劉 鋒

（湖南工學(xué)院，湖南衡陽(yáng)421002）

0 引言

在剛體旋轉(zhuǎn)問(wèn)題中，有很多不同的方式表示剛體旋轉(zhuǎn)后的姿態(tài)，例如旋轉(zhuǎn)矩陣、歐拉角、四元數(shù)和軸角表示法。

其中軸角表示法中只要知道旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角就可寫(xiě)出剛體的姿態(tài)矩陣。軸角表示法來(lái)源于歐拉定理：剛體作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任何位移都可以通過(guò)繞固定點(diǎn)的某個(gè)軸的一次轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)。歐拉定理等價(jià)于旋轉(zhuǎn)矩陣有等于1 的特征值，其對(duì)應(yīng)特征向量x就是表示旋轉(zhuǎn)軸的方向。

1 軸角表示法和羅德里格斯公式

假設(shè)剛體坐標(biāo)系為B（Oxyz）繞單位向量ω所表示的軸旋轉(zhuǎn)θ角，可以推導(dǎo)出其對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣。首先假設(shè)剛體坐標(biāo)系B的z軸與ω所表示的任意軸重合，然后B坐標(biāo)系繞參考坐標(biāo)系A(chǔ)（OXYZ）的Z軸旋轉(zhuǎn)-α角使z軸在XOY平面的投影與X軸重合，然后再繞-β角，使z軸和Z軸重合，接著繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ角，最后為了使z重新回到與ω軸重合的位置，可以繞Y軸旋轉(zhuǎn)β角和繞Z軸旋轉(zhuǎn)β角［1］，如圖1所示。

圖1 軸角表示法

因?yàn)?次旋轉(zhuǎn)都是繞固定軸旋轉(zhuǎn)的，由基本旋轉(zhuǎn)矩陣可得：

此矩陣可以分解為：

其中S(ω)是由ω生成的反對(duì)稱(chēng)矩陣。

該方程稱(chēng)為羅德里格斯旋轉(zhuǎn)方程（Rodriguez rotation formula），只要知道旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)和旋轉(zhuǎn)角度，就可利用此方程求出旋轉(zhuǎn)方程。例如，將剛體坐標(biāo)系繞軸程為：

羅德里格斯方程還有如下3種不同的形式［2］：

其中第一種形式可以利用旋轉(zhuǎn)矩陣的指數(shù)表示證明。

2 旋轉(zhuǎn)矩陣的指數(shù)表示

假設(shè)剛體上一點(diǎn)P，它的位置向量為r，剛體繞方向?yàn)閱挝幌蛄喀氐妮S以單位角速度旋轉(zhuǎn)，則P 點(diǎn)在參考坐標(biāo)系中的線(xiàn)速度為：

這是一個(gè)一階線(xiàn)性微分方程，分離變量后，積分可得通解為：

其中r(0)是P 點(diǎn)的初始位置向量，eS(ω)t是一個(gè)矩陣的指數(shù)函數(shù)，由矩陣指數(shù)函數(shù)的定義有：

直接利用級(jí)數(shù)來(lái)計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣R( ω,θ )較麻煩，現(xiàn)利用矩陣論的知識(shí)來(lái)簡(jiǎn)化R( ω,θ )的計(jì)算。

其特征多項(xiàng)式為：

根據(jù)矩陣論中哈密爾頓-凱萊（Hamilton-Cayley）定理：若n 階矩陣A的特征多項(xiàng)式為：

根據(jù)此結(jié)論可以只用S(ω)和( S(ω))2來(lái)表示旋轉(zhuǎn)矩陣，即：

再由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式得：

所以

根據(jù)前面的證明也可得：

代入（3）式，整理得：

上式即為修正的羅德里格斯公式。羅德里格斯公式是一種非常有效的計(jì)算eS(ω)θ的公式。

由于兩相似矩陣的的特征值相同，若矩陣A與對(duì)角矩陣Λ相似，則對(duì)角矩陣主對(duì)角線(xiàn)上的元素即為A的特征值。

且存在可逆矩陣P，使得：

但是并不是每一個(gè)矩陣都與對(duì)角矩陣相似，在復(fù)數(shù)域上n階方陣與其若當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)型J相似，即存在可逆矩陣P使得

A = PJP-1

若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型J主對(duì)角線(xiàn)上的元素即為矩陣A的特征值，設(shè)

從上式可知eA與上三角矩陣

相似，可以證明上三角矩陣的特征值是其主對(duì)角線(xiàn)上的元素，故eA的特征值為eλ1，eλ2，…，eλs。

從而，eS(ω)θ的特征值為1，eiθ和e-iθ。根據(jù)特征的定義，對(duì)應(yīng)于特征值1，有

因?yàn)樵诶@軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，軸保持不動(dòng)，所以特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量就是kω（k ≠0）.

3 螺旋運(yùn)動(dòng)與羅德里格斯公式

由查爾斯定理（Chasles theorem）知，剛體的任何位移可以看成由沿空間特定直線(xiàn)的平移和繞該直線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)生成的。這種平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)相結(jié)合的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為螺旋運(yùn)動(dòng)。

設(shè)旋轉(zhuǎn)軸方向?yàn)棣?，沿軸方向的平移為h，繞軸旋轉(zhuǎn)的角度為θ，稱(chēng)平移h和旋轉(zhuǎn)的角度θ的比值螺旋運(yùn)動(dòng)的步距［2］。利用單位向量ω，旋轉(zhuǎn)軸上任意點(diǎn)的位置向量s 就可確定旋轉(zhuǎn)軸在參考坐標(biāo)系中的位置。再加上旋轉(zhuǎn)角θ和步距p，就可以定義剛體坐標(biāo)系相對(duì)于參考坐標(biāo)系的位姿。

在軸角表示法表示旋轉(zhuǎn)矩陣中，只有旋轉(zhuǎn)，沒(méi)有平移，所以h=0，而且這時(shí)軸通過(guò)參考坐標(biāo)系原點(diǎn)，可得量是旋轉(zhuǎn)后的位置向量，則：

這就是一般剛體運(yùn)動(dòng)的羅德里格斯公式。

從上邊的證明和討論，可以看到羅德里格斯公式在剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和一般運(yùn)動(dòng)中都有很重要的應(yīng)用，利用它可以很容易計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣和運(yùn)動(dòng)后剛體上任意一點(diǎn)的位置向量。