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        一個數(shù)學結(jié)論的拓展及其應用

        2015-11-15 11:08:38楊曉俊
        新課程(中學) 2015年4期
        關(guān)鍵詞:三邊垂線等腰三角

        楊曉俊

        (貴州省福泉市第一中學)

        在中學數(shù)學教學中經(jīng)常見到這樣一個性質(zhì):等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高。關(guān)于此性質(zhì)的證明有如下兩種方法:

        方法1:如(圖1)利用面積,連結(jié)AP,兩個三角形面積之和等于大三角形面積可得。

        圖1

        圖2

        方法 2:如(圖 2)截長,作 PG垂直 CD于 G,易證 PE=DG,后證三角形CPG與三角形CPF全等,可得CG=PF,即得。

        該性質(zhì)是教學中經(jīng)常遇見的命題,但是對該命題進行研究,發(fā)現(xiàn)該性質(zhì)可以作如下拓展:等邊三角形內(nèi)(含邊)任意一點到三邊距離之和等于等邊三角形的高。

        對于這個拓展命題的證明,我們可以仿照原命題的證明方法進行,這里從略,下面主要列舉原命題和拓展命題在數(shù)學競賽題上的應用。

        例1.如(圖3),在矩形ABCD中,O是對角線AC,BD的交點,AB=3,AD=4,P是AD邊上的一個動點,且PE⊥AC于E點,PF⊥BD 于 F點,則 PE+PF=_________

        解:作AG⊥BD于G點.在Rt△ABD中,BD=5.

        ∵△ABD是直角三角形,且AG是斜邊BD上的高,

        ∴S△ABD=AB·AD=BD·AG,AG=2.4.

        由四邊形ABCD為矩形,可知OA=OD,即△OAD為等腰三角形.

        ∵P是底邊AD上的任意一點,且PE⊥AC于E點,PF⊥BD于F 點,根據(jù)原命題有 PE+PF=AG.即 PE+PF=AG=2.4

        圖3

        圖4

        例2.如(圖4),已知等邊三角形 ABC內(nèi)有一點 N,ND⊥BC,NE⊥AB,NF⊥AC,D,E,F(xiàn) 都是垂足,M 是三角形 ABC 中異于 N的另一點,若 P1=ND+NE+NF,P2=MD+ME+MF,那么 P1與 P2的大小關(guān)系是

        解:設△ABC高為h,過M點分別作BC、AB、AC的垂線,垂足分別是 D′、E′、F′

        ∵N 是等邊三角形內(nèi)一點,NE⊥AB,ND⊥BC,NF⊥AC,

        根據(jù)拓展命題有 NE+ND+NF=h=P1,同理 MD′+ME′+MF′=h

        又 ∵MD′≤MD,ME′≤ME,MF′≤MF( 三個等號中最多有一個成立)

        ∴P1=NE+ND+NF=MD′+ME′+MF′<MD+ME+MF=P2

        ∴P1<P2

        例3.如(圖5),等邊三角形ABC內(nèi)有一點 P,過點P向三邊作垂線,垂足分別是 S、Q、R,且 PQ=6,PR=8,PS=10,求△ABC 的面積。

        圖5

        解:設等邊三角形邊長為a,高為h,

        則根據(jù)拓展命題有h=6+8+10=24

        例4.如(圖6),設P是等邊三角形 ABC內(nèi)任意一點,從點 P作三邊的垂線 PD、PE、PF,點 D、E、F 是垂足,則

        解:設等邊三角形邊長為a,高為h,

        圖6

        圖7

        例 5.如( 圖 7),在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=60°,AB=AD=CD=2,E是 BC 上任意一點,EM⊥BD,EC⊥AC 于 N,求EM+EN的值

        解:在等腰梯形 ABCD 中,AB=AD=CD=2,∠ABC=60°,

        則容易得 BC=4,∠BDC=90°,

        OB=OC,從而根據(jù)原命題有EM+EN=CD=2

        學習數(shù)學,不能只記憶書本上的幾條定理,應該將例題、習題中反映的性質(zhì)做深入研究,爭取做到融會貫通,舉一反三,這種學習方法對于提高學生解題能力會有很大幫助。

        朱克祥.初等幾何研究[M].高等教育出版社,2103-01-01.

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