,BE=CD=600m

        所以最短路程為1000米.

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最短路徑的數(shù)學(xué)問(wèn)題.這類問(wèn)題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間,線段最短”,可以利用對(duì)稱的性質(zhì),通過(guò)等線段代換,將所求路線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離.

        例2.如下圖,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5.若點(diǎn)M、N分別是線段AC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則BM+MN的最小值為 ( )

        【考點(diǎn)】軸對(duì)稱—最短路線問(wèn)題.

        【分析】過(guò)B點(diǎn)作AC的對(duì)稱點(diǎn)E點(diǎn),過(guò)E作EN垂直AB交AB于N點(diǎn),EN就是所求的線段.從下圖中可以看出EH、EG的長(zhǎng)都比EN長(zhǎng)。

        【解答】解:過(guò)B點(diǎn)作AC的對(duì)稱點(diǎn)E點(diǎn),過(guò)E作EN垂直AB交AB于N點(diǎn),AC=5

        故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查最短路徑問(wèn)題,關(guān)鍵確定何時(shí)路徑最短,然后運(yùn)用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求得解.

        ·編輯 孫玲娟

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