連 強(qiáng)

(鄭州市財貿(mào)學(xué)校 會計系，鄭州 450015)

0 引 言

相關(guān)性[1]作為概率論和數(shù)理統(tǒng)計中的一個重要概念，其在經(jīng)濟(jì)管理、工程科學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著非常重要的作用。隨著研究的不斷深入，研究對象呈現(xiàn)出越來越復(fù)雜的態(tài)勢，其不確定性和模糊性也日益增強(qiáng)。為此，許多學(xué)者嘗試將統(tǒng)計學(xué)中的相關(guān)性推廣到不確定性領(lǐng)域，并取得了一些研究成果。比如，文獻(xiàn)[2-5]將相關(guān)性推廣到了模糊集[6]，建立了模糊集的相關(guān)系數(shù)，為研究模糊決策提供了非常具有建設(shè)性的參考。再如，一些學(xué)者研究了直覺模糊集[7]的相關(guān)性，建立不同的直覺模糊集的相關(guān)系數(shù)[8-12]。事實(shí)上，這些相關(guān)系數(shù)大致可以分為兩類，一類取值范圍為[0,1]，僅能反映出研究對象之間的相關(guān)強(qiáng)度，不能反映出相關(guān)的正負(fù)性；另一類取值范圍為[-1,1]，不僅能反映出研究對象的相關(guān)強(qiáng)度，而且還能反映出它們之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，此類相關(guān)系數(shù)與統(tǒng)計學(xué)中的相關(guān)系數(shù)非常類似。

Spearman秩相關(guān)是統(tǒng)計學(xué)中常用的一種相關(guān)性[13]，其通過兩組觀測值的秩差來定義它們的相關(guān)性，為人們研究相關(guān)性提供了一種可行的方法。2010年，Szmidt等[14]將Spearman秩相關(guān)推廣到了直覺模糊集，定義了直覺模糊Spearman秩相關(guān)系數(shù)，為人們研究模糊領(lǐng)域的Spearman秩相關(guān)系數(shù)提供了一個很有意義的參考。最近，蘇麗敏等[15]將Spearman秩相關(guān)應(yīng)用到區(qū)間數(shù)決策中，定義了方案與正理想方案之間的Spearman秩相關(guān)系數(shù)，并根據(jù)Spearman秩相關(guān)系數(shù)的大小實(shí)現(xiàn)方案的排序擇優(yōu)。但是，該方法也具有一定的局限性，即僅考慮到每個方案與正理想方案的Spearman秩相關(guān)性，而沒有考慮到每個方案與負(fù)理想方案的Spearman秩相關(guān)性。為了消除這種局限性，提出了一種綜合考慮方案與正負(fù)理想方案之間的Spearman秩相關(guān)系數(shù)的決策方法，即在TOPSIS方法[16]的啟發(fā)下，首先，定義了方案與負(fù)理想方案的Spearman秩相關(guān)系數(shù)；然后，在方案與正負(fù)理想方案Spearman秩相關(guān)系數(shù)的基礎(chǔ)上，定義了方案的綜合Spearman秩相關(guān)系數(shù)，并證明了其相關(guān)性質(zhì)；最后，提出了基于綜合Spearman秩相關(guān)系數(shù)的區(qū)間數(shù)多屬性決策方法，并通過一個實(shí)例說明了所提出方法的可行性。

1 相關(guān)概念

下面回顧相關(guān)的一些概念，為研究工作做好鋪墊。

定義1[1]設(shè)(x1,x2,…,xn)，(y1,y2,…,yn)分別為來自總體X,Y的樣本，令R(xj),R(yj)分別表示xj,yj在(x1,x2,…,xn)，(y1,y2,…,yn)中的秩，則X與Y的Spearman秩相關(guān)系數(shù)定義為

其中dj=R(xj)-R(yj),j=1,2,…,n。

定理1[1]設(shè)(x1,x2,…,xn)，(y1,y2,…,yn)分別為來自總體X,Y的樣本，則X與Y的Spearman秩相關(guān)系數(shù)r(X,Y)具有以下性質(zhì)：

(1)r(X,Y)=r(Y,X)。

(2) 若X=Y，r(X,Y)=1。

(3) |r(X,Y)|≤1。

其中：

(1)rs(A,B)=rs(B,A)。

(2) 若A=B，rs(A,B)=1。

(3) |rs(A,B)|≤1。

2 基于正負(fù)理想方案的區(qū)間數(shù)Spearman 秩相關(guān)系數(shù)

蘇麗萍等求出了每個方案Ai與正理想方案A+的Spearman秩相關(guān)系數(shù)r(Ai,A+)，然后按照r(Ai,A+)的大小對方案排序擇優(yōu)。

其中

顯然，方案Ai與正理想方案A+的Spearman秩相關(guān)系數(shù)越大，表明方案Ai越優(yōu)。這與 TOPSIS方法中，方案Ai與正理想方案A+的距離越近，其排序越優(yōu)極為相似。但是，在TOPSIS方法中,不僅考慮到了每個方案與正理想方案A+的距離，同時也考慮到了每個方案與正理想方案的距離，即TOPSIS方法綜合考慮了每個方案與正負(fù)理想方案的距離，也即要求不僅每個方案與正理想方案的距離越近越優(yōu)，而且同時要求每個方案與負(fù)理想方案的距離越遠(yuǎn)越優(yōu)。

在TOPSIS方法的啟發(fā)下，下面給出每個方案與負(fù)理想方案的Spearman秩相關(guān)系數(shù)，然后，定義每個方案與正負(fù)理想方案的綜合Spearman秩相關(guān)系數(shù)。

其中：

定義5 稱

為方案Ai的綜合區(qū)間數(shù)Spearman秩相關(guān)系數(shù)，其中rs(Ai,A+)為方案Ai與正理想方案A+的Spearman秩相關(guān)系數(shù)，rs(Ai,A-)為方案Ai與負(fù)理想方案A-的Spearman秩相關(guān)系數(shù)。

綜合區(qū)間數(shù)Spearman秩相關(guān)系數(shù)具有以下性質(zhì)：

定理5

(1)rs(Ai,A±)∈[-1,1]。

證明

(1) 由于rs(Ai,A+)∈[-1,1],rs(Ai,A-)∈[-1,1]，故而

3 決策應(yīng)用

3.1 決策方法

下面給出利用區(qū)間數(shù)綜合Spearman秩相關(guān)系數(shù)進(jìn)行決策的具體計算步驟。

步驟2 根據(jù)屬性的類型，將區(qū)間數(shù)決策矩陣標(biāo)準(zhǔn)化，具體方法為

(1) 效益型屬性:

(2) 成本型屬性:

步驟3 從標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間數(shù)矩陣M=(uij)m×n中求出正負(fù)理想方案，其中

正理想方案:

其中:

負(fù)理想方案:

其中

步驟4 求出每個方案Ai與正負(fù)理想方案A+,A-的Spearman秩相關(guān)系數(shù)rs(Ai,A+)，rs(Ai,A-)。

步驟5 求出方案Ai的綜合Spearman秩相關(guān)系數(shù)：

步驟6 根據(jù)綜合Spearman秩相關(guān)系數(shù)rs(Ai,A±),i=1,2,…,m的大小對方案進(jìn)行排序。

3.2 應(yīng)用實(shí)例

例1[15,17]某高校要對4個二級院系A(chǔ)1,A2,A3,A4的財務(wù)管理情況進(jìn)行評價，并制定了5項(xiàng)考核評價指標(biāo)：二級財務(wù)管理制度(c1)、二級財務(wù)預(yù)算和執(zhí)行(c2)、二級財務(wù)管理的經(jīng)濟(jì)責(zé)任(c3)、二級財務(wù)監(jiān)督管理(c4)、二級院系財務(wù)人員素質(zhì)(c5)。首先專家使用百分制區(qū)間數(shù)對各二級院系的財務(wù)管理情況進(jìn)行了打分，然后將區(qū)間數(shù)屬性值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，如表1所示。下面利用本文提出的方法對4個二級院系的財務(wù)情況進(jìn)行評價。

步驟1-2 專家使用百分制區(qū)間數(shù)構(gòu)造區(qū)間數(shù)決策矩陣N=(xij)4×5，然后將區(qū)間數(shù)決策矩陣N標(biāo)準(zhǔn)化，得到標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間數(shù)決策矩陣M=(uij)m×n，見表1。

表1 標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間數(shù)決策矩陣Table 1 Normalized interval number decision making matrix

步驟3 正負(fù)理想方案分別為

A+={[0.554,0.765],[0.447,0.943],

[0.670,0.728],[0.538,0.721],

[0.571,0.663]}

A-={[0.240,0.295],[0.149,0.471],

[0.359,0.401],[0.231,0.361],

[0.326,0.368]}

步驟4方案Ai與正理想方案A+、負(fù)理想方案A-的Spearman秩相關(guān)系數(shù)分別為

rs(A2,A+)=0.25，r(A3,A+)=0.4

r(A4,A+)=0.15

步驟5 方案Ai的綜合Spearman秩相關(guān)系數(shù)分別為

rs(A2,A±)=0.05,rs(A3,A±)=0.2

rs(A4,A±)=-0.225

步驟6 由rs(Ai,A±)的值的大小知，方案排序?yàn)锳3>A2>A1>A4。

若使用僅考慮正理想方案的Spearman秩相關(guān)系數(shù)方法計算，可得

rs(A1,A+)=0.35，rs(A2,A+)=0.25
r(A3,A+)=0.4，r(A4,A+)=0.15

于是方案排序?yàn)锳3>A1>A2>A4。

由上面計算可以看到，若僅考慮正理想方案，則得到的方案排序?yàn)锳3>A1>A2>A4；而綜合考慮正負(fù)理想方案得到方案排序?yàn)锳3>A2>A1>A4。由此可知，僅考慮正理想方案與綜合考慮正負(fù)理想方案得到排序是不同的。由于綜合考慮正負(fù)理想方案的Spearman秩相關(guān)系數(shù)方法，既考慮到了每個方案與正理想方案的相關(guān)性，同時也考慮到了每個方案與負(fù)理想方案的相關(guān)性，因此得到的排序結(jié)果將會更加符合實(shí)際情況。

4 結(jié) 語

通過分析現(xiàn)有區(qū)間數(shù)Spearman秩相關(guān)系數(shù)的不足，在TOPSIS方法的啟發(fā)下，綜合考慮方案與正負(fù)理想方案之間的Speanrman秩相關(guān)系數(shù)，定義了區(qū)間數(shù)綜合Spearman秩相關(guān)系數(shù)，并證明了其相關(guān)的性質(zhì)；然后，提出基于區(qū)間數(shù)綜合Spearman秩相關(guān)系數(shù)的多屬性決策方法，并通過高校二級院系財務(wù)管理的實(shí)例說明了所提方法的可行性。區(qū)間數(shù)綜合Spearman秩相關(guān)系數(shù)的提出促進(jìn)了相關(guān)系數(shù)在不確定決策中的發(fā)展，同時對于相關(guān)系數(shù)在其他不確定決策領(lǐng)域的推廣也具有一定的啟發(fā)意義。