張琛良，趙 鑫

(貴州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

0 引 言

由于安裝原因或運(yùn)行不當(dāng)，傳動(dòng)系統(tǒng)容易發(fā)生變形，導(dǎo)致齒輪副發(fā)生錯(cuò)位。而這一錯(cuò)位會(huì)造成齒輪的齒面受力不均勻，局部區(qū)域產(chǎn)生應(yīng)力集中，造成額外的動(dòng)載荷，使齒輪產(chǎn)生齒面點(diǎn)蝕、齒根裂紋，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致齒輪失效。

針對(duì)幾種齒輪的裝配故障，許多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)的研究。KUMAR[1]研究了軸向、徑向與角度錯(cuò)位對(duì)齒輪嚙合面積的影響；GUO[2]研究了齒隙與中心距變化對(duì)齒背側(cè)嚙合剛度函數(shù)中相位滯后的影響；SAXENA[3]基于計(jì)算機(jī)仿真求解直齒圓柱齒輪副總有效嚙合剛度的方法，研究了齒輪副的偏轉(zhuǎn)和摩擦對(duì)時(shí)變嚙合剛度的影響；YE[4]考慮了齒輪尖角接觸與軸不對(duì)中的條件，分析了齒輪副接觸應(yīng)力變化狀態(tài)；LI[5]對(duì)軸偏差齒輪嚙合進(jìn)行了模擬實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)齒輪出現(xiàn)軸偏差時(shí)，主頻率為嚙合頻率的2～3倍頻，其調(diào)制頻率為輸入軸轉(zhuǎn)頻與輸出軸轉(zhuǎn)頻，且相對(duì)于無故障時(shí)沖擊明顯增大，調(diào)制頻率增大；吳紅玉[6]分析了角度錯(cuò)位引起的應(yīng)力分布，分析結(jié)果表明，當(dāng)發(fā)生角度錯(cuò)位時(shí)，齒輪接觸面積與偏差角成正比，齒根一側(cè)應(yīng)力增大量與偏轉(zhuǎn)角度增大量成正比，而齒根另一側(cè)的應(yīng)力減??；林家春[7]研究了偏置距對(duì)齒面?zhèn)鲃?dòng)誤差的影響，得出齒輪向上偏差對(duì)傳動(dòng)誤差影響較小的結(jié)論；許鳳華[8]研究了偏載對(duì)齒輪齒條嚙合的影響，結(jié)果表明，偏載增加了齒輪的應(yīng)力集中，增加了齒輪損壞的風(fēng)險(xiǎn)；CHAARI[9]提出了采用勢(shì)能法來求解齒輪嚙合剛度的計(jì)算方法，并對(duì)此進(jìn)行了研究，結(jié)果表明，勢(shì)能法能夠很準(zhǔn)確地計(jì)算故障齒輪的嚙合剛度。

筆者在總結(jié)前人研究成果的基礎(chǔ)上，對(duì)采用勢(shì)能法求解嚙合剛度的方法進(jìn)行改進(jìn)，使其能夠計(jì)算錯(cuò)位故障時(shí)的嚙合剛度，并用該方法對(duì)徑向、軸向、角度錯(cuò)位進(jìn)行分析，最后與仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，為齒輪的錯(cuò)位故障診斷提供理論依據(jù)。

1 幾種裝配故障

在齒輪的安裝或運(yùn)行過程中，會(huì)出現(xiàn)的裝配故障大致可以分為3種：

(1)軸向錯(cuò)位。軸向錯(cuò)會(huì)使接觸線長(zhǎng)變短，全部受力集中在接觸區(qū)，導(dǎo)致接觸部分受力變大，更容易發(fā)生點(diǎn)蝕、裂紋等故障；

(2)徑向錯(cuò)位。齒輪在設(shè)計(jì)制造時(shí)，會(huì)將齒隙考慮進(jìn)去，以滿足潤(rùn)滑、偏轉(zhuǎn)、制造誤差和熱膨脹的需要；但徑向錯(cuò)位會(huì)使齒輪齒側(cè)的間隙變大，齒側(cè)間隙過大時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)脫齒現(xiàn)象，增大沖擊載荷，使齒輪運(yùn)行變得不平穩(wěn)，特別是在齒輪箱的啟動(dòng)或反向運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)出現(xiàn)巨大沖擊，縮短齒輪箱的運(yùn)行壽命；

(3)角度錯(cuò)位。角度錯(cuò)位會(huì)改變齒輪接觸的線長(zhǎng)與受力，角度錯(cuò)位的主要原因是由軸的不平行引起的，這會(huì)使兩平行齒面出現(xiàn)夾角，導(dǎo)致沿齒面?zhèn)鬟f的載荷分布不均勻，在齒面一側(cè)出現(xiàn)應(yīng)力集中，而另一側(cè)分離，長(zhǎng)時(shí)間的不對(duì)中容易導(dǎo)致輪齒突然斷裂。

2 勢(shì)能法求解齒輪嚙合剛度原理

筆者應(yīng)用勢(shì)能法求解齒輪時(shí)變嚙合剛度，勢(shì)能法計(jì)算精度較高。勢(shì)能法求解齒輪嚙合剛度包括4個(gè)部分：赫茲能Uh、彎曲勢(shì)能Ub、徑向壓縮變形能Us、剪切變形能Ua。

齒輪受力圖如圖1所示。

圖1 齒輪受力示意圖

勢(shì)能法求解原理如下式所示：

(1)

式中：F—齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力，方向沿嚙合線方向；d—嚙合點(diǎn)距基圓的距離；Fa，F(xiàn)b—F在x、y向分量；E—彈性模量；Ix—面積慣性矩；Ax—輪齒截面積；α1—任一時(shí)刻壓力角；L—齒輪接觸線長(zhǎng)；z1，z2—主、從動(dòng)齒輪齒數(shù)。

式(1)中的各個(gè)參數(shù)如下式所示：

(2)

將式(1，2)進(jìn)行整理后可得：

(3)

則一對(duì)齒輪的綜合嚙合剛度為：

(4)

式中：kb—齒輪彎曲剛度；ka—剪切變形剛度；ks—徑向壓縮變形剛度；kf—柔性變形剛度，角標(biāo)1，2分別代表主動(dòng)輪與從動(dòng)輪。

3 3種裝配故障嚙合剛度變化

接下來對(duì)3種裝配故障導(dǎo)致的齒輪嚙合剛度變化分別進(jìn)行計(jì)算。

取齒輪副齒數(shù)分別為：z1/z2=34/50，模數(shù)m=4，壓力角α=20°，齒寬b=40 mm。

無故障時(shí)的齒輪嚙合剛度變化如圖2所示。

圖2 無故障狀態(tài)下的嚙合剛度

由圖2可知：嚙合剛度是隨齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)周期變化的函數(shù)；齒輪內(nèi)部的激勵(lì)造成了齒輪箱運(yùn)行時(shí)的振動(dòng)，而當(dāng)齒輪發(fā)生故障時(shí)其振動(dòng)形式發(fā)生改變。

3.1 軸向錯(cuò)位

當(dāng)齒輪發(fā)生軸向錯(cuò)位時(shí)，接觸面積的變化使接觸線長(zhǎng)L發(fā)生變化，變?yōu)長(zhǎng)c=L-ΔL，ΔL—軸向錯(cuò)位距離。式(1)中橫截面積Ax與面積慣性矩Ix發(fā)生變化，其表達(dá)式分別為：

(5)

將式(5)代入式(4)，可得到軸向錯(cuò)位嚙合剛度變化情況，如圖3所示。

圖3 軸向錯(cuò)位時(shí)的嚙合剛度

當(dāng)齒輪發(fā)生軸向錯(cuò)位時(shí)，時(shí)變嚙合剛度隨著錯(cuò)位距離的增加等比例的減小，這與之前分析得到的結(jié)果相同；軸向錯(cuò)位相當(dāng)于齒輪齒寬減小，而時(shí)變嚙合剛度的減小表現(xiàn)為幅值的減小。

3.2 徑向錯(cuò)位

當(dāng)齒輪發(fā)生徑向錯(cuò)位時(shí)，嚙合面積發(fā)生變化，輪齒背側(cè)不再接觸，齒輪中心距變?yōu)閍c=a+Δc,其中：Δc—齒輪沿徑向錯(cuò)位距離。

由漸開線齒廓特征可知：齒輪相鄰兩齒同側(cè)齒廓在嚙合線上的齒矩等于基圓節(jié)距弧，即使中心距發(fā)生變化，齒輪在嚙合線上的齒矩保持不變，齒輪依然可以保證嚙合。

但中心距變大后，齒輪嚙合角變大。由齒輪重合度公式可知，齒輪重合度變小，如下式所示：

(6)

式中：αa—齒輪齒頂圓壓力角；α′—嚙合角。

中心距變動(dòng)后的齒輪嚙合角為：

(7)

齒輪重合度變小的原因是由于齒輪有效嚙合面積變小，即齒輪開始進(jìn)入嚙合的點(diǎn)向齒頂靠近。公式(2)中，時(shí)變嚙合剛度算法中的α取值范圍發(fā)生變化，變化量的算法如下：

從動(dòng)輪齒頂圓與嚙合線交點(diǎn)為主動(dòng)輪開始進(jìn)入嚙合的最低點(diǎn)，徑向錯(cuò)位嚙合示意圖如圖4所示。

圖4 徑向錯(cuò)位嚙合示意圖

根據(jù)圖4可知：

根據(jù)圖4中各參數(shù)，可求得O1B的長(zhǎng)度為：

(8)

式中：ra—齒頂圓半徑；rb—基圓半徑，角標(biāo)1，2分別代表主動(dòng)齒輪與從動(dòng)齒輪。

根據(jù)O1B的長(zhǎng)度，可求得α1的下限為：

(9)

α1的上限不變，則α1的取值范圍為：

將式(8，9)代入式(3，4)中，可得到齒輪發(fā)生徑向錯(cuò)位時(shí)的嚙合剛度變化情況，如圖5所示。

圖5 徑向錯(cuò)位時(shí)的嚙合剛度

當(dāng)齒輪發(fā)生徑向錯(cuò)位時(shí)，齒輪中心距發(fā)生變化，導(dǎo)致重合度減小；由于漸開線齒輪的嚙合關(guān)系，重合度的減小不會(huì)影響齒輪的正常嚙合，只是使單齒嚙合時(shí)間縮短。

因此，當(dāng)齒輪發(fā)生徑向錯(cuò)位時(shí)，嚙合剛度的變化形式表現(xiàn)為：剛度曲線相位的偏移以及幅值的減小。

3.3 角度錯(cuò)位

當(dāng)齒輪發(fā)生角度錯(cuò)位時(shí)，齒輪接觸面積如圖6所示。

圖6 角度錯(cuò)位時(shí)齒輪接觸面積

由圖6可以看出：

(1)兩齒輪軸不再平行，呈一定的錯(cuò)位角；(2)兩齒輪一側(cè)接觸，另一側(cè)處于分離狀態(tài)，齒輪接觸面積由矩形變?yōu)?次曲線；(3)其受力也不再均勻，受力呈拋物線型。

齒輪受到扭矩時(shí)，一部分能量會(huì)以扭轉(zhuǎn)能的形式被儲(chǔ)存在齒輪中，被儲(chǔ)存在齒輪中的扭轉(zhuǎn)能可表示為：

(10)

式中：T—齒輪由于角度偏差所受扭矩，T=Ftt；t—載荷作用點(diǎn)與齒輪中線的距離；kτ—扭轉(zhuǎn)剛度；Ipx—距齒根距離為x的截面的極慣性矩；Ft—軸向力，F(xiàn)t=Fcosαcosθ。

(11)

齒輪的接觸線長(zhǎng)由其偏轉(zhuǎn)角θ決定，偏轉(zhuǎn)角越大則接觸線長(zhǎng)越小。接觸線長(zhǎng)L′可由下式計(jì)算[10]得到：

(12)

式中：Cz—彈性常數(shù)；fRW—方向誤差。

扭轉(zhuǎn)剛度為：

(13)

原齒輪時(shí)變嚙合剛度變?yōu)椋?/p>

k=

(14)

齒輪發(fā)生角度錯(cuò)位時(shí)的時(shí)變嚙合剛度如圖7所示。

由圖7可知：

(1)當(dāng)發(fā)生角度錯(cuò)位時(shí)，即使微小的角度偏差也會(huì)導(dǎo)致齒輪嚙合線發(fā)生很大的變化，接觸面積由最初的矩形變?yōu)閽佄锞€形；(2)角度偏差會(huì)導(dǎo)致齒輪一側(cè)遭受很大的壓力，而齒輪另一側(cè)發(fā)生分離，造成嚴(yán)重的受力不平衡；(3)隨著角度偏差的出現(xiàn)，嚙合剛度急劇減?。磺耶?dāng)角度增大時(shí)，嚙合剛度的減小過程變得緩慢。

對(duì)比以上3種錯(cuò)位形式可知：

(1)角度錯(cuò)位對(duì)嚙合剛度影響最大，即使是非常微小的角度錯(cuò)位也會(huì)引起嚙合剛度巨大的降低；(2)對(duì)嚙合剛度影響大的其次是徑向錯(cuò)位；(3)對(duì)嚙合剛度影響最小的是軸向錯(cuò)位。

4 仿真分析

筆者建立齒輪有限元模型，主動(dòng)齒輪順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，齒輪正處于單齒嚙合狀態(tài)。

在邊界條件與載荷施加完畢后，主動(dòng)齒輪旋轉(zhuǎn)角度與剛度計(jì)算公式如下：

(15)

(16)

式中：T—主動(dòng)輪扭矩；dθ—主動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)角度；Km—扭轉(zhuǎn)剛度；rb—基圓半徑；K(t)—直線剛度。

筆者將主動(dòng)齒輪嚙合角在區(qū)間(-0.459,0.064)內(nèi)等分成27份，并根據(jù)嚙合角計(jì)算齒輪轉(zhuǎn)過角度θn，將模型旋轉(zhuǎn)θn繼續(xù)測(cè)值，得到嚙合剛度曲線；并對(duì)軸向錯(cuò)位2 mm、徑向錯(cuò)位2 mm、角度錯(cuò)位0.2°，以同樣的方法通過仿真得到的模型如圖8所示。

圖8 仿真模型對(duì)比

圖8(a)中，將得到健康的嚙合剛度曲線與筆者提出的方法進(jìn)行對(duì)比可知，曲線下方面積誤差在0.568%以內(nèi)。由此可見，該方法是有效的；

圖8(b)中，通過徑向錯(cuò)位故障與無錯(cuò)位嚙合剛度的對(duì)比可知，仿真分析與理論計(jì)算得到的趨勢(shì)相同；

圖8(c)展示了幾種錯(cuò)位故障與無錯(cuò)位嚙合剛度對(duì)比，從圖中也可以明顯看出幾種錯(cuò)位對(duì)嚙合剛度的影響大小。

5 結(jié)束語

由于齒輪副的安裝或運(yùn)行不當(dāng)，導(dǎo)致傳動(dòng)系統(tǒng)發(fā)生變形、齒輪副發(fā)生錯(cuò)位，造成齒輪副運(yùn)行不穩(wěn)定的問題，筆者對(duì)齒輪副的徑向錯(cuò)位、軸向錯(cuò)位、角度錯(cuò)位3種裝配故障進(jìn)行了分析，對(duì)3種裝配故障情況下嚙合剛度的變化情況進(jìn)行了計(jì)算，并得出以下結(jié)論：

(1)3種錯(cuò)位均會(huì)導(dǎo)致齒輪嚙合面積的減小，其中，角度錯(cuò)位對(duì)嚙合面積的減小量最多，徑向錯(cuò)位其次；

(2)對(duì)比3種嚙合剛度曲線可知，3種錯(cuò)位均會(huì)使嚙合剛度有不同程度的降低，其中，角度錯(cuò)位最為明顯，其次是徑向錯(cuò)位，影響最小的是軸向錯(cuò)位；

(3)將理論計(jì)算模型與有限元模型進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了理論模型的準(zhǔn)確性。

該結(jié)果為后續(xù)故障狀態(tài)下，進(jìn)行齒輪箱動(dòng)力學(xué)模型的計(jì)算提供了基礎(chǔ)。