唐 茜， 柏明強， 莫智文

（四川師范大學數(shù)學科學學院，四川成都610066）

量子糾纏作為一種重要的物理資源，在量子通信方面有廣泛的應用，如量子隱形傳態(tài)、量子密集編碼、量子密鑰分配等，其中，量子隱形傳態(tài)是量子通信中引人矚目的課題之一.量子隱形傳態(tài)是間接的量子態(tài)傳輸方式，通過量子糾纏建立量子信道輔以經(jīng)典信道，可以實現(xiàn)未知量子態(tài)的遠程傳輸.1993 年，Bennett 等［1］首次提出量子隱形傳態(tài)的概念，利用量子糾纏態(tài)的非局域性，首先在通信雙方之間分發(fā)EPR 對來作為量子信道，然后通過量子測量及相關的幺正變換實現(xiàn)量子態(tài)的遠程傳輸.而受控隱形傳態(tài)則是在1998 年由Karlsson 等［2］首次提出，是以GHZ糾纏態(tài)作為量子信道，在控制方的幫助下重建未知的單量子態(tài).

隨著量子研究的發(fā)展，隱形傳態(tài)由單向隱形傳態(tài)發(fā)展到雙向隱形傳態(tài)［3-9］，受控隱形傳態(tài)發(fā)展到雙向受控隱形傳態(tài)［10-29］等形式.如吳柳雯等［3］提出了以四粒子Ω 糾纏態(tài)作為量子信道實現(xiàn)單量子比特、雙量子比特以及受限三量子比特的雙向隱形傳態(tài)；劉乾等［6］利用合適的三粒子GHZ 糾纏態(tài)構造量子信道，實現(xiàn)EPR 對雙向隱形傳態(tài)；孫新梅等［10］提出基于六粒子最大糾纏態(tài)的雙向受控隱形傳態(tài)方案；王小宇等［22］提出一種利用非最大糾纏態(tài)作為量子信道，實現(xiàn)任意Bell型糾纏態(tài)的雙向受控概率隱形傳態(tài)；王貴祥等［27］提出基于三粒子GHZ態(tài)實現(xiàn)未知單粒子態(tài)的三方或四方參與的雙向受控隱形傳態(tài).

盡管到目前為止提出了眾多的雙向受控隱形傳態(tài)方案，但是這些方案傳輸粒子至多是二粒子態(tài)，且未對量子信道的安全性進行討論分析.本文針對多粒子量子態(tài)的雙向受控隱形傳態(tài)這一問題，提出利用兩對合適的M +1（＞N +1）粒子的GHZ型糾纏態(tài)為量子信道，實現(xiàn)N（＞2）粒子的GHZ型糾纏態(tài)的雙向受控隱形傳態(tài)方案，且討論分析方案的效率和安全性，說明了方案是高效安全的.同時，本文選取的量子信道GHZ 型糾纏態(tài)在實驗中容易制備，相應的測量操作也方便簡單，易于實現(xiàn)雙向受控隱形傳態(tài).

1 N粒子GHZ 型糾纏態(tài)的雙向隱形傳態(tài)方案

假設Alice擁有如下N粒子GHZ型糾纏態(tài)

其中非零實數(shù) a0、a1滿足｜a0｜2+ ｜a1｜2＝ 1.Bob 擁有如下N粒子GHZ型糾纏態(tài)

其中非零實數(shù) b0、b1滿足｜b0｜2+ ｜b1｜2＝1.

現(xiàn)在 Alice 想要將態(tài) ｜ξ〉A1…AN傳給 Bob，同時Bob 想要將態(tài)｜η〉B1…BN傳給 Alice.為了完成這個雙向傳輸任務，Alice、Bob 與控制者 Charlie 共享如下一對合適的M +1 粒子的GHZ 型糾纏態(tài)作為量子信道：

粒子 S1，S2，…，SM屬于 Alice，粒子 T1，T2，…，TM屬于 Bob，粒子 C1、C2屬于 Charlie.

整個方案的流程圖如圖1 所示.

圖1 方案流程圖Fig. 1 Scheme flow chart

在本方案中，整個系統(tǒng)的初態(tài)為

方案按以下4 個步驟依次進行.

第一步：Alice和Bob分別以量子比特A1和B1為控制相位，量子比特S1和T1為目標相位，進行受控非門操作，得到的結果為

第二步：1）Alice 和 Bob 分別對粒子 S1、T1進行 Z ＝｛｜0〉，｜1〉｝基測量，并通過經(jīng)典信道公布測量結果.其可能的測量結果有4 種，概率均為1/4.令 Alice 的粒子 A1，A2，…，AN，S2，S3，…，SM-N分別為 1，2，…，N，N +1，…，M -1，Bob 的粒子 B1，B2，…，BN，T2，T3，…，TM-N分別為 1′，2′，…，N′，（N +1）′，…，（M-1）′，經(jīng)過測量后的系統(tǒng)坍塌為：

表 1 xkt、ykt（k=1，2，3，4；t=0，1）的表示情況Tab. 1 Represents the situation of xkt，ykt（k=1，2，3，4；t=0，1）

2）Alice和Bob分別對自己的粒子1，2，…，N，N+1，…，M-1 和 1′，2′，…，N′，（N+1）′，…，（M-1）′進行 X ＝｛｜+〉，｜-〉｝基測量，并向對方及控制者Charlie公布測量結果.

第三步：若控制者Charlie 同意雙方通信，則控制者 Charlie對自己的粒子 C1、C2進行 X ＝｛｜+〉，｜-〉｝基測量，并將測量結果通過經(jīng)典信道公布給通信雙方.

第四步：經(jīng)過測量，系統(tǒng)坍塌為相應的態(tài)

通信雙方根據(jù)對方公布測量結果相對應的τk（xkt）、τk（ykt）（k ＝1，2，3，4；t ＝0，1）的奇偶情況及控制方的測量結果采用表2 相對應的幺正變換，即可得到對方待傳的態(tài).

表 2 τk（xkt）τk（ykt）的奇偶性，Charlie 的測量結果，相應的坍塌態(tài)及幺正變換Tab. 2 The parity of τk（xkt）τk（ykt），measurement results of Charlie，corresponding collapse state and unitary transformation

舉例說明：如果 Alice 的測量結果為｜0〉S1｜+〉1…｜+〉M-1，Bob的測量結果為｜0〉T1｜ + 〉1′…｜+ 〉（M-1）′，控制者 Charlie 的測量結果為 ｜+ 〉C1｜+〉C2，則 k ＝1，τk（xk1）、τk（yk0）、τk（yk1）中取值為1 的有0（偶數(shù)）個，且其余粒子坍塌為

因此，通信雙方Alice 和Bob 只要對自己所擁有的量子比特作如表2 中相應的幺正變換：

便可重構N粒子GHZ 型糾纏態(tài)，實現(xiàn)雙向受控隱形傳態(tài).

2 效率分析

效率是設計方案所必需考慮的重要因素.在量子通信的協(xié)議中，常用2 種效率公式來評估方案：

1）量子密碼協(xié)議的效率［30］

2）量子比特效率

其中bs、qt和bt分別表示為通信方得到的秘密量子比特數(shù)、總量子比特數(shù)（秘密量子比特數(shù)與量子信道比特數(shù)之和）和經(jīng)典比特數(shù).本文的2 個效率分別為

要使本文效率達到最高，則傳輸N 粒子GHZ 型糾纏態(tài)需選擇M +1 ＝N +2 粒子GHZ型糾纏態(tài)來構建信道，2 個效率變?yōu)?/p>

由于本方案是雙向傳輸N（＞2）粒子GHZ 型糾纏態(tài)的隱形傳態(tài)，且本方案在理想情況下效率與傳輸?shù)牧Ｗ訑?shù)成正比，而已有的一些方案雙向傳輸?shù)氖菃瘟Ｗ踊蚨Ｗ討B(tài).若本文以一對五粒子GHZ 型糾纏態(tài)為量子信道雙向傳輸三粒子GHZ 糾纏態(tài)為例，與已有的一些方案相比，方案效率比較如表3.

表3 方案效率比較Tab. 3 Scheme efficiency comparison

從表3 可以看出文獻［15，19，21］雙向傳輸?shù)氖菃瘟Ｗ討B(tài)，文獻［23］雙向傳輸?shù)氖遣粚ΨQ態(tài)（單粒子態(tài)與二粒子態(tài)），且這些文獻的效率均低于本文效率.由于這些文獻秘密量子比特數(shù)bs與本方案的取值不同，接下來考慮這些文獻的秘密量子比特數(shù)bs均為6（通信雙方共傳輸6 個粒子）可能得到的效率，情況如下（以文獻［15］為例，其他文獻情況類似）：

文獻［15］的量子信道是8 粒子態(tài)，其中控制方Charlie擁有2 個粒子，在控制方同意通信的情況下，通信雙方利用6 個粒子傳輸2 個粒子.由于控制方的粒子數(shù)與傳輸?shù)牧Ｗ訑?shù)無關，則在控制方粒子數(shù)不變的情況下，通信雙方傳輸6 個粒子理論上需要18 個粒子，因此量子信道變?yōu)?0 粒子態(tài)，總量子比特數(shù)qt變?yōu)?6，經(jīng)典比特數(shù)bt變?yōu)?0，效率ζ ＝13%，μ ＝23.1%.其他文獻情況類似，則在文獻［19］中有：

在文獻［21］中有：

在文獻［23］中有：

在秘密量子比特數(shù)bs均為6 的情況下，通過對比，本文的效率更高.

3 安全性分析

一個安全的受控隱形傳態(tài)協(xié)議應滿足如下幾點：

1）在通信結束前，通信雙方無法得到對方的待傳態(tài)；

2）竊聽者無法通過通信雙方的交互信息來獲取待傳態(tài)；

3）能抵抗截獲-重發(fā)攻擊，糾纏攻擊等；

4）控制者是可信的，即控制者只誠實的執(zhí)行協(xié)議操作.

本文以一對五粒子GHZ型糾纏態(tài)構成的量子信道雙向傳輸三粒子GHZ 糾纏態(tài)為例進行安全性分析（其他情況類似）.設待傳三粒子 GHZ 糾纏態(tài)為：

且非零實數(shù) a0、a1、b0、b1滿足

則量子信道、系統(tǒng)初態(tài)分別如下：

3.1 外部攻擊基于量子力學的基本原理，如測不準原理和量子不可克隆原理，量子的通信相對于經(jīng)典通信是安全可靠的.一般情況下，竊聽者Eve有兩種常見的攻擊策略.一種是截獲-重發(fā)攻擊，即竊聽者Eve截取控制方Charlie分發(fā)給發(fā)送者Alice或Bob所發(fā)送的量子態(tài)，測出一個結果，然后根據(jù)自己測量的結果產(chǎn)生一個新的量子態(tài)發(fā)送給接收者Bob或Alice.這種簡單的攻擊在量子密鑰分配協(xié)議中已經(jīng)被完美地證明該攻擊無效，即竊聽者Eve不能從量子密鑰分配的過程中得到任何有效的信息.另一種是糾纏攻擊，本文的糾纏攻擊有以下2 種情況：

1）信道共享階段的糾纏攻擊.若Eve 的糾纏攻擊發(fā)生在信道共享階段，即對量子信道發(fā)起糾纏攻擊.假設竊聽者Eve想辦法將自己的初態(tài)糾纏在量子信道中的 Bob 粒子 T1、T2、T3、T4上（相同地可以糾纏在 Alice的粒子上），即以 T1、T2、T3、T4為控制相位，E′1、E1、E2、E3為目標相位進行受控非門操作，則量子信道處于14 粒子糾纏態(tài)，即

由（13）式可以看出：竊聽者Eve與接受者Bob的地位相同，但這種情況不可能出現(xiàn).因為當Alice 和Bob隨機選擇一些相應的粒子對進行相應的｜GHZ〉基測量和 Charlie 對粒子進行 Bell 基測量后，通過分析三人的測量結果且對比（11）和（13）式，可以發(fā)現(xiàn)有50%的測量結果不相關聯(lián)，如Alice的測量結果是 ｜GHZ〉0，Charlie 的測量結果是｜φ〉0，由（11）式可以知道相關聯(lián) Bob 的測量結果為｜GHZ〉2，而由（13）式發(fā)現(xiàn) Bob 的測量結果有 2種情況，通過分析比較有50%的測量結果不相關聯(lián).從而得到通信信道是不安全的結論，則通信雙方及控制者會舍掉該信道且重選新信道，因此，該階段的糾纏攻擊是無效的.

2）通信階段的糾纏攻擊.若Eve 的糾纏攻擊發(fā)生在通信階段，即對系統(tǒng)初態(tài)｜ψF〉發(fā)起糾纏攻擊.假設 Eve 將初態(tài)為｜0〉E1、｜0〉E2、｜0〉E3、｜0〉E4、分別糾纏在系統(tǒng)初態(tài)｜ψF〉中的 Alice、Bob 的粒子 S1、S2、S3、S4、T1、T2、T3、T4上，即以 S1、S2、S3、S4、T1、T2、T3、T4為控制相位為目標相位進行受控非門操作，則系統(tǒng)初態(tài)變?yōu)?/p>

首先以量子比特A1和B1為控制相位，量子比特S1和T1為目標相位，進行受控非門操作，得到的結果為

然后 Charlie 對粒子 C1、C2進行 X 基測量，Alice、Bob分別對粒子S1、T1進行Z 基測量，以及對粒子A1、A2、A3、B1、B2、B3進行 X 基測量，同時竊聽者Eve 需對粒子 E1、E′1進行 Z 基測量，且與粒子 S1、T1的測量結果相同.如Alice 的測量結果為｜0〉S1｜+〉A1｜+〉A2｜+ 〉A3，Bob 的測量結果為 ｜0〉T1｜+〉B1｜+〉B2｜+ 〉B3，控制者 Charlie 的測量結果為 ｜ + 〉C1｜ + 〉C2，則 Eve 的測量結果為 ｜0〉E1｜0〉E1′，且系統(tǒng)坍塌為（其他測量結果情況類似）

由（20）式可以看出，竊聽者Eve得不到完整的待傳態(tài)，即糾纏攻擊是無效的結論.

3.2 內部攻擊不誠實的參與者比竊聽者Eve 更容易竊取信息，因為不誠實的參與者合法地知道部分信息.不妨假設Bob 不可信（稱為Bob*），他想獲得Alice的待傳態(tài)，而不被Alice 和Charlie 發(fā)現(xiàn).由于Bob*不知道Alice和Charlie的操作和測量結果，則Bob*直接對系統(tǒng)初態(tài)｜ψF〉中Alice和Char-lie的粒子 A1、A2、A3、S1和 C1進行測量.假設Bob*首先對粒子S1進行單粒子測量，測量基可能為

則其可能的測量的結果有4 種，經(jīng)測量后系統(tǒng)初態(tài)坍塌為：

由（17）～（20）式可以看出，當Bob*對粒子 S1進行Z 基測量時，Bob*再對其他粒子進行任何投影測量都得不到完整的待傳態(tài)，則Bob*應對粒子S1進行X基測量.假設S1的測量結果為｜+〉，則系統(tǒng)坍塌態(tài)為接下來 Bob*對中粒子 A1、A2、A3及C1進行單粒子測量，則測量結果可能有256 種.如測量結果為 ｜+〉A1、｜+〉A2、｜+〉A3、｜+〉C1，則系統(tǒng)坍塌為（其他測量結果情況類似）

由（21）式可以看出，不可信的參與者Bob*得不到Alice的待傳態(tài)，即內部攻擊是無效的結論.

3.3 安全性對比本文與已有的文獻［13，15 -16，19，21］相比更安全.例如文獻［21］（其他文獻類似）中Alice和Bob待傳輸?shù)牧孔討B(tài)分別為：

其中復數(shù) A0、A1、B0、B1滿足

Alice、Bob和控制者Cindy 共享一五粒子Cluster 態(tài)為量子信道，則信道表示為

整個系統(tǒng)初態(tài)為

其中粒子 A、1、5 屬于 Alice，粒子 B、2、3 屬于 Bob，粒子4 屬于控制者Cindy.

若方案的攻擊為內部攻擊，假設參與者Bob 是不可信的（稱為Bob*），則Bob*不知道Alice 和Charlie的操作和測量結果. Bob*直接對系統(tǒng)初態(tài)｜Φ〉BA12345中 Alice 和 Charlie 的粒子 A、1、5 和 4 進行測量，假設Bob*對粒子A，1 進行Bell基測量和對粒子4 進行單粒子測量，單粒子測量基可能為

由（24）式可知，Bob*有可能在不被Alice 和Charlie發(fā)現(xiàn)情況下得到Alice待傳輸?shù)男畔0｜0〉+A1｜1〉，即在內部攻擊下文獻［21］是不安全的.

綜上所述，與文獻［21］相比，本文的隱形傳態(tài)方案具有更高的安全性.

4 結束語

本文提出了基于M +1 粒子GHZ 型糾纏態(tài)實現(xiàn)N粒子GHZ 型糾纏態(tài)雙向受控隱形傳態(tài)方案.在此方案中，通信雙方Alice和Bob及控制方Charlie事先共享一對合適的 M +1 粒子GHZ 型糾纏態(tài)，利用GHZ 型糾纏態(tài)的關聯(lián)性及頑固性強的優(yōu)點實現(xiàn)雙向受控隱形傳態(tài).通信開始后，Alice 和Bob首先分別對個別粒子進行受控非門操作，再對該粒子進行Z基測量及對其他部分粒子進行X 基測量，并通過經(jīng)典信道向對方及控制方Charlie 公布測量結果.然后 Charlie 對粒子 C1、C2進行 X 基測量，并將測量結果通過經(jīng)典信道公布給通信雙方.最后通信雙方根據(jù)所有公布的測量結果對各自粒子做相應的幺正變換，即可實現(xiàn)雙向受控隱形傳態(tài).同時對方案進行效率及安全性分析，證明本文方案具有更高的效率及安全性.