湖北武漢市育才實驗學校 關 蓓

課堂改革是教育永恒的追求，基于深度學習目標的教學設計和教學活動為新時期的課堂教學提供了新思路、新路徑。這種學習模式的核心在于理解，與數(shù)學思維發(fā)展、知識系統(tǒng)建構、學習方法遷移等熱門話題密切相關。從數(shù)學學科教育的角度來看，“深度學習”并不陌生，許多教師都在嘗試在課堂教學中由具體知識和基本技能層面，深入到深度思維的層面，進而培養(yǎng)學生的數(shù)學思維、提升學科素養(yǎng)。如何進行深度教學，引導學生進行深度學習呢？現(xiàn)筆者結合三個教學案例談談個人觀點。

一、有機整合教材，溝通知識間的聯(lián)系，架構系統(tǒng)知識

在數(shù)學的學習過程中，學生的認知水平常常停留在淺層，因為他們很少將不同模塊、不同單元里的知識進行聯(lián)系，由此學生的知識結構比較模糊、片段化，這樣也就不易在不同章節(jié)的知識間尋找其內(nèi)在的聯(lián)系。以單元為整體來教學，以知識的系統(tǒng)整理歸納來教學，都能從數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系和外在生發(fā)上做文章，較好地加深學生對知識的融會貫通，促進學生對知識本質的理解，優(yōu)化學生的認知方式。因此，教師的教學設計要體現(xiàn)深度學習，可以圍繞著數(shù)學的核心內(nèi)容展開。

著名特級教師吳正憲教授的“運算教學的復習課”這節(jié)課，是六年級復習課，學生經(jīng)歷了小學階段的學習，需要進一步加強對加、減、乘、除運算的認識和理解，能從知識的本源去梳理已有經(jīng)驗，構建系統(tǒng)知識架構。吳老師基于對深度學習的實踐探索，從一個系統(tǒng)的角度來思考，整體把握一個知識塊之間相互的聯(lián)系來進行的課堂活動設計，從而達成預期教學目的。

“此時此刻，你是如何看待加減乘除的？”“你是如何認識加減乘除的呢？”開門見山的兩個問題將加法、減法、乘法、除法糅合在了一起，帶領學生先思考、回顧。對于熟悉得不能再熟悉的運算，我們該如何去看待它呢？這樣熟悉的舊知之間又具備怎樣的聯(lián)系呢？運算間的關系就成了本課的研究重點?！?+4=12”“12-8=4”“4+4+4=12”“12÷3=4”四個式子激發(fā)學生積極思考，創(chuàng)建出大量的情景內(nèi)容。通過問題“情景故事永遠也說不完，那么你是怎么理解加減乘除的意義的呢？”在小組合作交流中、班級互動表達中，學生逐漸從多個情境中抽象出了運算的意義，進而明白運算的實質是部分與整體間的關系：加法是將若干個不相同的部分合為一個整體，而減法是將一個整體分為若干個不相同的部分；乘法是將若干個相同的部分合為一個整體，而除法則是從一個整體走向若干個相同的部分。在這個分析的過程中，學生又進一步理解了“乘法與除法、加法與減法互為逆運算”“乘法是加法的簡便運算，除法是減法的簡便運算”。這樣將知識點之間建構聯(lián)系的過程，又進一步強化了學生對之前所學基礎知識的掌握，促進了學生對運算意義的理解。

精心設計的練習題喚醒學生思維舊知，從算法的回顧中又厘清了算理。雖然整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的運算教學不是在同一時間內(nèi)完成的，但這些內(nèi)容之間存在內(nèi)在的關聯(lián)以及相同的思考方法?！?433+15；24.33-1.5；；124×33；9.7÷4”五個例題的關注點在于“為什么要這樣算？”“題①為什么加法要將末位對齊？”“題②為什么要將小數(shù)點對齊？”“題③為什么要通分呢？”“題④為什么會在乘法的豎式里出現(xiàn)了加法？”通過這樣的題組練習對比，四個問題的引導，逐步抽絲剝繭，將所有的焦點集中在了“計數(shù)單位的統(tǒng)一”上。加法、乘法是單位的累加，減法、除法是單位的細化。吳老師就是這樣通過精心設計的問題引導，幫助學生建立起“加、減、乘、除”四種運算之間的內(nèi)在聯(lián)系：加減乘除的運算都是在找計數(shù)單位，有些是計數(shù)單位的累加，而有些則是計數(shù)單位的細化，這些運算的實質就是“計數(shù)單位”的運算?？此破匠５挠嬎憔毩?，卻在步步追問中啟動學生深入思考運算的意義與相互聯(lián)系，讓學生找到了運算的本質。

吳正憲老師在整體上進行教學設計并實施，不僅幫助學生掌握了一個個單一的知識點，更進一步讓學生掌握了解決這一類問題、學習這一組知識的方法，形成知識系統(tǒng)架構，并體會到其中蘊含的數(shù)學思想方法。在這樣的學習過程中，學生才能真正形成與之相關的數(shù)學核心素養(yǎng)，真正提高運算能力和思維水平，真正擁有基本的數(shù)學思想方法。

二、強化活動體驗，注重獨立思考，發(fā)展高階思維

深度學習作為基于理解的學習，指向高階思維的發(fā)展和實際問題的解決。然而思維的高低層級怎樣表現(xiàn)出來呢？內(nèi)在的能力可以通過外在的形式體現(xiàn)出來。數(shù)學語言和數(shù)學操作活動都可以體現(xiàn)學生思維的高低。借助這些活動，將學生思維水平展現(xiàn)出來，進而準確地把握教學重點，將學習引向深處。

在武漢市育才小學萬婕老師執(zhí)教的“用圓的面積解決問題”一課中，萬老師通過課前測試了解學生的知識起點和學生的思維層次。

根據(jù)課前測的分析，萬老師在教學設計時精準地設計了適宜于學生深度學習的問題。課上，萬老師拋出問題，放手讓學生獨立思考，質疑問難。

師：這是正方形和圓組合的圖形（圖1），只告訴我們一條信息：r=1米，能解決這個問題嗎？請大家想一想，怎樣解決？在解決時遇到了什么困難？

生1：在第二幅圖里面，我們不知道正方形的邊長，無法求出正方形的面積。

生2：我在解決第二幅圖時，也不知道正方形的邊長，就沒有辦法知道正方形的面積。

生：根據(jù)半徑可以求出圓的直徑，圓的直徑正好等于正方形的邊長，因此可以求出正方形的面積。（學生邊說邊指圖2）

師：添加一條輔助線，我們能直觀地看出圓與正方形的關系，求出正方形的面積。接下來，我們重點看圖1，只知道半徑為1米，怎么求出正方形的面積呢？我們需要找到正方形和圓各部分之間的關系。你準備運用什么方法探究正方形與圓各部分之間的關系？

學習活動要求

1.獨立畫圖。

2.小組交流：

（1）你是怎樣畫的？

（2）你發(fā)現(xiàn)正方形與圓各部分之間有怎樣的關系？

生1：我可以先把這個圖畫出來，再找正方形和圓之間的關系。

生2：我也覺得可以先畫圖看看。

生3：我先在圓中畫出垂直的兩條直徑，和圓有4個交點。再連接這4個交點，就形成了圓中最大的正方形。

師：同意嗎？

生（齊）：同意。

師：你們有什么問題想問問他嗎？

生1：為什么它是圓中最大的正方形？

生2：你怎么知道它是一個正方形呢？

生3：我們知道這兩條直徑是相互垂直的，這四個三角形就是四個等腰直角三角形，所以這個角就是45°，另一個角也是45°，合起來就是90°。依次類推，這四個角都是90°，就說明這是一個正方形。

師：他從角的角度說明了這是一個正方形，有沒有同學要補充的？

生4：這是4個大小一樣的等腰直角三角形，這四條邊都是它的斜邊，邊的長度相等，說明這是一個正方形。

師：我們可以分別從角和邊的角度來考慮，從而證明這個圖形確實是正方形。那這個正方形為什么是圓中的最大正方形呢？

生：這個正方形的四個頂點都在圓上，如果這個正方形再擴大一點點，就會超出圓。所以這個正方形是這個圓中最大的正方形。

師：看來這個正方形果然是這個圓中最大的正方形。老師相信你們都找到了正方形和圓各部分之間的關系，誰來說一說？

生：我發(fā)現(xiàn)正方形的對角線就是圓的直徑，也可以得出正方形對角線的一半就是圓的半徑。

師：我們能不能把這個正方形轉換成與半徑或直徑相關聯(lián)的其他圖形，求出它的面積呢？

生：我將正方形分成2個完全相等的等腰直角三角形，三角形的底是圓的直徑，三角形的高是圓的半徑，三角形的面積等于1 m2。正方形的面積是2個等腰直角三角形的面積，也就是2 m2。圓的面積等于3.14 m2。最后用圓的面積減去正方形的面積，等于1.14 m2。

師：還有其他的方法嗎？

生：我將正方形分成4個大小一樣的等腰直角三角形，三角形的底是半徑，高也是半徑，三角形的面積等于0.5 m2。正方形的面積等于4個等腰直角三角形的面積，就是2 m2。圓的面積等于3.14 m2。陰影部分的面積也就是圓的面積減去正方形的面積，就是1.14 m2。

師：真會動腦筋！這兩種方法有什么相同之處？

生1：它們都是分成幾個相同的三角形，這些三角形都與圓的半徑、直徑有關。

生2：通過添加輔助線，把正方形分成了三角形，三角形的底和高都與圓的直徑相關。

解決“外圓內(nèi)方”這個問題，需要添加輔助線。輔助線的添加是解幾何題的關鍵和難點，小學生的思維大多停留在直覺感知的水平上，但憑直覺添加輔助線也不能是天馬行空式的想象，它需要學生積累豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》特別強調(diào)：“數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志。數(shù)學活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學學習活動過程中逐步積累的。動手操作、畫圖分析是學習空間與圖形的重要技能。于是，萬老師把畫圖明理作為本節(jié)課的中心環(huán)節(jié)之一，讓學生畫圖來尋找解決問題的思路和方法。學生在動手操作中定圓心、找半徑，尋找方和圓之間的內(nèi)在聯(lián)系，獲得了豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗。畫法展示后，萬老師繼續(xù)引導學生反思、質疑。萬老師牢牢抓住“你怎么知道現(xiàn)在畫出的這個圖形是正方形？它是不是圓中最大的正方形呢？”這兩個問題，進一步讓學生說理，將感性認識逐步上升到理性認識。整個說理的過程實際上就是邏輯推理的雛形，同時也是高階思維的體現(xiàn)。

三、有效運用策略，促進深度理解，數(shù)學學習為發(fā)展奠基

深度學習是在理解學習的基礎上,學習者能夠批判性地學習新的思想和事實,并將它們?nèi)谌朐械恼J知結構中,能夠在眾多的思想間進行聯(lián)系,并能夠將已有知識遷移到新的情境中,做出決策和解決問題的學習。

著名特級教師俞正強老師曾上過一節(jié)樸實而又富有深度的課——“年、月、日”。課前，俞老師給每個學生發(fā)一張不同年份的日歷牌。課始，看似三年級的學生對于年、月、日的知識早已有不少的了解，可隨著俞老師的一句“你知道一個月有多少天嗎？”，學生卻給出了五花八門的答案：31天、30天、21天、28天、29天、32天等，正當一片混亂之時，俞老師趁“亂”發(fā)問：“怎么把它弄明白？”學生紛紛拿起日歷查閱起來，從容、淡定的俞老師在一旁靜靜等待，等待學生自主發(fā)現(xiàn)月與日之間的關系。隨著對大小月天數(shù)的清晰認識，到二月份的天數(shù)時，學生間再次出現(xiàn)“混亂”，有學生認為二月份是28天，有學生認為二月份是29天，還有學生說平年28天，閏年29天。面對混亂，學生們又急了，可俞老師不急不躁，循循善誘，充分發(fā)掘學生的已有經(jīng)驗，引發(fā)學生深度思考，不斷探尋數(shù)學本質。

俞正強老師在他的專著《種子課》中認為：我們的學生本身便是一顆來自天地的種子,他是帶著能量,帶著春夏秋冬的記憶，帶著生長收藏的使命而來,需要我們?nèi)ンw會、去感悟、去尊重、去喚醒。

正如俞老師所提到的，學生的經(jīng)驗并非空白，整節(jié)課俞老師都在學生的已有經(jīng)驗上引導學生深入探索，形成深度認識理解。俞老師的課堂主要有以下幾個特點：

（1）立足和尊重學生的思維，循循善誘，激發(fā)學生的探究欲望。對于學生的發(fā)言，俞老師從不輕易下結論，而是給予學生再思考、再發(fā)現(xiàn)的機會。比如，俞老師提問：“現(xiàn)在2月有28天又有29天，我們該怎們辦呢？”這時有一位學生不假思索地說換日歷，俞老師沒有否定，而是讓學生經(jīng)歷換日歷的過程，學生換了日歷發(fā)現(xiàn)有的2月確實有29天，打破了該生原有的認知思維，激發(fā)了學生的探究欲望。

（2）遵循學生已有經(jīng)驗，促進學生深度理解，引導學生探尋數(shù)學本質。方法的記憶只是一種形式，而對知識的理解才是最為本質的。再如，俞老師提問：“2月有29天，與什么有關？”有一位學生自信滿滿地說：“與平年和閏年有關?！闭б宦?，我們會以為這個學生已經(jīng)清楚了平年和閏年蘊藏的規(guī)律，但是在俞老師的步步追問下，學生很快暴露出知識的盲區(qū)：學生只是知道有平年和閏年這樣的詞語，但是對平年和閏年蘊藏的規(guī)律卻不清楚。這時候俞老師引導學生自主探索2月天數(shù)的規(guī)律，在一次次獨立思考、集體驗證、自我調(diào)整后，學生終于找到了規(guī)律。整個探索的過程學生由感知規(guī)律到發(fā)現(xiàn)規(guī)律再到運用規(guī)律；由提出猜想到驗證猜想；由質疑到確信，興趣越來越濃烈，思維在不斷升級。這節(jié)課里滿是學生與教師思維的碰撞，碰撞中透著智慧的光芒，讓在場的教師們無不拍手叫絕！

課后俞老師對本節(jié)課進行了深度解讀，他認為數(shù)學教學的拓展首先應向內(nèi)拓展，發(fā)掘數(shù)學本身的內(nèi)涵。俞老師的這節(jié)課既沒有使用華麗的課件，也沒有準備精美的教具，僅僅就用一支粉筆、一塊黑板和40張不同年份的日歷，從學生的常識出發(fā)，在糊涂之處著力研究，將常識變成知識，再用知識進行思維拓展來完善常識。在深度學習中，學生的認知結構在完善，數(shù)學思想方法在形成。哪怕若干年后，今天學習的具體內(nèi)容不一定記得，但是抽象、推理、模型的基本數(shù)學思想給人帶來的改變，深度學習的美好體驗，一定是留在學生的身上，并積極地發(fā)揮著作用。

深度學習為課堂變革提供了一個新的思路。深度學習的設計與實施需要教師對學科、對學生、對教學有正確的理解，在此基礎上創(chuàng)造性地進行教學的設計與組織，使其體現(xiàn)學科本質、關注學習過程中學生的有效參與和富有深度的思考。在深度學習的教學設計中，重點體現(xiàn)的是教師對學科內(nèi)容的深刻理解，對學生學習認知的切實把握，對教學活動的精心設計，使有意義的學習活動真正發(fā)生，讓深度學習真正發(fā)生！