周金學(xué)

一、問題的提出

近幾年,浙江省的物理選考試卷中多次出現(xiàn)了群發(fā)粒子在磁場中運(yùn)動的題型,有學(xué)生提出:什么情況下粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后分布均勻,什么情況下分布不均勻?筆者首先引導(dǎo)學(xué)生將問題梳理,常見群發(fā)粒子有:1、發(fā)射速度方向恒定但大小不同,且包含了一定區(qū)間范圍的所有速率的同種粒子;2、發(fā)射速度大小恒定,方向在一定角度范圍內(nèi)的同種粒子。粒子經(jīng)磁場后分布是否均勻涉及的是三種常見數(shù)密度:1、速密度指單位速度范圍內(nèi)的粒子數(shù),2、線密度指單位長度范圍內(nèi)的粒子數(shù),3、角密度指單位弧度范圍內(nèi)的粒子數(shù)。

二、例析粒子速密度和線密度的關(guān)系

粒子源發(fā)射速度方向恒定而大小不同的粒子,經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后其散布均勻與否因落點平面不同而不同。2016年浙江省物理選考23題以質(zhì)譜儀為基礎(chǔ)考查了粒子偏轉(zhuǎn)后的分布問題,如圖一所示,此題為減小難度,直接給出了條件:打到x軸上的離子數(shù)均勻分布(離子重力不計)。下面分析質(zhì)譜儀的粒子源具備什么條件才能使打到x軸上的粒子能均勻分布。簡化如下模型:在x軸的上方存在垂直紙面向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0的勻強(qiáng)磁場,離子源C發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q的一束負(fù)離子,其初速度大小范圍為0～v0,從小孔O(坐標(biāo)原點)垂直x軸并垂直磁場射入磁場區(qū)域,最后打到x軸上的水平固定探測板上。

設(shè)某粒子速率為v,則其落點與O的跨度為,另一粒子速率為v+Δv,則其跨度為,兩粒子間距為Δ。設(shè)單位長度內(nèi)粒子數(shù)為Δn,打到x軸上的離子數(shù)均勻分布,則其線密度也為常數(shù),即粒子源發(fā)射的粒子速密度恒定則收集板上粒子的線密度也恒定。

歸納推理是從個別(特殊)事物到普遍(一般)事物的邏輯推理方法,以上結(jié)論還能歸納出更普遍的規(guī)律:若粒子發(fā)射速度方向恒定而大小不同,只要在勻強(qiáng)磁場中軌跡所對圓心角相同,則落點粒子線密度與發(fā)射粒子速密度成正比。證明如下:如圖二直角三角形OMN區(qū)域中存在一勻強(qiáng)磁場,從O點沿OM發(fā)射速率各不相同的同種粒子(不計重力),分別從ON邊上射出,設(shè)OA1軌跡對應(yīng)粒子速度為v,OA2軌跡對應(yīng)粒子速度為v+Δv。易證OA1和OA2弧度相等,則,若速密度為定值,可得,即線密度也為定值。

但磁場中粒子軌跡所對圓心角不同,則粒子落點線密度與發(fā)射速密度不成正比,如條形有界磁場的情況。如圖三所示,在兩平行板間存在勻強(qiáng)磁場,若O點發(fā)射的粒子速度方向始終垂直于極板而速度大小不同,則粒子在磁場內(nèi)的軌跡圓弧所對圓心角依次減小。若粒子源速密度恒定,假設(shè)粒子能運(yùn)動至AC段,則在AC段的線密度相同。假設(shè),因此MN段的粒子線密度大于NB段。

三、例析粒子角密度和線密度的關(guān)系

下面分析粒子源發(fā)射速度大小恒定而方向各異的粒子,經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后其散布密度特征。如圖四所示為一類平面聚焦磁場,在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場,P點處有一粒子源,向磁場內(nèi)各個方向發(fā)射速率為v(v=)的粒子,且粒子的角密度恒定,則粒子從磁場圓弧邊界飛出時,線密度也恒定。證明如下:PA1軌跡和PA2軌跡粒子的發(fā)射角度相差Δθ,易證∠A1OA2和∠O1PO2都為Δθ,則圓弧A1A2=Δx=ΔθR,若P點的粒子角密度為定值=Rk也為定值。粒子離開圓形磁場后形成平行粒子束,若垂直打在收集板上,則在收集板上的線密度就不均勻了,從Q點向兩邊線密度逐漸增大。若收集板B1QB2是與圓形磁場半徑相同的圓弧,則能保持線密度均勻。

四、結(jié)語

學(xué)生的問題是其“最近發(fā)展區(qū)”,對其深入挖掘不光能解決學(xué)生的疑惑,更能在問題解決的過程中發(fā)展學(xué)生的核心能力。思維是人腦對客觀事物的認(rèn)識過程,總是以一定的形式、方法和程序進(jìn)行的[2]。本問題的研究中學(xué)生經(jīng)歷了提出問題,構(gòu)建模型,分析推理,數(shù)學(xué)論證的科學(xué)思維歷程,提高了創(chuàng)新能力,理解能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問題的能力。幫助學(xué)生形成從物理學(xué)角度解釋客觀事物的本質(zhì)屬性、內(nèi)在規(guī)律和相互關(guān)系的能力,對學(xué)生實踐創(chuàng)新素養(yǎng)的形成起到了積極的作用。