尹文靜，鄭婷婷，李龍妹

(安徽大學 數(shù)學科學學院 安徽 合肥 230601)

0 引言

自1965年Zadeh[1]提出模糊集理論以來，該理論為解決一些不確定性問題提供了重要手段。 隨著模糊集理論的深入研究，它被擴展到許多領(lǐng)域，如直覺模糊集[2]、二型模糊集[3]等,并且學者們將這些理論成功應(yīng)用于屬性約簡、多屬性決策問題[4-5]。 2017年，Yager[6]提出了q階模糊集的概念，主要是考慮到直覺模糊集與畢達哥拉斯模糊集對于隸屬度與非隸屬度的取值范圍有限，而這個概念的提出能更好地解決直覺模糊集和畢達哥拉斯模糊集不能表示的模糊問題。 Liu等[7]和Peng等[8]研究了q階模糊集環(huán)境下的不確定性度量，并解決了一些模式識別、醫(yī)學診斷和聚類分析等問題。在許多實際情況下很難定義隸屬度函數(shù)，因此Torra[9]提出了猶豫模糊集理論，為處理多個隸屬度的情形提供了有效的途徑。 朱斌[10]為猶豫模糊集增加了概率，可以有效地反映決策者的偏好在決策中的作用，并將新的猶豫模糊集命名為概率猶豫模糊集。

為了度量不確定信息，Zadeh[11]于1968年提出了模糊熵的概念來度量模糊集的模糊性。 模糊熵的概念很快被擴展到直覺模糊集[12]，并成功地應(yīng)用于模式識別、屬性決策[13]等問題。此外，隨著猶豫模糊集的發(fā)展，猶豫模糊熵成為一個重要的研究方向。2012年，Xu等[14]給出了猶豫模糊集模糊熵與交叉熵的概念,并根據(jù)定義提供了一系列具體的公式。但是，隨著研究的不斷深入，現(xiàn)有的猶豫模糊熵中仍然存在不足,需要探究新的猶豫模糊熵以更加有效地反映信息的不確定程度。本文在充分結(jié)合q階模糊集和概率猶豫模糊集優(yōu)點的基礎(chǔ)上，提出了概率q階猶豫模糊集的概念，并給出了概率q階猶豫模糊熵的公理化準則；利用幾何方法構(gòu)造了概率q階猶豫模糊集的熵平面，討論了參數(shù)α對熵的影響，將其推廣到廣義概率q階猶豫模糊熵，并應(yīng)用概率q階猶豫模糊熵解決了多屬性決策問題。

1 預(yù)備知識

1.1 概率猶豫模糊集

定義1[10]設(shè)U為一個有限論域，論域U上的概率猶豫模糊集H定義為

H={〈x,hH(x)(pH(x))〉|x∈U}，

1.2 q階猶豫模糊集

2 概率q階猶豫模糊集

3 一種新的概率q階猶豫模糊熵

結(jié)合文獻[13]中直覺模糊熵的公理化準則，提出了概率q階猶豫模糊熵的公理化準則。

圖1 概率q階猶豫模糊熵平面(πq,Δq,E)Figure 1 Probabilistic q-rung orthopair hesitant fuzzy entropy plane (πq,Δq,E)

式中：0<α<1。

式中：Mπ,E表示猶豫度對熵的影響；MΔ,E表示核值對熵的影響。 顯然，當Mπ,E=MΔ,E時，核值與猶豫度對熵的影響速率相同。 為了便于討論，給出替代率的概念，即

RSπ,Δ=α/(1-α),RSΔ,π=(1-α)/α，

式中：RSπ,Δ表示核值相對于猶豫度的替代率；RSΔ,π表示猶豫度相對于核值的替代率。當α<0.5時，猶豫度相對于核值的替代率更強一些；當α>0.5時，核值相對于猶豫度的替代率更強一些；當α=0.5時，猶豫度與核值的相互作用相同。

4 廣義概率q階猶豫模糊熵

本小節(jié)將概率q階猶豫模糊熵推廣到一般情況，并分析該公式的特征。

定理2定義8的模糊熵公式滿足定義6的四條公理化準則。

證明定理2的證明過程與定理1類似，這里省略。

接下來討論參數(shù)λ對概率q階猶豫模糊熵的影響。

圖2 λ對廣義熵的影響Figure 2 The effect of λ on generalized entropy

證明設(shè)U={x}，計算可得

由此可見，不同的熵值可以代表不同的熵曲面，它們均可以反映不同概率q階猶豫模糊集的模糊程度，同時也都滿足熵的公理化準則。為了討論上述熵測度在概率q階猶豫模糊集中的合理性，將上述熵測度分別退化為q階猶豫模糊集下的熵測度。

故此時可以得出退化后的熵測度為

通過分析可以發(fā)現(xiàn)，退化后的熵測度與文獻[13]的基本準則一致，即滿足熵隨著猶豫度的增加而增大，隨著核值的減少而增大。

5 多屬性決策問題

5.1 決策步驟

步驟1確定屬性權(quán)重。為了加強最優(yōu)決策和確定信息的完整性，用熵測度來確定權(quán)重，

步驟2構(gòu)建得分函數(shù)。得分函數(shù)可以表示為

步驟3對備選方案進行排名。對所有備選方案U={x1，…，xm}進行排序，根據(jù)得分函數(shù)S(xi)選擇最佳方案。

5.2 實例分析

為了驗證所描述方法的可靠性，以投資五家公司{x1,x2,x3,x4,x5}為例，它們滿足四個屬性{A1，A2，A3，A4}下的要求。為了選擇最好的投資公司，對這些投資公司進行了評估，概率q階猶豫模糊決策矩陣D如表1所示。取α=0.5，使用熵測度來確定權(quán)重，表2顯示了λ=1、λ=2和λ=4三種不同情況下的屬性權(quán)重。這三種情況下的得分函數(shù)S(xi)如表3所示，可知x2是最優(yōu)的選擇。

通過上述計算過程以及結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，q階猶豫模糊集中每一個q階模糊集發(fā)生概率的可能值是相等的，這顯然不符合在實際決策中決策者在猶豫模糊環(huán)境下的判斷和評估。因此，相比q階猶豫模糊集，概率q階猶豫模糊集可以保留更多的決策信息。

表1 概率q階猶豫模糊決策矩陣DTable 1 Probabilistic q-rung orthopair hesitant fuzzy decision matrix D

表2 屬性權(quán)重Table 2 Attribute weight

表3 得分函數(shù)Table 3 Score function

6 小結(jié)

本文結(jié)合了q階模糊集與概率猶豫模糊集的優(yōu)點，提出了概率q階猶豫模糊集的概念，并且給出了概率q階猶豫模糊熵的公理化準則。利用概率q階猶豫模糊熵的幾何特點構(gòu)造了熵平面，并且提出了廣義概率q階猶豫模糊熵。概率q階猶豫模糊熵的提出也為概率q階猶豫模糊集的多屬性決策問題提供了新的途徑。