曹宣

(常州市新北區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué))

一般行程類應(yīng)用題的解決都是按照行程的先后順序或列表分析，或畫線段圖分析，但有些題目因數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，利用“倒帶”原理解決起來更加簡捷。所謂“倒帶”就是把行程問題中的研究對象由終點(diǎn)向起點(diǎn)進(jìn)行逆向運(yùn)動(dòng)，猶如電影播放中的倒帶模式，從中獲取更多的題目信息，進(jìn)而解決應(yīng)用題。

問題1.(第十屆時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)數(shù)學(xué)文化藝術(shù)節(jié))甲、乙兩船分別從A、B兩港同時(shí)出發(fā)，勻速相向而行，上午8點(diǎn)在途中相遇，上午9點(diǎn)甲船抵達(dá)B港，中午12點(diǎn)乙船抵達(dá)A港，兩船出發(fā)時(shí)間是_________________。

分析：本題中只有三個(gè)時(shí)間點(diǎn)8時(shí)、9時(shí)、12時(shí)，因甲、乙兩船的速度和A、B兩港之間的路程都未知，造成相關(guān)量表示困難，等量關(guān)系也不明顯。原行程“倒帶”為：中午12點(diǎn)乙船從A港出發(fā)，3個(gè)小時(shí)后(9點(diǎn))甲船從B港出發(fā)，勻速相向而行，1個(gè)小時(shí)后(8點(diǎn))兩船相遇，相遇后繼續(xù)前行，兩船同時(shí)到港。“倒帶”形成的逆向運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)出行程問題中的典型的“相遇問題”，由此可以得到第一個(gè)等量關(guān)系：乙船4個(gè)小時(shí)行駛的路程+甲船1個(gè)小時(shí)行駛的路程=兩港之間總路程。并且因逆向運(yùn)動(dòng)中兩船同時(shí)到達(dá)，不容易因中途的相遇而把每艘船的整體運(yùn)動(dòng)割裂開來，有利于發(fā)現(xiàn)其中所蘊(yùn)含的類似于“工程問題”中把總路程設(shè)為單位1，可以借助行駛時(shí)間表示兩船的速度，由乙船提前3小時(shí)出發(fā)可以發(fā)現(xiàn)第二個(gè)等量關(guān)系：乙船行駛整個(gè)路程的時(shí)間=甲船行駛整個(gè)路程的時(shí)間+3。

解：設(shè)甲船行駛整個(gè)路程的時(shí)間為x小時(shí)，則乙船行駛整個(gè)路程的時(shí)間為(x+3)小時(shí)，把兩港之間總路程看做1，則甲船的速度為，乙船的速度為。

解方程得：x=3。

答案：原題中兩船出發(fā)的時(shí)間為上午6點(diǎn)。

問題2.張老師騎摩托車的速度為每小時(shí)45千米，學(xué)生步行的速度是每小時(shí)5千米，學(xué)校與車站相距15千米，如果兩名學(xué)生要在55分鐘內(nèi)從學(xué)校到車站，請張老師用摩托車送，但摩托車的后座只能坐一人，學(xué)生不能駕車，請你設(shè)計(jì)一個(gè)方案(學(xué)生只能步行或坐摩托車，上下摩托車的時(shí)間不計(jì))使兩名學(xué)生能在最短時(shí)間內(nèi)全部到達(dá)車站，并用方程的知識(shí)求出這個(gè)最短時(shí)間。

分析：為了使兩名學(xué)生在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)車站，方案如下：張老師帶甲同學(xué)騎摩托車，乙同學(xué)步行，同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，張老師將甲同學(xué)送到距離車站一定距離的地方返回，與乙同學(xué)相遇后再帶上乙同學(xué)駛向車站，最后與步行前進(jìn)的甲同學(xué)同時(shí)到達(dá)車站。為了實(shí)現(xiàn)摩托車與甲同學(xué)能同時(shí)到達(dá)車站，放下甲同學(xué)的地方必須選擇恰當(dāng)，而正是這個(gè)地點(diǎn)的未知，再加上兩個(gè)同學(xué)步行的時(shí)間與摩托車“去—回—去”三段行駛的時(shí)間交雜在一起，造成本題解決起來非常麻煩。原行程“倒帶”為：張老師帶乙同學(xué)騎摩托車，甲同學(xué)步行，同時(shí)從車站出發(fā)，張老師將乙同學(xué)送到距離學(xué)校一定距離的地方返回，與甲同學(xué)相遇后再帶上甲同學(xué)駛向?qū)W校，最后與步行前進(jìn)的乙同學(xué)同時(shí)到達(dá)車站。我們發(fā)現(xiàn)倒帶行程與原題的行程完全一模一樣，也就意味著兩個(gè)同學(xué)所走的路程是相等的，即點(diǎn)B到車站的路程與點(diǎn)A到學(xué)校的路程是相等的(如下圖)，所以甲、乙兩同學(xué)的步行時(shí)間是相等的。

解：設(shè)甲同學(xué)步行的時(shí)間為x分鐘，在此期間，張老師從學(xué)校M—B—A，則乙同學(xué)步行的時(shí)間也是x分鐘。

根據(jù)等量關(guān)系：x分鐘張老師行駛的路程(MB+AB)+甲同學(xué)步行路程(MA)+2×乙同學(xué)步行路程(BN)=2×15

列方程得45x+5x+10x=30

由此可見，通過行程問題“倒帶”形成的逆向運(yùn)動(dòng)中可以呈現(xiàn)出原題中不易覺察的數(shù)量關(guān)系，由此提供更多的題目信息，幫助我們解決問題。