蘇州大學(xué)教育學(xué)院碩士研究生 徐 斌

無痕教育的基本內(nèi)涵是讓學(xué)生感覺不到教育的目的和意圖，在暗示、熏陶、滲透、迂回等間接方式中水到渠成地得到良好的教育和發(fā)展。我們認(rèn)為無痕教育理念下的課堂實(shí)施有四種基本策略：不知不覺中開始，潛移默化中理解，循序漸進(jìn)中掌握，春風(fēng)化雨中提升。本文以案例的方式解讀第四種基本策略。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在附錄中專門列出了描述結(jié)果目標(biāo)的行為動(dòng)詞，包括“了解”“理解”“掌握”“運(yùn)用”。其中，“運(yùn)用”是指綜合使用已掌握的對(duì)象，選擇或創(chuàng)造適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。如果說“了解”相當(dāng)于我們常說的“知道”，“理解”相當(dāng)于我們常說的“懂了”，那么“掌握”就相當(dāng)于“會(huì)了”，而“運(yùn)用”則相當(dāng)于是在理解和掌握的基礎(chǔ)上的一種靈活應(yīng)用與升華發(fā)展，是超越知識(shí)與技能的思維發(fā)展與思想感悟，是獲得豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與積極的情感態(tài)度。無痕教育理念觀照下的課堂實(shí)踐策略——春風(fēng)化雨中提升，應(yīng)著力關(guān)注如下三點(diǎn)：

一、提升兒童思維水平

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程目標(biāo)里面明確指出“運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考”。我們知道，思維是“人腦對(duì)客觀事物的一種概括的、間接的反映，是客觀事物的本質(zhì)和規(guī)律的反映”。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，思維是人內(nèi)隱的心理活動(dòng)，思維的發(fā)展是有階段性的。我國思維科學(xué)的奠基人錢學(xué)森先生曾經(jīng)指出思維的三種方式：形象（直感）思維、抽象（邏輯）思維、靈感（頓悟）思維。筆者以為小學(xué)生的思維方式主要有三種：動(dòng)作思維、形象思維、邏輯思維。小學(xué)生的思維方式以具體形象思維為主，逐步過渡到抽象邏輯思維，而低年級(jí)學(xué)生尤其需要直觀動(dòng)作思維。

【教學(xué)片段1】二年級(jí)《雞兔同籠》

通過故事情境引出例題：雞和兔關(guān)在同一個(gè)籠子里，數(shù)它們的頭共有5個(gè)，腿共有14條。雞和兔各有多少只？

首先讓學(xué)生理解題意并進(jìn)行初步猜測(cè)，然后讓學(xué)生動(dòng)手畫“數(shù)學(xué)畫”，出現(xiàn)如下六種方法：（分別用表示雞和兔）

方法一：先畫1只雞1只兔，再畫1只雞1只兔，再畫1只雞，一數(shù)正好是14條腿。籠子里有3只雞2只兔。

方法二：先畫兩只雞，再畫兩只兔，一數(shù)有了12條腿，還差2條，我就又畫了1只雞，正好14條腿。也發(fā)現(xiàn)有3只雞2只兔。

方法三：先畫1只兔1只雞，再畫1只兔1只雞，再畫1只兔，一數(shù)有16條腿，多了2條，就擦掉2條腿。這樣就有3只雞2只兔。

方法四：先把14條腿全部畫好，再用頭去套，套2條腿的就是雞，套4條腿的就是兔，也能知道籠子里有3只雞2只兔。

方法五：先全部畫成雞，二五一十，一算還少4條腿，就2條2條地添上，就是2只兔3只雞。

方法六：先全部畫成兔，四五二十，多了6條腿，就2條2條地擦去，這樣也得到有3只雞2只兔。

雞兔同籠是中國著名的古典難題，一般的解法極其抽象難懂，如何能讓二年級(jí)學(xué)生理解并解決呢？筆者利用數(shù)形結(jié)合的思想做過一次有趣的教學(xué)試驗(yàn)，發(fā)揮了三種思維方式的協(xié)同作用。上述教學(xué)片段中學(xué)生解決問題的方法，可以分為三類：第一類是動(dòng)作思維方式，學(xué)生始終都在動(dòng)手畫圖，在直觀操作中進(jìn)行嘗試與調(diào)整，從而真真切切地感受到畫圖的簡單與方便；第二類是形象思維方式，學(xué)生有的先畫雞，有的先畫兔，有的先畫頭，有的先畫腿，更為重要的是學(xué)生畫圖后運(yùn)用頭腦中建立的雞和兔的表象進(jìn)行運(yùn)演，從而得出結(jié)果；而第三類思維方式是邏輯思維，尤其是方法五和方法六，因?yàn)椤凹僭O(shè)全部是雞就是10條腿，和14相比還少4條腿，就2條2條地添上，添2次就是2只兔”，因?yàn)椤凹僭O(shè)全部是兔就是20條腿，和14相比多了6條腿，就2條2條地擦去，擦3次就是3只兔”，這樣的思考過程屬于典型的抽象推理。

二、提升兒童數(shù)學(xué)思想

“數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)具體的數(shù)學(xué)概念、命題、規(guī)律、方法等的認(rèn)識(shí)過程中提煉概括的基本觀點(diǎn)和根本想法，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)具有普遍的指導(dǎo)意義，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)思想?！庇纱丝梢?，數(shù)學(xué)思想是一種“隱性知識(shí)”，無法直接傳遞給學(xué)生，需要結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的理解掌握的過程，進(jìn)行滲透與熏陶，讓學(xué)生感悟與提升。

史寧中教授指出，數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語言就是模型。

1.數(shù)學(xué)抽象

【教學(xué)片段2】二年級(jí)《認(rèn)識(shí)乘法》

（學(xué)生初步認(rèn)識(shí)乘法的含義之后，結(jié)合例題圖的電腦4個(gè)2變?yōu)?個(gè)2）

師：這間電腦教室現(xiàn)在有多少臺(tái)電腦呢？是幾個(gè)幾？用加法和乘法你會(huì)列式嗎？

生：8個(gè)2，加法是：2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝16，乘法是2×8＝16或8×2＝16。

（課件再將電腦圖變成100個(gè)2）

師：現(xiàn)在有多少個(gè)2？用加法怎樣列式？

生：2＋2＋2＋2＋2＋……

（有的學(xué)生漸漸地不說了，有的叫了起來，還有的憋住氣在繼續(xù)說，臉漲得通紅，終于也停了下來）

師：你們感覺求100個(gè)2用加法算，算式寫起來怎樣？

生1：要寫很長時(shí)間，要寫很長的算式，黑板不夠?qū)憽?/p>

生2：太麻煩了！可以用我們剛學(xué)的乘法，寫成100×2或2×100，快多了！

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，你覺得乘法到底是怎么產(chǎn)生的？

生1：乘法是由加法變過來的。

生2：不是所有的加法都能變?yōu)槌朔?，要每次加的?shù)相同。

生3：每次加的數(shù)相同，并且加數(shù)越多用乘法越簡便。

數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)基本思想之一。如何讓二年級(jí)學(xué)生理解抽象的乘法含義？如何讓學(xué)生體驗(yàn)乘法的簡便性？上述的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在具體直觀的幾個(gè)幾的基礎(chǔ)上初步理解乘法含義后，進(jìn)行兩次變式：8個(gè)2用加法和乘法分別怎樣寫？100個(gè)2呢？學(xué)生在親身體驗(yàn)和強(qiáng)烈反差對(duì)比中理解乘法產(chǎn)生的必要性。教師進(jìn)一步提問“乘法怎么產(chǎn)生的？”學(xué)生再次回歸認(rèn)知過程，概括乘法含義，并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察和表達(dá)周圍的事物。

2.數(shù)學(xué)推理

【教學(xué)片段3】五年級(jí)《解決問題的策略：一一列舉》

（飛鏢游戲的三次應(yīng)用）

師（出示飛鏢靶紙）：如果全班每個(gè)同學(xué)投一次飛鏢，每人得到的環(huán)數(shù)一共有多少種情況？

生：10環(huán)、8環(huán)、6環(huán)、0環(huán)。

師（鞏固練習(xí)中，再次出示飛鏢游戲場(chǎng)景）：如果小華投中兩次，他得到的環(huán)數(shù)有幾種不同的情況呢？

生：20環(huán)、18環(huán)、16環(huán)、14環(huán)、12環(huán)。

師（總結(jié)全課時(shí)，又一次針對(duì)飛鏢游戲提問）：如果小華投了兩次，他得到的環(huán)數(shù)又是什么情況？

生：20環(huán)、18環(huán)、16環(huán)、14環(huán)、12環(huán)、10環(huán)、8環(huán)、6環(huán)、0環(huán)。

認(rèn)知策略是內(nèi)部組織化的技能，它常常鑲嵌于實(shí)踐活動(dòng)中，因此解決問題的策略教學(xué)，重在幫助學(xué)生形成策略意識(shí)。一一列舉策略的應(yīng)用，需要學(xué)生根據(jù)相應(yīng)的條件進(jìn)行嚴(yán)密的推理，尤其需要有序思維，才能做到不重復(fù)、不遺漏。上述教學(xué)片段，三次解決飛鏢環(huán)數(shù)問題，由淺入深，循序漸進(jìn)，從“投了1次”發(fā)展為“投中2次”，再發(fā)展為“投了2次”，情況越來越復(fù)雜，更加需要縝密的思維和有序的思考，學(xué)生逐步學(xué)會(huì)根據(jù)事情發(fā)生的多種可能性進(jìn)行排列與組合，從而靈活解決問題。

3.數(shù)學(xué)模型

【教學(xué)片段4】三年級(jí)《畫線段圖解決問題》

（出示例題圖，如下圖）

師：根據(jù)題中的已知條件，你能提出什么樣的問題？

生1：一件上衣多少元？

生2：一套衣服多少元？

生3：一件上衣比一條褲子貴多少元？

生4：一條褲子比一件上衣便宜多少元？

師：我們首先解決第一個(gè)問題。怎樣用線段圖表示出已知條件和所求的問題呢？

（生列式解答：48×3＝144元）

師：如果要解決“一套衣服多少元”，怎樣在原來的線段圖的基礎(chǔ)上用橡皮擦一擦，表示出所求的問題呢？

（生用橡皮擦一擦，修改為如下圖）

（生嘗試解決問題，師指名板演，師生交流）

生1：48×3＝144（元），48＋144＝192（元）。

生2：3＋1＝4，48×4＝192（元）。

師：如果要求“一件上衣比一條褲子貴多少元”，怎樣用橡皮擦一擦表示出所求問題？

（生用橡皮擦一擦，修改為如下圖，并列式解決）

生1：48×3＝144（元），144－48＝96（元）。

生2：3－1＝2，48×2＝96（元）。

師：大家比較一下，剛才的三道題，有哪些相同的地方？有哪些不同的地方？你有哪些解題的經(jīng)驗(yàn)？

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)的語言描述現(xiàn)實(shí)世界所依賴的思想，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解與外部世界聯(lián)系的基本途徑。上述教學(xué)片段主要建立的數(shù)學(xué)模型是幾倍求和（差）問題的結(jié)構(gòu)，教師采用的是畫線段圖的方式幫助學(xué)生建立模型。尤其是引導(dǎo)學(xué)生兩次主動(dòng)使用橡皮擦一擦：第一次擦拭后把求一件上衣的價(jià)錢改為求一套衣服的價(jià)錢，第二次擦拭后把求一套衣服的價(jià)錢改為求一件上衣比一條褲子貴的價(jià)錢。每個(gè)學(xué)生實(shí)際動(dòng)手擦拭與修改線段圖，看上去有些笨拙，其實(shí)正是這樣的直觀操作逐步幫助每個(gè)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，產(chǎn)生解題思路，并由線段圖的直觀性引發(fā)不同的解題方法，再通過回顧與反思，比較三題的異同點(diǎn)，建構(gòu)起幾倍求和（差）的問題結(jié)構(gòu)，并且為今后學(xué)習(xí)和倍問題、和差問題、差倍問題等典型問題的分析和建構(gòu)打下良好的基礎(chǔ)。

三、提升兒童情感態(tài)度

作為數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的情感態(tài)度主要包括學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、好奇心、求知欲、自信心、意志力、學(xué)習(xí)習(xí)慣和科學(xué)態(tài)度等方面。其中尤其重要的是學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性問題。有研究認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性分為廣義積極性和狹義積極性。所謂廣義積極性，與學(xué)生在其他學(xué)科學(xué)習(xí)過程中的積極性沒有本質(zhì)的區(qū)別，它是一般的積極思維活動(dòng)；所謂狹義積極性，是帶有數(shù)學(xué)特點(diǎn)的特殊積極性，是具有一定結(jié)構(gòu)的思維活動(dòng)。因此，我們?cè)谂囵B(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、提升情感態(tài)度時(shí)，要更多地以數(shù)學(xué)本身的魅力去吸引學(xué)生。

【教學(xué)片段5】四年級(jí)《平均數(shù)》

（在學(xué)生理解了平均數(shù)的含義并逐步形成技能后，出示“模擬當(dāng)經(jīng)理”情境練習(xí)題）

師：請(qǐng)問各位經(jīng)理，上周本店哪一天生意最好？哪一天生意最不好？

生：星期五生意最好，星期一生意最不好。

師：一般經(jīng)理都能看出來。聰明經(jīng)理還能推測(cè)原因呢！誰是聰明經(jīng)理？

生1：星期五生意好的原因可能是周末放假，人們有時(shí)間休閑了。

生2：星期一大人要上班，小孩要上學(xué)，比較忙。

生3：星期五買的水果多，周末兩天還沒吃完，所以周一生意不大好。

師：厲害的經(jīng)理面對(duì)這樣的狀況會(huì)采取哪些經(jīng)營手段呢？

生1：星期一降價(jià)促銷或者打折。

生2：星期一買一送一搞些活動(dòng)。

生3：星期五也可以適當(dāng)漲價(jià)。

師：各位經(jīng)理，倉庫里沒貨了。根據(jù)上周兩種水果銷售情況，你覺得哪一種水果好賣一些就吩咐員工多進(jìn)一些這種水果，不過請(qǐng)用數(shù)據(jù)說話。

生1：蘋果好賣。因?yàn)樘O果5天平均每天銷售8箱，橘子平均每天銷售7箱。

生2：我也認(rèn)為蘋果好賣，不過不必算平均數(shù)，都是5天，算綜合也可以，蘋果5天賣出40箱，橘子5天賣出35箱。

師：那么，下周一定還是蘋果好賣嗎？誰說了算？

生：不一定還是蘋果好賣。顧客說了算，因?yàn)轭櫩褪巧系邸?/p>

本來，平均數(shù)是十分抽象的統(tǒng)計(jì)量，要讓四年級(jí)學(xué)生理解平均數(shù)的含義并靈活進(jìn)行問題解決，尤其需要教師選擇合適的素材，設(shè)計(jì)精巧的問題，讓學(xué)生饒有趣味地積極投入數(shù)學(xué)活動(dòng)中去。上述片段中教師設(shè)計(jì)的幾個(gè)問題都是生活問題（哪天生意好與不好、生意好與不好的原因、采用哪些經(jīng)營手段、進(jìn)貨的數(shù)據(jù)支撐、推測(cè)下周銷售情況等），這些問題距離學(xué)生的生活比較貼近，而學(xué)生則根據(jù)前面學(xué)習(xí)平均數(shù)時(shí)積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，自覺地把這些生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并且結(jié)合生活實(shí)際大膽思考與決策，充分體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的力量，有效發(fā)展了數(shù)據(jù)分析觀念。