嚴(yán) 卿

（江蘇省南通師范學(xué)校第二附屬小學(xué)，江蘇南通 226001）

引 言

作為數(shù)學(xué)思考的力量源泉，數(shù)學(xué)思想方法是促進(jìn)學(xué)生自主知識建構(gòu)、完成概念轉(zhuǎn)換的紐帶[1]。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，抽象與模型、歸納與演繹、數(shù)與形結(jié)合、方程與函數(shù)、集合與對應(yīng)等思想方法對提高概念轉(zhuǎn)換的效果，發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)具有積極的促進(jìn)作用。教師借助適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境，可以有效滲透數(shù)學(xué)思想方法，從而幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)概念轉(zhuǎn)換。

一、模擬生活情境，滲透模型思想

數(shù)學(xué)知識依托現(xiàn)實(shí)世界而客觀存在，數(shù)學(xué)知識也為學(xué)生認(rèn)識世界、改造世界提供了思維的力量[2]。教師通過生活中的熟悉現(xiàn)象，模擬真實(shí)的生活情境，有利于學(xué)生站在數(shù)學(xué)的角度觀察和思考生活中的實(shí)際問題，捕捉數(shù)學(xué)信息，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生在對相應(yīng)數(shù)學(xué)模型的研究中生成解決問題的策略和智慧。在這樣的情境中進(jìn)行抽象和創(chuàng)造，可以幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)模型思想在數(shù)量關(guān)系的概括與表達(dá)中的作用，積累數(shù)學(xué)分析和思維活動的經(jīng)驗(yàn)。

在研究行程問題時(shí)，為了引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握物體運(yùn)動的方向、時(shí)間、速度和路程等要素之間的內(nèi)在聯(lián)系，教師讓家與學(xué)校在同一條路上但方向相反的兩位學(xué)生描述上學(xué)路線，再請他們表演從各自的家中同時(shí)出發(fā)，相向而行，在學(xué)校門口相遇的情境。教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)表演者的行進(jìn)方向、速度、時(shí)間和運(yùn)動結(jié)果，畫線段示意圖表示其中的數(shù)學(xué)信息，并思考怎樣計(jì)算兩家相距的路程。有的學(xué)生根據(jù)“速度×?xí)r間＝路程”的等量關(guān)系，分別求出兩人的路程，再根據(jù)“甲的路程＋乙的路程＝兩家相距的路程”解決問題；還有的學(xué)生根據(jù)兩人行走的時(shí)間相同，先求出他們的速度和，再根據(jù)“速度和×?xí)r間＝總路程”求出兩家相距的路程。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這兩種方法對應(yīng)的等量關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)換，即合并成“甲的速度×相遇時(shí)間＋乙的速度×相遇時(shí)間＝速度和×相遇時(shí)間”的等量關(guān)系。教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考，如果把這個(gè)等量關(guān)系看作是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，還可以解決哪些問題。學(xué)生聯(lián)想到，如果兩人同時(shí)從學(xué)校出發(fā)放學(xué)回家，相背而行，求經(jīng)過幾分鐘后兩人相距多少路程，也可以用這樣的等量關(guān)系計(jì)算。還有的學(xué)生通過觀察上述等量關(guān)系式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，結(jié)合字母表示數(shù)的知識，將等量關(guān)系式簡化成（a+b）×c＝a×c+b×c，與乘法分配律不謀而合。學(xué)生進(jìn)而聯(lián)想到這個(gè)數(shù)學(xué)模型還可以放到兩人從操場同一地點(diǎn)出發(fā)，相反方向跑步的生活情境中，計(jì)算相遇的時(shí)間；或者放到兩人共同加工一批零件的工作情境中，已知工作時(shí)間和其中一個(gè)人的工作效率，計(jì)算另一個(gè)人的工作效率。

教師還要鼓勵(lì)學(xué)生站在思維的制高點(diǎn)上，用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活中的現(xiàn)象和規(guī)律，理性地分析和把握各種生活情境中諸多數(shù)學(xué)元素之間的聯(lián)系，敏銳地抽象出蘊(yùn)藏其中的等量關(guān)系，構(gòu)建與解決問題相對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型[3]。教師還應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，相同的數(shù)學(xué)模型可以應(yīng)用在哪些不同的生活情境中，從整體上把握適用這類數(shù)學(xué)模型的情境的特點(diǎn)，進(jìn)一步感悟模型思想在概括數(shù)量關(guān)系、選擇解題策略中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維觀察世界。

二、創(chuàng)設(shè)游戲情境，滲透方程思想

教師將數(shù)學(xué)思想方法滲透在游戲情境中，能夠?yàn)閿?shù)學(xué)“冰冷的美麗”披上“五彩的外衣”，讓學(xué)生獲得富有挑戰(zhàn)性和探索性的學(xué)習(xí)經(jīng)歷[4]。巧用游戲情境，可以有效提升學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性，在游戲情境中激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想方法的真正價(jià)值，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感，同時(shí)逐漸提升思維水平。

學(xué)習(xí)了方程的相關(guān)知識之后，教師和學(xué)生一起進(jìn)行猜數(shù)游戲。教師請學(xué)生從54 張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，并將這張牌的點(diǎn)數(shù)乘5，再加上6，把所得的數(shù)乘以2，再減去22。教師每次都能根據(jù)學(xué)生報(bào)出的結(jié)果很快說出他們抽到的牌的點(diǎn)數(shù)，并在黑板上寫出對應(yīng)的兩行板書：

學(xué)生百思不得其解，很好奇教師通過什么方法算得又對又快。此時(shí)，教師神秘地告訴大家：將所報(bào)的結(jié)果除以10 再加1 就是學(xué)生手中牌的點(diǎn)數(shù)。這是為什么呢？學(xué)生想到了用列方程的方法研究這個(gè)游戲中的數(shù)學(xué)問題，他們以結(jié)果是60為例，在不確定牌的點(diǎn)數(shù)時(shí)可以設(shè)點(diǎn)數(shù)是x，于是列出方程：（5x+ 6）×2-22 ＝60，方程的解是x=7。此時(shí)，學(xué)生豁然開朗，發(fā)現(xiàn)方程的解恰好就是手中牌的點(diǎn)數(shù)。有的學(xué)生將（5x+ 6）×2-22 化簡得10x-10，結(jié)合解方程的過程得出牌的點(diǎn)數(shù)等于所報(bào)結(jié)果加上10 再除以10，并進(jìn)一步化簡推算出所報(bào)結(jié)果除以10 再加上1 就是牌的點(diǎn)數(shù)，總結(jié)出了推算點(diǎn)數(shù)的計(jì)算公式“牌的點(diǎn)數(shù)＝所報(bào)結(jié)果÷10 ＋1”。 學(xué)生修改數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)游戲策略的適用性，并利用這一技巧和同伴繼續(xù)開展猜數(shù)游戲，如一人將抽到牌的點(diǎn)數(shù)乘2，加上 7，再乘5 ，最后減去45，只要將結(jié)果說出，另一人就能立即推算出牌的點(diǎn)數(shù)。學(xué)生對用這樣的方法巧妙地“猜”出牌的點(diǎn)數(shù)贊不絕口，也對數(shù)學(xué)思想方法的魅力嘆為觀止。

學(xué)生在上述游戲情境中提高了觀察、歸納、推理能力，感悟了方程與函數(shù)的基本思想方法。在類似的游戲情境中，教師應(yīng)組織學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步討論，生活中哪些實(shí)際問題在解答時(shí)順著題意思考，并直接列算式解答比較簡便，而列算式解答時(shí)需要逆向思考、順著題意列方程解答比較簡便的實(shí)際問題又有什么特征等。學(xué)生的思考范圍從游戲情境引申到問題情境，逐步完成了從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡，不斷觸摸數(shù)學(xué)的本質(zhì)，體會方程與函數(shù)思想的優(yōu)越性，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的深度思考和方法轉(zhuǎn)換。

三、優(yōu)化操作情境，滲透數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)是發(fā)展思維與鍛煉智慧的體操，是以提高學(xué)生的思維水平和思考能力為目的的基礎(chǔ)科學(xué)[5]。數(shù)學(xué)思想方法的感悟和數(shù)學(xué)思維水平的提高不是互相孤立的，而是緊密聯(lián)系、相輔相成的。教師精心創(chuàng)設(shè)蘊(yùn)含較高思維水平的操作情境，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次、富有個(gè)性地思考問題，是滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要途徑。

學(xué)習(xí)乘法的變化規(guī)律時(shí)，為了引導(dǎo)學(xué)生把握兩個(gè)自然數(shù)的大小與它們的和、積之間的關(guān)系，探究“和定積最大，積定和最小”的規(guī)律，教師請學(xué)生思考這樣一個(gè)問題：兩個(gè)自然數(shù)的和是101，當(dāng)它們分別等于多少時(shí)乘積最大。學(xué)生反復(fù)演算，百思不得其解。這時(shí)，教師拿出22 根同樣長度的小棒，神秘地告訴大家，奧秘就藏在小棒中。教師讓學(xué)生把每根小棒的長度都看成1 米，只要用這22 根小棒圍成長方形，就能找到解決難題的方法。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，用22 根小棒按照一定的順序圍成了一些長方形，并分別記錄下它們的長、寬、周長和面積，之后發(fā)現(xiàn)周長都是22 米，長與寬的和是11 米。長依次變小，寬依次變大，它們越來越接近，面積也越來越大。當(dāng)長和寬分別是6 米和5 米時(shí)，面積最大。學(xué)生根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)大膽猜想并驗(yàn)證，當(dāng)和一定時(shí)，兩個(gè)自然數(shù)最接近時(shí)，乘積就最大。依此推理，學(xué)生把101 分成50 和51，得出的乘積最大。教師又請學(xué)生思考，兩個(gè)自然數(shù)的乘積是120，它們分別等于多少時(shí)和最小呢？此時(shí)，教師又為學(xué)生提供了24 個(gè)大小一樣的正方形。學(xué)生把每個(gè)正方形的面積看成1 平方分米，按照一定的順序拼成各種長方形，發(fā)現(xiàn)長與寬越接近，周長越小，但面積不變。當(dāng)長方形的長是6 分米，寬是4 分米時(shí)，長與寬的和最小。學(xué)生依此推理并進(jìn)一步驗(yàn)證，乘積一定時(shí)，兩個(gè)自然數(shù)相差最小時(shí)，和也最小。當(dāng)這兩個(gè)自然數(shù)分別是10 和12 時(shí)，它們的和最小。

學(xué)生融入教師精心創(chuàng)設(shè)的操作情境動手實(shí)踐、動腦思考，在數(shù)形結(jié)合的思想方法指引下發(fā)現(xiàn)和探究規(guī)律，積累活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維品質(zhì)[6]。教師要善于在高階思維水平的操作情境中引導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)量的精準(zhǔn)刻畫與圖形的直觀形象，使其感受知識的運(yùn)動和遷移，體會數(shù)與形的聯(lián)系變化與和諧統(tǒng)一，實(shí)現(xiàn)知識經(jīng)驗(yàn)的自主建構(gòu)[7]。這樣能夠在循序漸進(jìn)的思維發(fā)展中，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力和概念轉(zhuǎn)換水平。

結(jié) 語

綜上所述，掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生科學(xué)分析、解決問題的基礎(chǔ)，是學(xué)生勇于實(shí)踐和創(chuàng)新的前提。教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，用優(yōu)化的數(shù)學(xué)情境為學(xué)生感悟和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法、靈活選擇解決問題的策略拓寬思維的路徑，促進(jìn)學(xué)生實(shí)現(xiàn)概念的轉(zhuǎn)換和知識的建構(gòu)，從而有效提升學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。