唐 茜， 柏明強(qiáng)， 莫智文

（四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都610066）

量子糾纏作為一種重要的物理資源，在量子通信方面有廣泛的應(yīng)用，如量子隱形傳態(tài)、量子密集編碼、量子密鑰分配等，其中，量子隱形傳態(tài)是量子通信中引人矚目的課題之一.量子隱形傳態(tài)是間接的量子態(tài)傳輸方式，通過(guò)量子糾纏建立量子信道輔以經(jīng)典信道，可以實(shí)現(xiàn)未知量子態(tài)的遠(yuǎn)程傳輸.1993 年，Bennett 等［1］首次提出量子隱形傳態(tài)的概念，利用量子糾纏態(tài)的非局域性，首先在通信雙方之間分發(fā)EPR 對(duì)來(lái)作為量子信道，然后通過(guò)量子測(cè)量及相關(guān)的幺正變換實(shí)現(xiàn)量子態(tài)的遠(yuǎn)程傳輸.而受控隱形傳態(tài)則是在1998 年由Karlsson 等［2］首次提出，是以GHZ糾纏態(tài)作為量子信道，在控制方的幫助下重建未知的單量子態(tài).

隨著量子研究的發(fā)展，隱形傳態(tài)由單向隱形傳態(tài)發(fā)展到雙向隱形傳態(tài)［3-9］，受控隱形傳態(tài)發(fā)展到雙向受控隱形傳態(tài)［10-29］等形式.如吳柳雯等［3］提出了以四粒子Ω 糾纏態(tài)作為量子信道實(shí)現(xiàn)單量子比特、雙量子比特以及受限三量子比特的雙向隱形傳態(tài)；劉乾等［6］利用合適的三粒子GHZ 糾纏態(tài)構(gòu)造量子信道，實(shí)現(xiàn)EPR 對(duì)雙向隱形傳態(tài)；孫新梅等［10］提出基于六粒子最大糾纏態(tài)的雙向受控隱形傳態(tài)方案；王小宇等［22］提出一種利用非最大糾纏態(tài)作為量子信道，實(shí)現(xiàn)任意Bell型糾纏態(tài)的雙向受控概率隱形傳態(tài)；王貴祥等［27］提出基于三粒子GHZ態(tài)實(shí)現(xiàn)未知單粒子態(tài)的三方或四方參與的雙向受控隱形傳態(tài).

盡管到目前為止提出了眾多的雙向受控隱形傳態(tài)方案，但是這些方案?jìng)鬏斄Ｗ又炼嗍嵌Ｗ討B(tài)，且未對(duì)量子信道的安全性進(jìn)行討論分析.本文針對(duì)多粒子量子態(tài)的雙向受控隱形傳態(tài)這一問(wèn)題，提出利用兩對(duì)合適的M +1（＞N +1）粒子的GHZ型糾纏態(tài)為量子信道，實(shí)現(xiàn)N（＞2）粒子的GHZ型糾纏態(tài)的雙向受控隱形傳態(tài)方案，且討論分析方案的效率和安全性，說(shuō)明了方案是高效安全的.同時(shí)，本文選取的量子信道GHZ 型糾纏態(tài)在實(shí)驗(yàn)中容易制備，相應(yīng)的測(cè)量操作也方便簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)雙向受控隱形傳態(tài).

1 N粒子GHZ 型糾纏態(tài)的雙向隱形傳態(tài)方案

假設(shè)Alice擁有如下N粒子GHZ型糾纏態(tài)

其中非零實(shí)數(shù) a0、a1滿足｜a0｜2+ ｜a1｜2＝ 1.Bob 擁有如下N粒子GHZ型糾纏態(tài)

其中非零實(shí)數(shù) b0、b1滿足｜b0｜2+ ｜b1｜2＝1.

現(xiàn)在 Alice 想要將態(tài) ｜ξ〉A(chǔ)1…AN傳給 Bob，同時(shí)Bob 想要將態(tài)｜η〉B1…BN傳給 Alice.為了完成這個(gè)雙向傳輸任務(wù)，Alice、Bob 與控制者 Charlie 共享如下一對(duì)合適的M +1 粒子的GHZ 型糾纏態(tài)作為量子信道：

粒子 S1，S2，…，SM屬于 Alice，粒子 T1，T2，…，TM屬于 Bob，粒子 C1、C2屬于 Charlie.

整個(gè)方案的流程圖如圖1 所示.

圖1 方案流程圖Fig. 1 Scheme flow chart

在本方案中，整個(gè)系統(tǒng)的初態(tài)為

方案按以下4 個(gè)步驟依次進(jìn)行.

第一步：Alice和Bob分別以量子比特A1和B1為控制相位，量子比特S1和T1為目標(biāo)相位，進(jìn)行受控非門(mén)操作，得到的結(jié)果為

第二步：1）Alice 和 Bob 分別對(duì)粒子 S1、T1進(jìn)行 Z ＝｛｜0〉，｜1〉｝基測(cè)量，并通過(guò)經(jīng)典信道公布測(cè)量結(jié)果.其可能的測(cè)量結(jié)果有4 種，概率均為1/4.令 Alice 的粒子 A1，A2，…，AN，S2，S3，…，SM-N分別為 1，2，…，N，N +1，…，M -1，Bob 的粒子 B1，B2，…，BN，T2，T3，…，TM-N分別為 1′，2′，…，N′，（N +1）′，…，（M-1）′，經(jīng)過(guò)測(cè)量后的系統(tǒng)坍塌為：

表 1 xkt、ykt（k=1，2，3，4；t=0，1）的表示情況Tab. 1 Represents the situation of xkt，ykt（k=1，2，3，4；t=0，1）

2）Alice和Bob分別對(duì)自己的粒子1，2，…，N，N+1，…，M-1 和 1′，2′，…，N′，（N+1）′，…，（M-1）′進(jìn)行 X ＝｛｜+〉，｜-〉｝基測(cè)量，并向?qū)Ψ郊翱刂普逤harlie公布測(cè)量結(jié)果.

第三步：若控制者Charlie 同意雙方通信，則控制者 Charlie對(duì)自己的粒子 C1、C2進(jìn)行 X ＝｛｜+〉，｜-〉｝基測(cè)量，并將測(cè)量結(jié)果通過(guò)經(jīng)典信道公布給通信雙方.

第四步：經(jīng)過(guò)測(cè)量，系統(tǒng)坍塌為相應(yīng)的態(tài)

通信雙方根據(jù)對(duì)方公布測(cè)量結(jié)果相對(duì)應(yīng)的τk（xkt）、τk（ykt）（k ＝1，2，3，4；t ＝0，1）的奇偶情況及控制方的測(cè)量結(jié)果采用表2 相對(duì)應(yīng)的幺正變換，即可得到對(duì)方待傳的態(tài).

表 2 τk（xkt）τk（ykt）的奇偶性，Charlie 的測(cè)量結(jié)果，相應(yīng)的坍塌態(tài)及幺正變換Tab. 2 The parity of τk（xkt）τk（ykt），measurement results of Charlie，corresponding collapse state and unitary transformation

舉例說(shuō)明：如果 Alice 的測(cè)量結(jié)果為｜0〉S1｜+〉1…｜+〉M-1，Bob的測(cè)量結(jié)果為｜0〉T1｜ + 〉1′…｜+ 〉（M-1）′，控制者 Charlie 的測(cè)量結(jié)果為 ｜+ 〉C1｜+〉C2，則 k ＝1，τk（xk1）、τk（yk0）、τk（yk1）中取值為1 的有0（偶數(shù)）個(gè)，且其余粒子坍塌為

因此，通信雙方Alice 和Bob 只要對(duì)自己所擁有的量子比特作如表2 中相應(yīng)的幺正變換：

便可重構(gòu)N粒子GHZ 型糾纏態(tài)，實(shí)現(xiàn)雙向受控隱形傳態(tài).

2 效率分析

效率是設(shè)計(jì)方案所必需考慮的重要因素.在量子通信的協(xié)議中，常用2 種效率公式來(lái)評(píng)估方案：

1）量子密碼協(xié)議的效率［30］

2）量子比特效率

其中bs、qt和bt分別表示為通信方得到的秘密量子比特?cái)?shù)、總量子比特?cái)?shù)（秘密量子比特?cái)?shù)與量子信道比特?cái)?shù)之和）和經(jīng)典比特?cái)?shù).本文的2 個(gè)效率分別為

要使本文效率達(dá)到最高，則傳輸N 粒子GHZ 型糾纏態(tài)需選擇M +1 ＝N +2 粒子GHZ型糾纏態(tài)來(lái)構(gòu)建信道，2 個(gè)效率變?yōu)?/p>

由于本方案是雙向傳輸N（＞2）粒子GHZ 型糾纏態(tài)的隱形傳態(tài)，且本方案在理想情況下效率與傳輸?shù)牧Ｗ訑?shù)成正比，而已有的一些方案雙向傳輸?shù)氖菃瘟Ｗ踊蚨Ｗ討B(tài).若本文以一對(duì)五粒子GHZ 型糾纏態(tài)為量子信道雙向傳輸三粒子GHZ 糾纏態(tài)為例，與已有的一些方案相比，方案效率比較如表3.

表3 方案效率比較Tab. 3 Scheme efficiency comparison

從表3 可以看出文獻(xiàn)［15，19，21］雙向傳輸?shù)氖菃瘟Ｗ討B(tài)，文獻(xiàn)［23］雙向傳輸?shù)氖遣粚?duì)稱(chēng)態(tài)（單粒子態(tài)與二粒子態(tài)），且這些文獻(xiàn)的效率均低于本文效率.由于這些文獻(xiàn)秘密量子比特?cái)?shù)bs與本方案的取值不同，接下來(lái)考慮這些文獻(xiàn)的秘密量子比特?cái)?shù)bs均為6（通信雙方共傳輸6 個(gè)粒子）可能得到的效率，情況如下（以文獻(xiàn)［15］為例，其他文獻(xiàn)情況類(lèi)似）：

文獻(xiàn)［15］的量子信道是8 粒子態(tài)，其中控制方Charlie擁有2 個(gè)粒子，在控制方同意通信的情況下，通信雙方利用6 個(gè)粒子傳輸2 個(gè)粒子.由于控制方的粒子數(shù)與傳輸?shù)牧Ｗ訑?shù)無(wú)關(guān)，則在控制方粒子數(shù)不變的情況下，通信雙方傳輸6 個(gè)粒子理論上需要18 個(gè)粒子，因此量子信道變?yōu)?0 粒子態(tài)，總量子比特?cái)?shù)qt變?yōu)?6，經(jīng)典比特?cái)?shù)bt變?yōu)?0，效率ζ ＝13%，μ ＝23.1%.其他文獻(xiàn)情況類(lèi)似，則在文獻(xiàn)［19］中有：

在文獻(xiàn)［21］中有：

在文獻(xiàn)［23］中有：

在秘密量子比特?cái)?shù)bs均為6 的情況下，通過(guò)對(duì)比，本文的效率更高.

3 安全性分析

一個(gè)安全的受控隱形傳態(tài)協(xié)議應(yīng)滿足如下幾點(diǎn)：

1）在通信結(jié)束前，通信雙方無(wú)法得到對(duì)方的待傳態(tài)；

2）竊聽(tīng)者無(wú)法通過(guò)通信雙方的交互信息來(lái)獲取待傳態(tài)；

3）能抵抗截獲-重發(fā)攻擊，糾纏攻擊等；

4）控制者是可信的，即控制者只誠(chéng)實(shí)的執(zhí)行協(xié)議操作.

本文以一對(duì)五粒子GHZ型糾纏態(tài)構(gòu)成的量子信道雙向傳輸三粒子GHZ 糾纏態(tài)為例進(jìn)行安全性分析（其他情況類(lèi)似）.設(shè)待傳三粒子 GHZ 糾纏態(tài)為：

且非零實(shí)數(shù) a0、a1、b0、b1滿足

則量子信道、系統(tǒng)初態(tài)分別如下：

3.1 外部攻擊基于量子力學(xué)的基本原理，如測(cè)不準(zhǔn)原理和量子不可克隆原理，量子的通信相對(duì)于經(jīng)典通信是安全可靠的.一般情況下，竊聽(tīng)者Eve有兩種常見(jiàn)的攻擊策略.一種是截獲-重發(fā)攻擊，即竊聽(tīng)者Eve截取控制方Charlie分發(fā)給發(fā)送者Alice或Bob所發(fā)送的量子態(tài)，測(cè)出一個(gè)結(jié)果，然后根據(jù)自己測(cè)量的結(jié)果產(chǎn)生一個(gè)新的量子態(tài)發(fā)送給接收者Bob或Alice.這種簡(jiǎn)單的攻擊在量子密鑰分配協(xié)議中已經(jīng)被完美地證明該攻擊無(wú)效，即竊聽(tīng)者Eve不能從量子密鑰分配的過(guò)程中得到任何有效的信息.另一種是糾纏攻擊，本文的糾纏攻擊有以下2 種情況：

1）信道共享階段的糾纏攻擊.若Eve 的糾纏攻擊發(fā)生在信道共享階段，即對(duì)量子信道發(fā)起糾纏攻擊.假設(shè)竊聽(tīng)者Eve想辦法將自己的初態(tài)糾纏在量子信道中的 Bob 粒子 T1、T2、T3、T4上（相同地可以糾纏在 Alice的粒子上），即以 T1、T2、T3、T4為控制相位，E′1、E1、E2、E3為目標(biāo)相位進(jìn)行受控非門(mén)操作，則量子信道處于14 粒子糾纏態(tài)，即

由（13）式可以看出：竊聽(tīng)者Eve與接受者Bob的地位相同，但這種情況不可能出現(xiàn).因?yàn)楫?dāng)Alice 和Bob隨機(jī)選擇一些相應(yīng)的粒子對(duì)進(jìn)行相應(yīng)的｜GHZ〉基測(cè)量和 Charlie 對(duì)粒子進(jìn)行 Bell 基測(cè)量后，通過(guò)分析三人的測(cè)量結(jié)果且對(duì)比（11）和（13）式，可以發(fā)現(xiàn)有50%的測(cè)量結(jié)果不相關(guān)聯(lián)，如Alice的測(cè)量結(jié)果是 ｜GHZ〉0，Charlie 的測(cè)量結(jié)果是｜φ〉0，由（11）式可以知道相關(guān)聯(lián) Bob 的測(cè)量結(jié)果為｜GHZ〉2，而由（13）式發(fā)現(xiàn) Bob 的測(cè)量結(jié)果有 2種情況，通過(guò)分析比較有50%的測(cè)量結(jié)果不相關(guān)聯(lián).從而得到通信信道是不安全的結(jié)論，則通信雙方及控制者會(huì)舍掉該信道且重選新信道，因此，該階段的糾纏攻擊是無(wú)效的.

2）通信階段的糾纏攻擊.若Eve 的糾纏攻擊發(fā)生在通信階段，即對(duì)系統(tǒng)初態(tài)｜ψF〉發(fā)起糾纏攻擊.假設(shè) Eve 將初態(tài)為｜0〉E1、｜0〉E2、｜0〉E3、｜0〉E4、分別糾纏在系統(tǒng)初態(tài)｜ψF〉中的 Alice、Bob 的粒子 S1、S2、S3、S4、T1、T2、T3、T4上，即以 S1、S2、S3、S4、T1、T2、T3、T4為控制相位為目標(biāo)相位進(jìn)行受控非門(mén)操作，則系統(tǒng)初態(tài)變?yōu)?/p>

首先以量子比特A1和B1為控制相位，量子比特S1和T1為目標(biāo)相位，進(jìn)行受控非門(mén)操作，得到的結(jié)果為

然后 Charlie 對(duì)粒子 C1、C2進(jìn)行 X 基測(cè)量，Alice、Bob分別對(duì)粒子S1、T1進(jìn)行Z 基測(cè)量，以及對(duì)粒子A1、A2、A3、B1、B2、B3進(jìn)行 X 基測(cè)量，同時(shí)竊聽(tīng)者Eve 需對(duì)粒子 E1、E′1進(jìn)行 Z 基測(cè)量，且與粒子 S1、T1的測(cè)量結(jié)果相同.如Alice 的測(cè)量結(jié)果為｜0〉S1｜+〉A(chǔ)1｜+〉A(chǔ)2｜+ 〉A(chǔ)3，Bob 的測(cè)量結(jié)果為 ｜0〉T1｜+〉B1｜+〉B2｜+ 〉B3，控制者 Charlie 的測(cè)量結(jié)果為 ｜ + 〉C1｜ + 〉C2，則 Eve 的測(cè)量結(jié)果為 ｜0〉E1｜0〉E1′，且系統(tǒng)坍塌為（其他測(cè)量結(jié)果情況類(lèi)似）

由（20）式可以看出，竊聽(tīng)者Eve得不到完整的待傳態(tài)，即糾纏攻擊是無(wú)效的結(jié)論.

3.2 內(nèi)部攻擊不誠(chéng)實(shí)的參與者比竊聽(tīng)者Eve 更容易竊取信息，因?yàn)椴徽\(chéng)實(shí)的參與者合法地知道部分信息.不妨假設(shè)Bob 不可信（稱(chēng)為Bob*），他想獲得Alice的待傳態(tài)，而不被Alice 和Charlie 發(fā)現(xiàn).由于Bob*不知道Alice和Charlie的操作和測(cè)量結(jié)果，則Bob*直接對(duì)系統(tǒng)初態(tài)｜ψF〉中Alice和Char-lie的粒子 A1、A2、A3、S1和 C1進(jìn)行測(cè)量.假設(shè)Bob*首先對(duì)粒子S1進(jìn)行單粒子測(cè)量，測(cè)量基可能為

則其可能的測(cè)量的結(jié)果有4 種，經(jīng)測(cè)量后系統(tǒng)初態(tài)坍塌為：

由（17）～（20）式可以看出，當(dāng)Bob*對(duì)粒子 S1進(jìn)行Z 基測(cè)量時(shí)，Bob*再對(duì)其他粒子進(jìn)行任何投影測(cè)量都得不到完整的待傳態(tài)，則Bob*應(yīng)對(duì)粒子S1進(jìn)行X基測(cè)量.假設(shè)S1的測(cè)量結(jié)果為｜+〉，則系統(tǒng)坍塌態(tài)為接下來(lái) Bob*對(duì)中粒子 A1、A2、A3及C1進(jìn)行單粒子測(cè)量，則測(cè)量結(jié)果可能有256 種.如測(cè)量結(jié)果為 ｜+〉A(chǔ)1、｜+〉A(chǔ)2、｜+〉A(chǔ)3、｜+〉C1，則系統(tǒng)坍塌為（其他測(cè)量結(jié)果情況類(lèi)似）

由（21）式可以看出，不可信的參與者Bob*得不到Alice的待傳態(tài)，即內(nèi)部攻擊是無(wú)效的結(jié)論.

3.3 安全性對(duì)比本文與已有的文獻(xiàn)［13，15 -16，19，21］相比更安全.例如文獻(xiàn)［21］（其他文獻(xiàn)類(lèi)似）中Alice和Bob待傳輸?shù)牧孔討B(tài)分別為：

其中復(fù)數(shù) A0、A1、B0、B1滿足

Alice、Bob和控制者Cindy 共享一五粒子Cluster 態(tài)為量子信道，則信道表示為

整個(gè)系統(tǒng)初態(tài)為

其中粒子 A、1、5 屬于 Alice，粒子 B、2、3 屬于 Bob，粒子4 屬于控制者Cindy.

若方案的攻擊為內(nèi)部攻擊，假設(shè)參與者Bob 是不可信的（稱(chēng)為Bob*），則Bob*不知道Alice 和Charlie的操作和測(cè)量結(jié)果. Bob*直接對(duì)系統(tǒng)初態(tài)｜Φ〉BA12345中 Alice 和 Charlie 的粒子 A、1、5 和 4 進(jìn)行測(cè)量，假設(shè)Bob*對(duì)粒子A，1 進(jìn)行Bell基測(cè)量和對(duì)粒子4 進(jìn)行單粒子測(cè)量，單粒子測(cè)量基可能為

由（24）式可知，Bob*有可能在不被Alice 和Charlie發(fā)現(xiàn)情況下得到Alice待傳輸?shù)男畔0｜0〉+A1｜1〉，即在內(nèi)部攻擊下文獻(xiàn)［21］是不安全的.

綜上所述，與文獻(xiàn)［21］相比，本文的隱形傳態(tài)方案具有更高的安全性.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了基于M +1 粒子GHZ 型糾纏態(tài)實(shí)現(xiàn)N粒子GHZ 型糾纏態(tài)雙向受控隱形傳態(tài)方案.在此方案中，通信雙方Alice和Bob及控制方Charlie事先共享一對(duì)合適的 M +1 粒子GHZ 型糾纏態(tài)，利用GHZ 型糾纏態(tài)的關(guān)聯(lián)性及頑固性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)雙向受控隱形傳態(tài).通信開(kāi)始后，Alice 和Bob首先分別對(duì)個(gè)別粒子進(jìn)行受控非門(mén)操作，再對(duì)該粒子進(jìn)行Z基測(cè)量及對(duì)其他部分粒子進(jìn)行X 基測(cè)量，并通過(guò)經(jīng)典信道向?qū)Ψ郊翱刂品紺harlie 公布測(cè)量結(jié)果.然后 Charlie 對(duì)粒子 C1、C2進(jìn)行 X 基測(cè)量，并將測(cè)量結(jié)果通過(guò)經(jīng)典信道公布給通信雙方.最后通信雙方根據(jù)所有公布的測(cè)量結(jié)果對(duì)各自粒子做相應(yīng)的幺正變換，即可實(shí)現(xiàn)雙向受控隱形傳態(tài).同時(shí)對(duì)方案進(jìn)行效率及安全性分析，證明本文方案具有更高的效率及安全性.