甘肅省武威第十八中學(xué) (733000) 高述文

在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，要注意使用“一正、二定、三相等”條件，而在尋找定值時(shí)，有時(shí)條件不夠明顯，常需要采用拆項(xiàng)、添項(xiàng)、變形、化簡(jiǎn)、換元等的技巧，這樣化隱為顯，使問題快速解決，本文通過舉例分析、介紹幾種常見的變換技巧，供參考．

1.適當(dāng)拼湊：考察所給的表達(dá)式，看如何能通過進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问怪_(dá)到正確使用基本不等式的條件，完成解題目標(biāo)．

評(píng)注：本題容易出現(xiàn)誤判，即沒有抓住x+s>0進(jìn)行正確的配湊，而是把x+t當(dāng)著變?cè)?，使解題造成混亂得出錯(cuò)解或使解題無法進(jìn)行下去．

2.配方配項(xiàng)：在題設(shè)中如果在分式的分子或分母中含有類似于二式三項(xiàng)式的，可通過及時(shí)配成關(guān)于父母(或分子)的二式三項(xiàng)式，這樣后面的解題方法就能夠顯露出來了．

評(píng)注：在理解題意的基礎(chǔ)上，通過對(duì)分子配方(關(guān)于分母的平方)，構(gòu)造出能使積為定值式子，這是找準(zhǔn)了解題的切入點(diǎn)．

例4 若實(shí)數(shù)a、b滿足ab-4a-b+1=0(a>1)，求(a+1)(b+2)的最小值．

評(píng)注：本題中沒有直接告訴相關(guān)的分式，通過挖掘已知條件，對(duì)條件等式和欲求的式子進(jìn)行重新整理，再合理配方，構(gòu)造出可用均值不等式求解式子，化解了問題的難點(diǎn)．

3.及時(shí)相除：在一些分式求最值問題中，通過對(duì)分式的分子、分母同時(shí)除一個(gè)適當(dāng)?shù)氖阶?，可以發(fā)現(xiàn)能使用基本不等式解題的契機(jī)．

評(píng)注：通過分子、分母同除以x，使分子為常數(shù)(必須是)，同時(shí)也能使此時(shí)分母的積為定值，這樣就達(dá)到了使用基本不等式解題的條件了．

評(píng)注：通過對(duì)題目的深入研究，挖掘了其中隱含的關(guān)系，即一個(gè)乘積式的符合確定，再整體思考、整體變形配湊，使問題終于得到解決，這是科學(xué)有序的思維品質(zhì)的體現(xiàn)．

4.連續(xù)放縮：在一些相對(duì)復(fù)雜的式子中，經(jīng)過一次放縮可能達(dá)不到目的，可以再一次進(jìn)行放縮變換，直到符合要求，這里必須注意連續(xù)放縮所需的相等條件是一致的．

評(píng)注：本題雖然用了基本不等式放縮兩次，但由于等號(hào)成立的條件是一樣的且縮小的方向一致，故而并不影響最小值的確定，如果等號(hào)成立的條件不一樣或方向不一致，則得出的結(jié)果肯定是錯(cuò)誤的，必須引起重視．

評(píng)注：本題中的字母較多，條件也不少，如何適當(dāng)使用是解題關(guān)鍵，而本解法中分兩次運(yùn)用基本不等式求解，方法獨(dú)到，簡(jiǎn)便合理．

5.靈活換元：抓住題設(shè)中的某些特殊結(jié)構(gòu)進(jìn)行類比聯(lián)想，再通過換元對(duì)原式進(jìn)行改造，可發(fā)現(xiàn)破題的機(jī)會(huì)，完成解題任務(wù)．

評(píng)注：若在題設(shè)中含有兩個(gè)正項(xiàng)和為1(或某個(gè)特定的值)，可以選用三角換元，這樣就可以利用三角函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行變形求解，達(dá)到解題目的．

評(píng)注：本題通過對(duì)所給的式子進(jìn)行變形，然后對(duì)其中的特定結(jié)構(gòu)進(jìn)行換元處理，用新變量替換原來的變量，揭露了隱含的關(guān)系，為順利解題創(chuàng)造了條件．

上面講述了使用基本不等式求最值的五個(gè)破題措施，常見而實(shí)用，如果我們?cè)诮虒W(xué)中能夠讓學(xué)生掌握并領(lǐng)會(huì)了這些解題方法，那么學(xué)生在應(yīng)試時(shí)遇到這些題目可能就信心滿滿了．