陳鴻杰， 王 朝， 程 才， 劉 科，2， 周曉林*

（1.四川師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，四川成都610101；2.電子科技大學(xué)電子薄膜與集成器件國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610065）

二維材料以特定順序組合形成多層范德華異質(zhì)結(jié)，從而展現(xiàn)出了許多新奇的物理特性，引起了人們的廣泛關(guān)注［1］.這些異質(zhì)結(jié)在納米電子學(xué)、納米光學(xué)和催化等領(lǐng)域有著非常重要的應(yīng)用［2-4］.雙層石墨烯是最簡(jiǎn)單的多層結(jié)構(gòu)，單層石墨烯中碳原子之間強(qiáng)共價(jià)鍵維持了二維結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性［5］，而層間相對(duì)較弱的范德華力又使單層結(jié)構(gòu)結(jié)合在一起.眾所周知，單層石墨烯在各個(gè)方面表現(xiàn)出優(yōu)異的特性.例如：室溫下超高的電荷載流子遷移率（1 500 cm2/（V·s））［6］、較高的熱導(dǎo)系數(shù)（2 500 ～3 000 W/mK）［7］.此外，在理論和實(shí)驗(yàn)的研究中還發(fā)現(xiàn)雙層石墨烯中存在著新的范霍夫奇點(diǎn)［8］、費(fèi)米速度重整化［9］、新奇的手性隧穿以及非常規(guī)量子霍爾效應(yīng)［10］等.以上的研究表明，這些性質(zhì)和雙層石墨烯之間的堆疊方式有關(guān)，常見(jiàn)的有AA和AB 堆疊［11］.在上述2種堆疊方式的基礎(chǔ)上，可以任意旋轉(zhuǎn)其中一層石墨烯，最終形成不同的層間轉(zhuǎn)角，如圖1所示.

圖1 雙層轉(zhuǎn)角石墨烯的結(jié)構(gòu)Fig. 1 Structure diagram of the twisted graphene bilayer

在旋轉(zhuǎn)的雙層結(jié)構(gòu)中，上下2 個(gè)蜂窩狀晶格的疊加會(huì)產(chǎn)生具有較大周期的莫爾紋超晶格，利用STM圖像可以清楚地觀察到莫爾紋模式的超晶格形成［12-14］.作為一種新興的超結(jié)構(gòu)，莫爾超晶格表現(xiàn)出原固有晶格不具備的特性.2018 年，Cao等在雙層石墨烯轉(zhuǎn)角θ≈1.08°時(shí)觀察到了非傳統(tǒng)的超導(dǎo)現(xiàn)象［15］和一個(gè)毫電子伏特寬度的平帶出現(xiàn)［16］.這一現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，再次引起了人們對(duì)其相關(guān)性質(zhì)研究的極大興趣.然而到目前為止，對(duì)雙層轉(zhuǎn)角石墨烯的彈性性質(zhì)研究相對(duì)較少.

本文系統(tǒng)地分析了不同轉(zhuǎn)角雙層石墨烯的結(jié)構(gòu)和彈性性質(zhì).首先，用基于密度泛函方法的量子力學(xué)軟件VASP（Vienna Ab -inito Simulation Package）對(duì)AB堆疊的雙層石墨烯進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化.由于雙層石墨烯結(jié)構(gòu)中存在弱的范德華力，因此在結(jié)構(gòu)優(yōu)化過(guò)程中考慮了4 種泛函對(duì)范德華相互作用的修正，并確定最適合雙層石墨烯結(jié)構(gòu)的泛函.其次，在選用的泛函下對(duì)不同轉(zhuǎn)角的雙層結(jié)構(gòu)進(jìn)行了晶格優(yōu)化.最后，利用優(yōu)化的晶格結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)分析了不同雙層轉(zhuǎn)角石墨烯的彈性性質(zhì).

1 模型建立與計(jì)算方法

1.1 模型建立雙層轉(zhuǎn)角石墨烯由兩層石墨烯疊加而成，如圖1（a）所示.單層石墨烯結(jié)構(gòu)的晶格基矢分別表示為：

其中a是晶格常數(shù).在滿(mǎn)足層間晶格匹配的條件下，雙層結(jié)構(gòu)的超晶格基矢分別表示為

其中，m、n為整數(shù)，角標(biāo)表示層數(shù)，則相對(duì)旋轉(zhuǎn)角度定義為

超晶格的晶格常數(shù)表示為

每個(gè)超晶格的碳原子數(shù)

選取不同的 m、n 值，根據(jù)（3）～（5）式可以得出不同旋轉(zhuǎn)角下的晶格常數(shù)和原子數(shù)目.若兩層之間的旋轉(zhuǎn)角度越小，體系的超單元就越大，即晶胞中包含的原子數(shù)目就越多.考慮到從頭算對(duì)大體系計(jì)算處理時(shí)長(zhǎng)以及超大計(jì)算資源的需求，故在不影響研究的前提下，選擇了8 個(gè)原子數(shù)相對(duì)較少的旋轉(zhuǎn)角.表1 列出了8 個(gè)轉(zhuǎn)角下的晶格常數(shù)、原子數(shù)目、對(duì)應(yīng)的 m、n以及布里淵區(qū)中 K點(diǎn)的取值.當(dāng)θ ＝0°時(shí)，表示上下2層石墨烯完美重疊，即AA堆疊，如圖1（b）；θ ＝60°時(shí)，上下2 層重疊的方式類(lèi)似石墨的堆疊方式，即 AB 堆疊，如圖1（c）.

表1 雙層石墨烯一些轉(zhuǎn)角下的晶格常數(shù)、原子數(shù)、（m，n）以及布里淵區(qū)中K點(diǎn)值Tab. 1 The lattice constant，number atoms，（m，n）and the K value in the Brillouin zone of some twisted graphene bilayer

1.2 計(jì)算方法基于密度泛函理論的第一性原理，結(jié)合采用平面波基組實(shí)現(xiàn)投影綴加波（PAW）方法［17］的VASP軟件包.在計(jì)算中選擇廣義梯度近似（GGA）泛函下的Perdew-Burke-Ernzerhof（PBE）來(lái)描寫(xiě)電子的交換關(guān)聯(lián)能作用［18］.在PAW 贗勢(shì)中碳原子的價(jià)電子為（2s2，2p2），這里采用 500 eV 作為平面波截?cái)嗄?考慮了4 種不同的泛函對(duì)范德華相互作用的修正：DFT - D2、optB88 - vdW、optPBE-vdW和vdW-DF2［19-22］.在計(jì)算過(guò)程中原子平均受力小于0.1 eV/nm，電子自洽計(jì)算收斂精度小于10-5eV.為了消除與周期邊界條件的相互作用，取真空層距為1.5 nm.

2 結(jié)果與討論

2.1 范德華相互作用對(duì)結(jié)構(gòu)的影響首先考慮了AB堆疊在不同泛函下對(duì)其結(jié)構(gòu)的影響.表2 列出了PBE泛函和4 種修正泛函下AB堆疊時(shí)的平衡碳碳鍵長(zhǎng)、層間距離和層間結(jié)合能.結(jié)果表明，修正泛函對(duì)層間距和層間結(jié)合能均有良好的修正，而對(duì)層內(nèi)碳碳鍵的長(zhǎng)度幾乎沒(méi)有影響.比較不同泛函的修正結(jié)果，發(fā)現(xiàn)在optB88 -vdW泛函修正下的層間距為0.334 nm，結(jié)合能為-66 meV/atom，這與之前的理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均十分吻合［23-24］.因此，在本文后續(xù)的計(jì)算中都采用了該修正泛函.

表2 不同泛函下AB堆疊的鍵長(zhǎng)、層間距和結(jié)合能比較Tab. 2 Compared bond length，layer distance and binding energy of AB stacking under different functionals

表3 列出了各扭轉(zhuǎn)角下層間結(jié)合能和層間距離.可以看出，當(dāng) θ ＝0°時(shí)，層間距和結(jié)合能分別為0.351 9 nm 和 -52.0 meV/atom，當(dāng) θ ＝60°時(shí)，層間距和結(jié)合能分別為0.334 2 nm 和-66 meV/atom.總結(jié)不同轉(zhuǎn)角下的層間結(jié)合能和距離變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)層間結(jié)合能和距離隨旋轉(zhuǎn)的角度增加而減小.層間平衡距離越遠(yuǎn)，層間的結(jié)合能越弱，即范德華相互作用也更小，這類(lèi)似于分子或固體的一般化學(xué)趨勢(shì).

2.2 彈性性質(zhì)對(duì)雙層轉(zhuǎn)角石墨烯結(jié)構(gòu)彈性性質(zhì)的研究，不僅更深刻地理解層間范德華相互作用，而且對(duì)實(shí)際應(yīng)用也提供了重要的參數(shù)依據(jù).對(duì)于雙層轉(zhuǎn)角石墨烯二維彈性常數(shù)記為C11、C22、C12、C66（采用標(biāo)準(zhǔn)的 Voigt 符號(hào)：1 -xx、2 -yy、6 -xy）.在面內(nèi)應(yīng)力條件下，根據(jù)胡克定律給出彈性常數(shù)與模量之間的關(guān)系［25］

表3 不同轉(zhuǎn)角下的層間距和結(jié)合能Tab. 3 Layer distance and binding energy at different twisted angles

這里 Cij（i，j ＝1，2，6）是平面內(nèi)的彈性剛度系數(shù)，且

S0是結(jié)構(gòu)沒(méi)有施加應(yīng)變時(shí)的面積，ES是系統(tǒng)的應(yīng)變能（應(yīng)變結(jié)構(gòu)的能量減去初始結(jié)構(gòu)的能量）.在極小的應(yīng)變下，原子平均應(yīng)變能表示為

這里的應(yīng)變定義為

a和a0分別代表應(yīng)力狀態(tài)和平衡狀態(tài)的晶格常數(shù).若對(duì)晶格施加沿x方向的單軸應(yīng)變，則對(duì)應(yīng)的原子平均應(yīng)變能為

通過(guò)對(duì)應(yīng)變和原子平均應(yīng)變能的二次擬合，得到的二次項(xiàng)系數(shù)為C11.同理，可依次計(jì)算其他彈性系數(shù).如圖2 所示，圓圈、五角和三角分別表示對(duì)不同轉(zhuǎn)角下的結(jié)構(gòu)施加了-2% ～2%的單軸和雙軸的應(yīng)變（間隔為0.5%），對(duì)應(yīng)曲線表示對(duì)應(yīng)變和原子平均應(yīng)變能的二次擬合.可以看出，在施加應(yīng)變±2%的范圍內(nèi)，不同轉(zhuǎn)角中沒(méi)有出現(xiàn)明顯的能量畸變點(diǎn)，并且應(yīng)變能的大小是和結(jié)構(gòu)中原子數(shù)呈正相關(guān)的.

雙層轉(zhuǎn)角石墨烯屬于六角晶系，由六角結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性得：

這些彈性常數(shù)與層模量（γ）、楊氏模量（Y）、剪切模量（G）和泊松比（ν）的關(guān)系分別表示為：

圖2 不同轉(zhuǎn)角下單、雙軸應(yīng)變和原子平均應(yīng)變能Fig. 2 The uniaxial，biaxial strain and atomic average strain energy at different twisted angles

表4 雙層轉(zhuǎn)角石墨烯和單層石墨烯的彈性常數(shù)、模量和泊松比Tab. 4 The elastic constants，modulus and poisson’s ratio of the twisted bilayer and monolayer graphene

根據(jù)（9）～（12）式，計(jì)算了雙層轉(zhuǎn)角石墨烯和單層石墨烯的彈性常數(shù)、各個(gè)模量和泊松比，如表4所示.根據(jù)玻恩理論的力學(xué)穩(wěn)定性條件，對(duì)于二維六角結(jié)構(gòu) C11＞0、C66＞0 和 C11＞ ｜C12｜可知，在不同旋轉(zhuǎn)角下，研究的結(jié)構(gòu)是力學(xué)性穩(wěn)定的.在轉(zhuǎn)角θ ＝0°時(shí)，雙層結(jié)構(gòu)的彈性常數(shù)和模量約等于單層石墨烯的2 倍，而泊松比與單層結(jié)構(gòu)的相同.說(shuō)明在轉(zhuǎn)角θ ＝0°的情況下，雙層結(jié)構(gòu)性質(zhì)與單層結(jié)構(gòu)相似.在圖3 中分別展示了彈性常數(shù)和模量隨轉(zhuǎn)角的變化.從圖3（a）觀察到，隨著轉(zhuǎn)角的增加，C11先減小再增加，然后再減小再增加，并且在其他轉(zhuǎn)角下C11的值均小于轉(zhuǎn)角在0°和60°的情況，而C12呈現(xiàn)相反的規(guī)律.從圖3（b）觀察到，不同轉(zhuǎn)角下層模量幾乎保持不變，剪切模量和楊氏模量表現(xiàn)出與C11類(lèi)似的變化規(guī)律.剪切和楊氏模量表征材料的剛性，在其他轉(zhuǎn)角下剪切和楊氏模量的值均比在0°和60°情況下的小，即層間更容易發(fā)生相對(duì)滑移.

圖3 不同轉(zhuǎn)角下的彈性常數(shù)和模量Fig. 3 The elastic constants and modulus at different twisted angles

3 結(jié)論

本文基于密度泛函理論的第一性原理，系統(tǒng)地分析了雙層轉(zhuǎn)角石墨烯的晶格結(jié)構(gòu)和彈性性質(zhì).在結(jié)構(gòu)性質(zhì)中，表明范德華相互作用在雙層石墨烯中扮演了重要的角色，optB88 -vdW修正泛函能夠很好地描述其相互作用，同時(shí)層間距是依賴(lài)轉(zhuǎn)角的，當(dāng)轉(zhuǎn)角 θ ＝ 0°（60°）時(shí)層間距最大（?。?，其他轉(zhuǎn)角下層間距介于 θ ＝0°和 θ ＝60°之間.在彈性性質(zhì)中，計(jì)算出了不同雙層轉(zhuǎn)角石墨烯的彈性常數(shù)和模量.結(jié)果表明，其層模量不依賴(lài)轉(zhuǎn)角，在θ ＝0°的剪切模量和楊氏模量值最大，分別為289.6 和680.8 N/m.以轉(zhuǎn)角θ ＝21.8°為分界點(diǎn)，楊氏模量和剪切模量隨轉(zhuǎn)角增大，表現(xiàn)出先減后增的變化規(guī)律.對(duì)雙層轉(zhuǎn)角石墨烯的結(jié)構(gòu)和彈性性質(zhì)的分析結(jié)果，為雙層轉(zhuǎn)角石墨烯材料在實(shí)際應(yīng)用中提供了理論參考.