江蘇省南京市第二十九中學(xué)致遠(yuǎn)初級(jí)中學(xué) (210029) 蔡俊劍

一、求最大值

例1(2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初三年級(jí)試題)設(shè)實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足x+y+z=1,則M=xy+2yz+3xz的最大值為( ).

評(píng)注：本題依據(jù)已知條件x+y+z=1,M=xy+2yz+3xz,通過(guò)均值換元消去變量x，y，構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程，再利用方程有實(shí)數(shù)根的條件，“判別式大于或等于零”建立不等式求出M的最大值.解題過(guò)程巧妙自然，構(gòu)思精彩，耐人回味.

評(píng)注：根據(jù)題設(shè)巧用均值換元，再結(jié)合因式公解十字相乘法，通過(guò)解一元二次不等式求得a的取值范圍，然后再結(jié)合配方技巧求得xy的最大值.方法巧妙，解法新穎，匠心獨(dú)具，令人贊嘆.

二、求最小值

例3(2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)已知a+b=1，求a2+b2的最小值.

評(píng)注：本題運(yùn)用均值代換，其絕妙之處在于能將多項(xiàng)式最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量t的函數(shù)的最小值問(wèn)題，從而只要令t2=0即可求得結(jié)果.其解法簡(jiǎn)捷明晰，別具風(fēng)味.

圖1

例4(2012年“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二第二試試題)如圖1，已知邊長(zhǎng)為1的三個(gè)正方形排成一個(gè)“品”字，求覆蓋“品”字形的最小圓的面積.

評(píng)注：本題的等量關(guān)系隱藏在圖形中，運(yùn)用均值換元法，用平均數(shù)和一個(gè)字母表示圖中兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)，既形象直觀地表示出圓心的位置，又使計(jì)算簡(jiǎn)單明晰，令人耳目一新.

三、求最大值和最小值

例5(2001年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a2+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2.試求t的最大值和最小值.

例6(2004年“信利杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)設(shè)實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,試求z的最大值和最小值.

綜上可知，均值換元法的應(yīng)用是極其廣泛的，方法通俗易懂，既有利于學(xué)生融會(huì)貫通“基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能”，又有利于幫助學(xué)生提高綜合解題水平，對(duì)于啟迪學(xué)生思維、開(kāi)闊學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的興趣均頗有益處.