吳偉志

（1.浙江海洋大學(xué)數(shù)理與信息學(xué)院，浙江舟山316022； 2.浙江海洋大學(xué)浙江省海洋大數(shù)據(jù)挖掘與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江舟山316022）

粗糙集中的下近似算子與上近似算子是粗糙集理論研究和應(yīng)用發(fā)展最重要的概念之一［1］.對(duì)于Pawlak粗糙集的近似算子的推廣研究，一般有構(gòu)造性方法和公理化方法兩種不同的方式［2-4］.在構(gòu)造性方法中，由論域及其上面的二元關(guān)系所構(gòu)成的近似空間是基本概念，由它可以構(gòu)造性地定義下近似算子與上近似算子，并可進(jìn)一步討論近似算子的數(shù)學(xué)性質(zhì)及其相關(guān)數(shù)據(jù)挖掘中的應(yīng)用.與構(gòu)造性方法不同的是，公理化方法將一對(duì)抽象的集合（近似）算子作為基本概念，該方法的主要目的是尋找抽象下、上近似算子所要滿足的條件集（稱為公理集），所給出的公理集能夠確保存在論域上的二元關(guān)系，使得由該二元關(guān)系生成的近似空間通過構(gòu)造性方法所定義的下近似算子與上近似算子恰好就是事先給定的抽象的下、上近似算子［2，5-21］.

尋找粗糙近似算子的獨(dú)立最小公理集是公理化研究的一個(gè)重要方向并取得了一些重要進(jìn)展，如文獻(xiàn)［22 -27］分別給出了一些刻畫經(jīng)典與模糊環(huán)境下粗糙近似算子的獨(dú)立公理集，然而，所有這些公理集中至少包含兩條公理.顯然，如果能用一條公理刻畫近似算子顯然是最小的，Liu［28］首次給出了用一條公理刻畫粗糙近似算子，分別得到刻畫經(jīng)典粗糙近似算子和由最大三角模T ＝min與最小三角余模S ＝max合成確定的模糊粗糙近似算子的單一公理.近年來，用一條公理刻畫粗糙近似算子成為粗糙集理論公理化方法的主要研究方向并取得了重要進(jìn)展［29-36］.眾所周知，用三角模T和三角余模S定義的模糊粗糙近似算子是一大類應(yīng)用廣泛的近似算子，稱為（S，T）-模糊粗糙近似算子，Mi等［9］對(duì)于基于一般三角模及其對(duì)偶三角余模的模糊粗糙近似算子進(jìn)行了公理刻畫研究，Wu 等［35］給出了用一條公理刻畫由各種模糊關(guān)系生成的（S，T）- 模糊粗糙近似算子.最近，Wu 等［34］還給出了用一條公理刻畫由一般直覺模糊關(guān)系以及串行、自反、對(duì)稱、T-傳遞等一些特殊直覺模糊關(guān)系生成的（S，T）-直覺模糊粗糙近似算子.本文將進(jìn)一步證明由串行、自反、對(duì)稱、T -傳遞等這些特殊直覺模糊關(guān)系可能的合成所生成的（S，T）-直覺模糊粗糙近似算子仍然可以用一條公理來刻畫.

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)介紹在本文要用到的直覺模糊集、直覺模糊三角模、直覺模糊集的T -內(nèi)積和S -外積等概念.

首先回顧由 Cornelis等［37］給出的［0，1］× ［0，1］上的一個(gè)完備格（L*，≤L*）.記

定義 L*上的一個(gè)序關(guān)系≤L*為?（x1，x2），（y1，y2）∈L*，

可以驗(yàn)證，關(guān)系≤L*是L*上的一個(gè)偏序（自反、傳遞和反對(duì)稱關(guān)系），序?qū)Γ↙*，≤L*）是一個(gè)具有最小元0L*＝（0，1）和最大元 1L*＝ （1，0）的完備格.定義

對(duì)于（x1，x2）∈L*，它在 L*中的補(bǔ)元 L*記為1L*- （x1，x2），定義

由序關(guān)系≤L*可以分別導(dǎo)出（L*，≤L*）中元素的合取∧運(yùn)算與析取運(yùn)算∨為?（x1，x2），（y1，y2）∈L*，（x1，x2）∧ （y1，y2）＝ （min（x1，y1），max（x2，y2）），（x1，x2）∨ （y1，y2）＝ （max（x1，y1），min（x2，y2））.而對(duì)于任意指標(biāo)集 J 與 aj＝ （xj，yj）∈L*，j∈J，則記

定義 1［38］設(shè) U 是非空論域，U 上的一個(gè)直覺模糊集A具有如下形式：

μA（x）和 γA（x）分別稱為對(duì)象 x∈U 屬于 A 的程度和不屬于A 的程度，簡(jiǎn)稱隸屬度和非隸屬度，且滿足

記U上直覺模糊集的全體為IF（U）.直覺模糊集A的補(bǔ)集記為～A，其定義為

對(duì)于 A∈IF（U），記A（x）＝（μA（x），γA（x）），則易見A∈IF（U）當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意x∈U 有A（x）∈L*.

下面給出IF（U）上的運(yùn)算［38］：

對(duì)于 A，B，Ai∈IF（U），i∈J（其中 J 是指標(biāo)集），

1）A?B?μA（x）≤μB（x），γA（x）≥γB（x），?x∈U；

2）A?B?B?A；

3）A ＝B?A?B 且 B?A；

4）A∩B ＝｛〈x，min（μA（x），μB（x）），max（γA（x），γB（x））〉｜x∈U｝；

5）A∪B ＝｛〈x，max（μA（x），μB（x）），min（γA（x），γB（x））〉｜x∈U｝；

利用L*，則一些特殊的直覺模糊集可以表示如下：?x，y∈U，

IF（U）上的運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)*上的運(yùn)算來表示，即對(duì)于 A，B，Aj∈IF（U），j∈J（其中 J 是指標(biāo)集），

二元算子 T：L*×L*→L*與 S：L*× L*→L*分別稱為L(zhǎng)*上的直覺模糊三角模（簡(jiǎn)稱直覺模糊t-模）與直覺模糊三角余模（直覺模糊t -余模），若它們滿足交換律與結(jié)合律，關(guān)于兩個(gè)變量單調(diào)遞增，且T與S分別有單位元1L*與0L*，即

可以證明，L*上關(guān)于序≤L*的最大直覺模糊t-模與最小直覺模糊t -余模分別為min 與max，定義為

L*上的直覺模糊t-模T與直覺模糊t -余模稱為相互對(duì)偶的當(dāng)且僅當(dāng)它們滿足De Morgan律，即

易證，若S是直覺模糊t -余模，則由（1）式定義的T 是直覺模糊t -模，反之，若T 是直覺模糊t-模，則由（2）式定義的S是直覺模糊t-余模.換言之，L*上的每個(gè)直覺模糊t -模T 都可以表示為某個(gè)直覺模糊t-余模S的對(duì)偶形式，反之亦然.因此，本文后面總是假設(shè)S與T是相互對(duì)偶的.

對(duì)于2 個(gè)直覺模糊集 A，B∈IF（U），定義 2 個(gè)直覺模糊集 T（A，B）和 S（A，B）為

命題1［34］設(shè)T是L*上的直覺模糊t-模，對(duì)于 A，B，C，Aj∈IF（U），j∈J（其中 J 是指標(biāo)集），則以下性質(zhì)成立：

命題2［34］設(shè)S是L*上的直覺模糊t-余模，對(duì)于 A，B，C，Aj∈IF（U），j∈J（其中 J 是指標(biāo)集），

若T與S是相互對(duì)偶的，則

對(duì)于 A，B∈IF（U），A 與 B 的 T - 內(nèi)積和 S -外積分別記為（A，B）T和［A，B］S，定義為［34］

命題3［34］設(shè)T是L*上的直覺模糊t-模，對(duì)于 A，B，Aj∈IF（U），j∈J（其中 J 是指標(biāo)集），（α，β）∈L*，以下性質(zhì)成立：

命題4［34］設(shè)S是L*上的直覺模糊t-余模，對(duì)于 A，B，Aj∈IF（U），j∈J（其中 J 是指標(biāo)集），（α，β）∈L*，以下性質(zhì)成立：

（O8）若T是與S對(duì)偶的直覺模糊t-模，則

2 直覺模糊粗糙近似算子的構(gòu)造性定義

本節(jié)回顧（S，T）-直覺模糊粗糙近似算子的構(gòu)造性定義.本節(jié)恒設(shè)T 與S 分別是L*上連續(xù)直覺模糊t-模與t-余模.

定義2設(shè)U與W是兩個(gè)非空論域，一個(gè)從U到W的直覺模糊關(guān)系R 是U ×W 的一個(gè)直覺模糊子集，即R∈IF（U×W）具有以下形式：

其中 μR：U × W→［0，1］與 γR：U ×W→［0，1］滿足

記所有從U到W的直覺模糊關(guān)系為IFR（U×W）.直覺模糊關(guān)系 R∈IFR（U × W）稱為串行的，若若 U ＝ W，則稱 R ∈IFR（U×U）是U上的一個(gè)直覺模糊關(guān)系，直覺模糊關(guān)系R∈IFR（U ×U）稱為自反的，若 R（x，x）＝1L*，?x∈U；R 稱為對(duì)稱的，若 R（x，y）＝ R（y，x），?x，y∈U；R 稱為 T-傳遞的，若≤L*R（x，z）， ?x，z ∈ U；R稱為T-等價(jià)的，若R是自反、對(duì)稱、T-傳遞的.

定義 3［34］設(shè) U 與 W 是兩個(gè)非空論域，R 是從U到W的直覺模糊關(guān)系，則稱（U，W，R）是一個(gè)直覺模糊近似空間.對(duì)于A∈IF（W），A關(guān)于直覺模糊近似空間（U，W，R）的S -下近似與 T -上近似是U的一對(duì)直覺模糊子集，定義如下：

對(duì)于從U到W的直覺模糊關(guān)系R 與x∈U，定義W上的直覺模糊集R（x）如下：

則易證

定理 1［34］設(shè)（U，W，R）是直覺模糊近似空間，則（S，T）-直覺模糊粗糙近似算子滿足以下性質(zhì)：?A，B∈IF（W），?Aj∈IF（W），j∈J（其中 J 是指標(biāo)集），M?U，（x，y）∈U ×W，（α，β）∈L*，

（IFU5）ˉR（?W）＝?U，其中?W與?U分別表示W(wǎng)與U中的空集.

定理 2［34］設(shè)（U，W，R）是直覺模糊近似空間，則

定理 3［34］設(shè)（U，R）是一個(gè)直覺模糊近似空間，即R是U上的直覺模糊關(guān)系，則

3 直覺模糊近似算子的公理刻畫

在（S，T）-直覺模糊粗糙近似算子的公理化方法研究中，抽象的下、上近似算子L，H：IF（W）→IF（U）是基本概念，研究的目的是找一組公理集（近似算子所要滿足的一組性質(zhì)），確保存在一個(gè)直覺模糊近似空間使得由近似空間通過構(gòu)造性方法導(dǎo)出的直覺模糊粗糙近似算子恰好就是事先給定的抽象近似算子.本節(jié)將證明只須一條公理就可以刻畫由各種直覺模糊關(guān)系生成的（S，T）-直覺模糊粗糙近似算子.本節(jié)恒設(shè)S 是L*上連續(xù)直覺模糊t-余模，T是與S對(duì)偶的直覺模糊t-模.

Wu等［34］首次給出了用一條公理刻畫了由一般直覺模糊關(guān)系定義的（S，T）-直覺模糊粗糙近似算子.

定理 4［34］設(shè) L，H：IF（W）→IF（U）是對(duì)偶直覺模糊算子，則存在從U到W的直覺模糊關(guān)系R使得

成立當(dāng)且僅當(dāng)L滿足下述公理（AIFL）：

（AIFL）?Aj∈IF（W），?（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指標(biāo)集），

或等價(jià)地，H滿足下述公理（AIFU）：

（AIFU）?Aj∈IF（W），?（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指標(biāo)集），

定義4［34］設(shè)U與W是非空論域，S 是L*上的直覺模糊t-余模，T是L*上的直覺模糊t -模.對(duì)于直覺模糊算子 O：IF（W）→IF（U），記

利用S-下逆算子與T -上逆算子，Wu 等［34］得到了用形式上更加簡(jiǎn)潔的一條公理刻畫（S，T）-直覺模糊近似算子.

定理 5［34］設(shè) L，H：IF（W）→IF（U）是對(duì)偶直覺模糊算子，則存在從U到W的直覺模糊關(guān)系R使得（3）式成立當(dāng)且僅當(dāng)L滿足以下公理（AIFL′）：

或等價(jià)地，H滿足下述公理（AIFU′）：

Wu等［34］還給出了用一條公理刻畫分別由串行、自反、對(duì)稱和T-傳遞直覺模糊關(guān)系生成的（S，T）-直覺模糊近似算子.

定理 6［34］設(shè) L，H：IF（W）→IF（U）是對(duì)偶直覺模糊算子，則存在從U 到W 的串行直覺模糊關(guān)系R 使得（3）式成立當(dāng)且僅當(dāng) L 滿足下述公理（AIFL0″）：

（AIFL0″）?Aj∈IF（W），?（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指標(biāo)集），

或等價(jià)地，H滿足下述公理（AIFU0″）：

（AIFU0″）?Aj∈IF（W），?（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指標(biāo)集），

定理 7［34］設(shè) L，H：IF（U）→IF（U）是對(duì)偶直覺模糊算子，則存在U 上的自反直覺模糊關(guān)系R使得

成立當(dāng)且僅當(dāng)L滿足下述公理（AIFLR′）：

（AIFLR′）?Aj∈IF（U），?（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指標(biāo)集），

或等價(jià)地，H滿足下列公理（AIFUR′）：

（AIFUR′）?Aj∈IF（U），?（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指標(biāo)集），

引理 1［34］設(shè) L：IF（U）→IF（U）是直覺模糊算子，S是L*上的直覺模糊t-余模，若L滿足公理（AIFL），則下述等價(jià)：

引理 2［34］設(shè) H：IF（U）→IF（U）是直覺模糊算子，T是L*上的直覺模糊t -模，若H 滿足公理（AIFU），則下述等價(jià)：

定理 8［34］設(shè)L，H：IF（U）→IF（U）是對(duì)偶直覺模糊算子，則存在U上的對(duì)稱直覺模糊關(guān)系R使得（4）式成立當(dāng)且僅當(dāng)L滿足下述公理（AIFLS′）：

（AIFLS′）?A，Aj∈IF（U），?（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指標(biāo)集），

或等價(jià)地，H滿足下列公理（AIFUS′）：

（AIFUS′）?A，Aj∈IF（U），?（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指標(biāo)集），

利用直覺模糊集的S -外積與T -內(nèi)積運(yùn)算，Wu等［34］得到了更加簡(jiǎn)潔公理用于刻畫對(duì)稱直覺模糊關(guān)系生成的（S，T）-直覺模糊近似算子.

定理 9［34］設(shè)L，H：IF（U）→IF（U）是對(duì)偶直覺模糊算子，則存在U上的對(duì)稱直覺模糊關(guān)系R使得（4）式成立當(dāng)且僅當(dāng)L滿足下述公理（AIFLS″）：

或等價(jià)地，H滿足下列公理（AIFUS″）：

定理 10［34］設(shè) L，H：IF（U）→IF（U）是對(duì)偶直覺模糊算子，則存在U上的T-傳遞直覺模糊關(guān)系R 使得（4）式成立當(dāng)且僅當(dāng) L 滿足下述公理（AIFLT′）：

（AIFLT′）?Aj∈IF（U），?（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指標(biāo)集），

或等價(jià)地，H滿足下列公理（AIFUT′）：

（AIFUT′）?Aj∈IF（U），?（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指標(biāo)集），

下面討論由串行、自反、對(duì)稱和T -傳遞模糊關(guān)系的可能組合所生成的（S，T）-直覺模糊近似算子的單一公理刻畫問題.

定理 11設(shè) L，H：IF（U）→IF（U）是對(duì)偶直覺模糊算子，則存在U上的串行和對(duì)稱直覺模糊關(guān)系R 使得（4）式成立當(dāng)且僅當(dāng) L 滿足下述公理（AIFLS0）：

（AIFLS0）?A，Aj∈IF（U），?（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指標(biāo)集），

或等價(jià)地，H滿足下述公理（AIFUS0）：

（AIFUS0）?A，Aj∈IF（U），?（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指標(biāo)集），

證明必要性 若存在U 上串行和對(duì)稱直覺模糊關(guān)系R使得（4）式成立.由定理2與引理1可知L（?U）＝ ?U，且對(duì)于任意 A∈IF（U）有L（A）.于是由定理4 可得 L 滿足公理（AIFLS0）.

充分性 若 L 滿足公理（AIFLS0），在（6）式中令 J ＝ ｛1｝，并?。é?，β1）＝ （α，β）＝1L*，A1＝ A ＝則有（U - L（?U））∩L（U）＝ U，于是，U-L（?U）＝U，這意味著

從而，公理（AIFLS0）退化成公理（AIFLS′）.這樣，由定理8 知，存在U上的對(duì)稱直覺模糊關(guān)系R使得（4）式成立.因而進(jìn)一步由（7）式和定理 2 知，R 是串行的.

定理 12設(shè) L，H：IF（U）→IF（U）是對(duì)偶直覺模糊算子，則存在U上的串行和T -傳遞直覺模糊關(guān)系R使得（4）式成立當(dāng)且僅當(dāng)L滿足下述公理（AIFLT0）：

（AIFLT0）?Aj∈IF（U），?（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指標(biāo)集），

或等價(jià)地，H滿足下述公理（AIFUT0）：

（AIFUT0）?Aj∈IF（U），?（αj，βj）∈L*，j∈J（其中J是指標(biāo)集），

證明必要性 若存在U 上串行和T -傳遞直覺模糊關(guān)系 R 使得（4）式成立.由定理 2 知L（?U）＝?U，即 U-L（?U）＝U.這樣由定理10 得 L滿足公理（AIFLT0）.

充分性 若L滿足公理（AIFLT0），在（8）式中令 J ＝ ｛1｝，并取則有（U-L（?U））∩L（U）＝U，于是，U -L（?U）＝ U，這意味著

因此，公理（AIFLT0）退化為公理（AIFLT′）.于是，由定理10 知，存在U上的T-傳遞直覺模糊關(guān)系R使得（4）式成立.進(jìn)一步，由（9）式和定理2，即知R是串行的.

定理 13設(shè) L，H：IF（U）→IF（U）是對(duì)偶直覺模糊算子，則存在U上的自反和對(duì)稱直覺模糊關(guān)系R 使得（4）式成立當(dāng)且僅當(dāng) L 滿足下述公理（AIFLRS）：

（AIFLRS）?A，Aj∈IF（U），?（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指標(biāo)集），

或等價(jià)地，H滿足下述公理（AIFURS）：

（AIFURS）?A，Aj∈IF（U），?（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指標(biāo)集），

證明必要性 若存在U 上自反和對(duì)稱直覺模糊關(guān)系R使得（4）式成立.由定理3 知，對(duì)于任意B∈IF（U）有 L（B）?B.于是對(duì)于任意指標(biāo)集 J，任意 Aj∈IF（U）和（αj，βj）∈L*，j∈J，有

從而，由定理 8 知（10）式成立.因此，L 滿足公理（AIFLRS）.

充分性 若L 滿足公理（AIFLRS），對(duì)于任意B∈IF（U），在（10）式中令 J ＝｛1｝，并?。é?，β1）＝0L*，（α，β）＝1L*，A1＝A ＝ B，則有 L（B）＝ L（B）∩B.從而，

于是，對(duì)于任意 Aj∈IF（U），（αj，βj）∈L*，j∈J，其中J是任意指標(biāo)集，可知包含關(guān)系（11）成立，這意味著

因此，公理（AIFLRS）退化為公理（AIFLS′）.從而，由定理8 知，存在U上的對(duì)稱直覺模糊關(guān)系R使得（4）式成立.進(jìn)一步，由包含關(guān)系（12）和定理3 知，R是自反的.

利用直覺模糊集的S -外積與T -內(nèi)積，可以得到更加簡(jiǎn)潔單一公理形式用于刻畫由自反和對(duì)稱直覺模糊關(guān)系生成的（S，T）-直覺模糊粗糙近似算子.

定理 14設(shè) L，H：IF（U）→IF（U）是對(duì)偶直覺模糊算子，則存在U上的自反和對(duì)稱直覺模糊關(guān)系R 使得（4）式成立當(dāng)且僅當(dāng) L 滿足下述公理（AIFLRS′）：

或等價(jià)地，H滿足下述公理（AIFURS′）：

證明必要性 若存在U 上自反和對(duì)稱直覺模糊關(guān)系R 使得（4）式成立.一方面，由于 R 是對(duì)稱的，由定理8 知

另一方面，由于R 是自反的，由定理3 可以推出包含關(guān)系（12）成立.這樣由包含關(guān)系（12）和（14）式可得（13）式，即 L 滿足公理（AIFLRS′）.

充分性 若 L 滿足公理（AIFLRS′），則對(duì)于任意 A，B ∈IF（U），由命題 4 中的性質(zhì)（O1）與（O7）得

于是

從而，由命題4 的性質(zhì)（O4）知

從而，公理（AIFLRS′）退化為公理（AIFLS″）.因此，由定理9 知，存在U上的對(duì)稱直覺模糊關(guān)系R使得（4）式成立.進(jìn)一步，由包含關(guān)系（15）與定理3 即知R是自反的.

定理 15設(shè) L，H：IF（U）→IF（U）是對(duì)偶直覺模糊算子，則存在U上的對(duì)稱和T -傳遞直覺模糊關(guān)系R使得（4）式成立當(dāng)且僅當(dāng)L滿足下述公理（AIFLST）：

（AIFLST）?A，Aj∈IF（U），?（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指標(biāo)集），

或等價(jià)地，H滿足下述公理（AIFUST）：

（AIFUST）?A，Aj∈IF（U），?（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指標(biāo)集），

證明必要性 若存在U 上對(duì)稱和T -傳遞直覺模糊關(guān)系R使得（4）式成立.由于R 是T -傳遞的，由定理3 知

因此，由命題2 的性質(zhì)（S2）知

從而，對(duì)于任意（α，β）∈L*與 B∈IF（U）有

另一方面，又由于R 是對(duì)稱的，由定理8 知L 滿足公理（AIFLS′）.因此，由（18）式可知 L 滿足公理（AIFLST）.

充分性 若 L 滿足公理（AIFLST），對(duì)于任意B∈IF（U），在（16）式中令 J ＝ ｛1｝，并?。é?，β1）＝0L*，（α，β）＝1L*，A1＝ A ＝ B，則得 L（B）＝ L（B）∩L（L（B））.于是包含關(guān)系（17）成立.從而，公理（AIFLST）退化成公理（AIFLS′）.因而，由定理 8知，存在U上的對(duì)稱直覺模糊關(guān)系R 使得（4）式成立.進(jìn)一步，由包含關(guān)系（17）與定理3 知，R 是T -傳遞的.

利用直覺模糊集的S -外積與T -內(nèi)積，可以得到更加簡(jiǎn)潔單一公理形式用于刻畫由對(duì)稱和T-傳遞直覺模糊關(guān)系生成的（S，T）-直覺模糊粗糙近似算子.

定理 16設(shè) L，H：IF（U）→IF（U）是對(duì)偶直覺模糊算子，則存在U上的對(duì)稱和T -傳遞直覺模糊關(guān)系R使得（4）式成立當(dāng)且僅當(dāng)L滿足下述公理（AIFLST′）：

或等價(jià)地，H滿足下述公理（AIFUST′）：

證明必要性 若存在U 上對(duì)稱和T -傳遞直覺模糊關(guān)系R 使得（4）式成立.一方面，由于R是對(duì)稱的，由定理9 可得

另一方面，由于R 是T -傳遞的，由定理3 知包含關(guān)系（17）成立.因此，由包含關(guān)系式（17）與（20）即知，（19）式成立，即 L 滿足公理（AIFLST′）.

充分性 若 L 滿足公理（AIFLST′），對(duì)于任意A，B∈IF（U），由命題4 的性質(zhì)（O7）知

在（22）式中交換A與B的位置，并利用命題4 的性質(zhì)（O1）得

因此，由定理9 知，存在U 上的對(duì)稱直覺模糊關(guān)系R 使得（4）式成立.另一方面，由（21）式可得

這樣，由（23）式可得

從而由命題4 的性質(zhì)（O1）與（O4）即知

進(jìn)一步由定理3 即知，R是T-傳遞的.

定理 17設(shè) L，H：IF（U）→IF（U）是對(duì)偶直覺模糊算子，則存在U上的T-等價(jià)直覺模糊關(guān)系R 使得（4）式成立當(dāng)且僅當(dāng) L 滿足下述公理（AIFLE）：

（AIFLE）?A，Aj∈IF（U），?（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指標(biāo)集），

或等價(jià)地，H滿足下述公理（AIFUE）：

（AIFUE）?A，Aj∈IF（U），?（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J（其中 J 是指標(biāo)集），

證明必要性 若存在U 上T -等價(jià)直覺模糊關(guān)系 R 使得（4）式成立.對(duì)于任意 A，Aj∈IF（U），（α，β），（αj，βj）∈L*，j∈J，其中 J 是任意指標(biāo)集，由于R是對(duì)稱和T -傳遞的，由定理15 知（16）式成立.另一方面，由于R是自反的，由定理7知（5）式成立.這樣，利用（16）與（5）式即知（24）式成立，即L滿足公理（AIFLE）.

充分性 若L滿足公理（AIFLE），對(duì)于任意B∈IF（U），在（24）式中令 J ＝ ｛1｝，并?。é?，β1）＝0L*，（α，β）＝1L*，A1＝A ＝ B，則有

因此，公理（AIFLE）退化為公理（AIFLS′）.這樣，由定理8 知，存在U 上的對(duì)稱直覺模糊關(guān)系R 使得（4）式成立.進(jìn)一步，由包含關(guān)系式（25）與（26）以及定理3 知R是自反和T-傳遞的.

利用直覺模糊集的S -外積與T -內(nèi)積，可以得到更加簡(jiǎn)潔單一公理形式用于刻畫由T -等價(jià)直覺模糊關(guān)系生成的（S，T）-直覺模糊粗糙近似算子.

定理 18設(shè) L，H：IF（U）→IF（U）是對(duì)偶直覺模糊算子，則存在U上的T-等價(jià)直覺模糊關(guān)系R 使得（4）式成立當(dāng)且僅當(dāng) L 滿足下述公理（AIFLE′）：

或等價(jià)地，H滿足下述公理（AIFUE′）：

證明必要性 若存在U 上T -等價(jià)直覺模糊關(guān)系R使得（4）式成立.一方面，由于R 是對(duì)稱和T-傳遞的，由定理16 可得

另一方面，由于R是自反的，由定理3 即知

從而，由（28）式與包含關(guān)系式（29）即知（27）式成立，即 L 滿足公理（AIFLE′）.

充分性 若 L 滿足公理（AIFLE′），對(duì)于任意A，B∈IF（U），由命題 4 的性質(zhì)（O7）得

在上式中交換A 與B 的位置并利用命題4 的性質(zhì)（O1）有

這樣，由定理9 知，存在U 上的對(duì)稱直覺模糊關(guān)系R 使得（4）式成立.另一方面，（30）式蘊(yùn)含

類似于定理14 與16 的證明，不等式（31）與（32）分別蘊(yùn)含包含關(guān)系（25）與（26）.因此，由定理 3 可知，R是自反和T-傳遞的.這樣證明了R是一個(gè)T-等價(jià)直覺模糊關(guān)系.

4 結(jié)束語

粗糙近似算子的公理刻畫是粗糙集理論發(fā)展的一個(gè)重要方向，也是研究粗糙集的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要手段.在公理化方法中，一個(gè)基本的問題是尋找抽象近似算子所要滿足能確保存在二元關(guān)系的充分必要條件（獨(dú)立的最小公理集），使得由該二元關(guān)系生成的近似算子恰好就是所給的抽象近似算子.本文在文獻(xiàn)［34］的基礎(chǔ)上進(jìn)一步給出了由各種直覺模糊關(guān)系生成的（S，T）-直覺模糊近似算子的單一公理刻畫.由于當(dāng)I 是S -直覺模糊蘊(yùn)含算子時(shí)，（S，T）-直覺模糊近似算子可以看成是由特殊的直覺模糊蘊(yùn)含算子I 所確定的直覺模糊近似算子，由一般直覺模糊蘊(yùn)含算子確定的各種直覺模糊粗糙近似算子的單一公理刻畫是一個(gè)值得進(jìn)一步研究的問題.