文∣覃淋 楊琴

2020年高考是在出臺(tái)新的課程標(biāo)準(zhǔn)，全面提出發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的背景下進(jìn)行的。核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是通過(guò)學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念，是能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備知識(shí)和關(guān)鍵能力。[1]

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的。[2]具體表現(xiàn)為會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界。發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程的核心目標(biāo)。《2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱(數(shù)學(xué))》在“能力要求”中提到五種能力(空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理)和兩種意識(shí)(應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí))，五種能力分別對(duì)應(yīng)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析五種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)用意識(shí)對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)建模這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

從2017年開始，我國(guó)高考從能力立意向素養(yǎng)導(dǎo)向轉(zhuǎn)變，以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，突出對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查。2020年高考堅(jiān)持立德樹人和以文育人的基本理念，高考數(shù)學(xué)試題以問(wèn)題情境為載體突出數(shù)學(xué)應(yīng)用、融入數(shù)學(xué)文化、滲透數(shù)學(xué)思想方法、淡化解題技巧、注重通性通法、關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，試題具有基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性等特點(diǎn)?；跀?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的命題，可以有效地檢測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展水平。本文基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的視角，對(duì)2020年全國(guó)卷Ⅱ高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行評(píng)析。

一、試題結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析

2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ分為文、理兩科，適用地區(qū)包括：甘肅、青海、黑龍江、吉林、遼寧、寧夏、新疆、內(nèi)蒙古、陜西、重慶，這十省市區(qū)主要分布在我國(guó)東北與西部地區(qū)，涉及地域較廣，是我國(guó)推進(jìn)教育改革相對(duì)緩慢的地區(qū)。所以，研究全國(guó)卷Ⅱ高考數(shù)學(xué)試題對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查情況，對(duì)推進(jìn)我國(guó)數(shù)學(xué)課程改革和教育公平有著十分重要的意義。

2020年高考結(jié)束后，全國(guó)卷Ⅱ受到了很多人的熱議，其中以理科卷第4題和文科卷第3題為最。從整體上看，試題延續(xù)了全國(guó)卷Ⅱ的命題風(fēng)格，注重對(duì)“四基”(基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))、“四能”(發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題)、“三會(huì)”(會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界、會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界)和六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析)的考查，多角度、多層面地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

文理科試卷各有12道單項(xiàng)選擇題(60分)、4道填空題(20分)、5道必考解答題(60分，各12分)、2道選考解答題(2道選考題分別考查參數(shù)方程和不等式的內(nèi)容)。試卷分值分布為選擇題60分、填空題20分、解答題70分(選考題10分)。2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ (理科)各知識(shí)模塊分值分布與考查內(nèi)容分析，具體見表1。

表1 全國(guó)卷Ⅱ試題(理科)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ(文科)各知識(shí)模塊分值分布與考查內(nèi)容分析，具體見表2。

表2 全國(guó)卷Ⅱ試題(文科)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

從表1、表2可知，2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ文、理科試卷考查的數(shù)學(xué)知識(shí)大體相同，但有部分知識(shí)點(diǎn)不同。比如理科試卷中沒(méi)有涉及程序框圖的題目，而文科有。文、理科相同試題比例與前幾年相比有所提高，2套試卷中有11道試題完全一樣，幾乎占試題總量的一半，其中選擇題5道，填空題1道，解答題5道；2套試卷相同題目的分值高達(dá)86分。2套試卷均以解析幾何內(nèi)容的試題最多，分值也最高，彰顯了新高考數(shù)學(xué)試卷文理科合卷的趨勢(shì)，這對(duì)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)有一定的導(dǎo)向作用。

在分值比重上，各個(gè)知識(shí)模塊所占比例大致相當(dāng)。集合部分都設(shè)置了一道選擇題；復(fù)數(shù)部分理科是填空題，文科是選擇題，分值一樣。立體幾何部分，理科多了一道三視圖的選擇題，還有1道選擇題一樣，題號(hào)不同，填空題一模一樣，解答題第2問(wèn)考查內(nèi)容有所不同，文科是求四棱錐的體積，理科則是考查線面角。概率與統(tǒng)計(jì)部分，所占比重一樣，文理科有一道選擇題一樣，解答題考查的知識(shí)點(diǎn)卻不同。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分，僅有1道選擇題一樣，解答題考查側(cè)重點(diǎn)不一樣，理科偏向于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用以及邏輯推理的考查，文科則更注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查。三角函數(shù)部分，文理科所占比重都是10.625%，考查的知識(shí)點(diǎn)都是正弦定理、余弦定理以及倍角公式，但問(wèn)題設(shè)置不盡相同，理科設(shè)置了1道選擇題，1道解答題；文科設(shè)置了1道填空題，1道解答題。解析幾何部分，文理科所占比重都是23.125%，2套試題除了平面向量的題目不同外，其余試題完全一樣。數(shù)列部分，文理科主要都是考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式，理科設(shè)置了2道選擇題和1道填空題，文科則設(shè)置了1道選擇題和填空題。概率與統(tǒng)計(jì)部分，其中選擇題和解答題文理科一樣，理科多了一道排列組合的題目。

二、基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的高考數(shù)學(xué)試題分析

我們對(duì)2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ的文理科試卷中的試題逐一進(jìn)行分析，每一道試題考查的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)見表3。

表3 高考數(shù)學(xué)試題對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查

由表3可以發(fā)現(xiàn)，(1) 大多數(shù)試題對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查并不是單一的，往往一道試題考查了多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，這和標(biāo)準(zhǔn)中提到的“六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是相互交融的有機(jī)整體”相呼應(yīng)；(2) 試題對(duì)六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)都進(jìn)行了考查，但考查的重點(diǎn)不一樣；(3) 試題非常注重對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)的考查，兩套試卷共46道試題中，就有38道對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)進(jìn)行考查，有26道試題考查了邏輯推理素養(yǎng)；(4) 對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)以及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查較少；(5) 文理科試題對(duì)六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查趨勢(shì)一致，對(duì)核心素養(yǎng)考查由多到少依次為：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析。為更清楚地分析2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ?qū)?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，結(jié)合試題，具體分析試題所考查的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。為方便分析，本文在分析時(shí)，每道題重點(diǎn)關(guān)注一個(gè)核心素養(yǎng)。

(一)對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的考查

數(shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過(guò)程中。新課標(biāo)要求學(xué)生“通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系……養(yǎng)成在日常生活和實(shí)踐中一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，以簡(jiǎn)馭繁；運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問(wèn)題”。

2020年全國(guó)卷Ⅱ中，對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)進(jìn)行考查的試題理科有6道，文科為4道，下面以理科第9題為例。

【例1】(理科9) 設(shè)函數(shù)f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，則f(x)( )

此題主要考查分段函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的判斷，涉及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷。本題的關(guān)鍵是通過(guò)函數(shù)奇偶性的定義來(lái)進(jìn)行判斷，先確定函數(shù)的定義域，再根據(jù)奇偶函數(shù)的定義來(lái)確定f(x)是一個(gè)奇函數(shù)。排除A、C后，再對(duì)f(x)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，題設(shè)中給出的函數(shù)解析式較復(fù)雜，需要根據(jù)自變量的范圍化簡(jiǎn)函數(shù)，這樣就會(huì)大大簡(jiǎn)化問(wèn)題，最后根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論。此題重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，同時(shí)對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)也有所考查。

高中階段，教師需要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維、培養(yǎng)理性精神的重要基礎(chǔ)。學(xué)生要能從比較具體的情境中，抽象出一般的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，并對(duì)命題作簡(jiǎn)單的推廣，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

(二)對(duì)邏輯推理素養(yǎng)的考查

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的思維過(guò)程。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。邏輯推理是數(shù)學(xué)最重要的特征之一。新課標(biāo)要求學(xué)生“通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，能掌握推理的基本形式，學(xué)會(huì)有邏輯地思考問(wèn)題……形成重論據(jù)、有條理的思維品質(zhì)和理性精神”。我們認(rèn)為培養(yǎng)人的理性精神，是數(shù)學(xué)教育最重要的目標(biāo)。在平時(shí)的課堂教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)地將邏輯推理(不僅僅是演繹推理，也包括歸納和類比等)貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，注意對(duì)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)。

2020年的全國(guó)卷Ⅱ非常重視對(duì)邏輯推理素養(yǎng)的考查。以理科第11題(文科12)為例。

【例2】(文科12理科11) 若2x-2y<3-x-3-y，則( )

A.ln(y-x+1)>0 B. ln(y-x+1)<0

C. ln|x-y|>0 D. ln|x-y|<0

將不等式變形為2x-3-x<2y-3-y，可以發(fā)現(xiàn)不等號(hào)兩邊式子的形式是一致的。因此考慮構(gòu)造函數(shù)f(t)=2t-3-t，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案。

令f(t)=2t-3-t，可知f(t)為R上的增函數(shù)，所以x0，從而y-x+1>1，從而ln(y-x+1)>0，則A正確，B錯(cuò)誤；

因?yàn)閨x-y|與1的大小關(guān)系不確定，選項(xiàng)C、D無(wú)法確定，故選A。

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)運(yùn)算以及不等式的大小比較等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，在試題中滲透了函數(shù)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生首先必須根據(jù)題設(shè)給出的等式進(jìn)行變形，想到通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決。從難度上看，這是一道中等題。

此題主要考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)的具體表現(xiàn)之一就是能夠根據(jù)已知條件，判斷或證明數(shù)學(xué)命題，或是將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將不熟悉變?yōu)槭煜?，從而解決問(wèn)題。關(guān)鍵是要厘清已知條件和結(jié)論之間的潛在關(guān)系。

(三)對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。

在面對(duì)具有現(xiàn)實(shí)生活背景的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生要能運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”。首先將實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后對(duì)問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步符號(hào)化處理，解決問(wèn)題，最后是回顧、總結(jié)和分析已經(jīng)完成的數(shù)學(xué)化的過(guò)程。素養(yǎng)導(dǎo)向的高考命題注重情境化設(shè)計(jì)，從現(xiàn)實(shí)社會(huì)中提取材料，設(shè)置問(wèn)題，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)能幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)之一——學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化。

【例3】(理科4) 北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)( )

A. 3699塊 B. 3474塊

C. 3402塊 D. 3339塊

根據(jù)題意可知，每環(huán)的石頭數(shù)成等差數(shù)列，{an}是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，由題意可得S3n-S2n=S2n-Sn+729，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到S3n。

此題以天壇圜丘壇為背景，背景新穎，將圜丘壇這一文化元素融入試題。不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，還將數(shù)學(xué)與建筑聯(lián)系起來(lái)了，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的魅力，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)“以文育人”“以文化人”的功能，也彰顯了新課標(biāo)滲透數(shù)學(xué)文化的理念。

本題考查的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)：如果{an}是等差數(shù)列，設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也是等差數(shù)列，公差為n2d；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。此題主要考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法去解決實(shí)際問(wèn)題的能力，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)立意的命題導(dǎo)向。數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。這類試題體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，存在于現(xiàn)實(shí)，并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)”。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，是高考命題一直堅(jiān)持的方向，也是國(guó)際數(shù)學(xué)課程改革重點(diǎn)關(guān)注的方向之一。[3]

(四)對(duì)直觀想象素養(yǎng)的考查

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)。直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思維、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。

新課標(biāo)要求學(xué)生“通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力；增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問(wèn)題的意識(shí)”。

2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ的文理科試題中，考查直觀想象素養(yǎng)的試題理科卷7道，文科卷6道，以理科第7題為例。

【例4】 (理科7)如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為( )

A.EB.FC.GD.H

根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形，即可求得M點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。

根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形，D1D4上的點(diǎn)在正視圖中都對(duì)應(yīng)點(diǎn)M，直線B3C4上的點(diǎn)在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N，所以在正視圖中對(duì)應(yīng)M,在俯視圖中對(duì)應(yīng)N的點(diǎn)是D4,線段D3D4，上的所有點(diǎn)在側(cè)視圖中都對(duì)應(yīng)E，所以點(diǎn)D4在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為E，故選A。

本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷點(diǎn)的位置和空間想象能力。從難度上看，是一道基礎(chǔ)題?？疾榈臄?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算，解題關(guān)鍵是掌握三視圖的基礎(chǔ)知識(shí)和根據(jù)三視圖能還原立體圖形的方法。學(xué)生直觀想象素養(yǎng)主要表現(xiàn)為“能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，想象并構(gòu)想出相應(yīng)的幾何圖形，發(fā)現(xiàn)圖形與圖形、圖形與數(shù)量之間的關(guān)系，并體會(huì)幾何直觀的作用與意義”。

(五)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)。主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果。數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段，是演繹推理、計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的基礎(chǔ)。

新課標(biāo)要求學(xué)生“通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問(wèn)題；通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神”。

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅指數(shù)字運(yùn)算，也包括字母與式子的運(yùn)算，以及對(duì)算法和程序的理解與應(yīng)用。數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是歷年高考考查的重點(diǎn)，2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ文、理科試題中，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的試題數(shù)量較多，以文科第7題為例。

【例5】(文科7)執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸入的k=0,a=0，則輸出的k為( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出的k值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，即可求得答案。

此題主要考查了學(xué)生對(duì)程序框圖的算法功能的理解，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力。從難度上看，這是一道基礎(chǔ)題。此題主要考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算，要求學(xué)生能夠理解運(yùn)算法則的意義和作用，并能夠通過(guò)程序思想理解與表達(dá)問(wèn)題。

數(shù)學(xué)運(yùn)算是學(xué)生應(yīng)具備的最基本的以及最重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在解題過(guò)程中，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的具體表現(xiàn)就是學(xué)生能夠在有限的時(shí)間內(nèi)找準(zhǔn)題目中的運(yùn)算對(duì)象，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行重新的數(shù)學(xué)表征，盡可能地尋找簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑。但是，學(xué)生一旦對(duì)問(wèn)題的表征出現(xiàn)錯(cuò)誤，就很可能無(wú)法解決問(wèn)題，或是將問(wèn)題復(fù)雜化[4]。在教學(xué)中，教師應(yīng)注意訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及對(duì)算法化程序化的理解。

(六)對(duì)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查

數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象知識(shí)的素養(yǎng)。數(shù)據(jù)分析過(guò)程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進(jìn)行推斷，獲得結(jié)論。

數(shù)據(jù)分析是研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)技術(shù)，是大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，已經(jīng)深入科學(xué)、技術(shù)、工程和現(xiàn)代社會(huì)生活的各個(gè)方面。新課標(biāo)要求學(xué)生“通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，提升獲取有價(jià)值的信息并進(jìn)行定量分析的意識(shí)和能力，增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意識(shí)，形成通過(guò)數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)事物的思維品質(zhì)，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。

(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；

(2)求樣本(xi,yi) (i=1,2,3, …, 20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說(shuō)明理由。

此題以沙漠地區(qū)生態(tài)系統(tǒng)的改善為背景命制而成，閱讀量較大。第(1)問(wèn)考查平均數(shù)的估計(jì)值，直接用樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)乘以地塊數(shù)即可：

本題在考查學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的同時(shí)，重點(diǎn)考查了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，且對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)也有所考查，從難度上看，是一道容易題。解決此問(wèn)題需要學(xué)生掌握數(shù)據(jù)分析的方法，有較好的數(shù)據(jù)分析觀念。數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要方法之一，此題要求學(xué)生能夠在運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決問(wèn)題的過(guò)程中，理解統(tǒng)計(jì)結(jié)論的意義，理解數(shù)據(jù)分析在大數(shù)據(jù)時(shí)代的重要性，養(yǎng)成通過(guò)數(shù)據(jù)思考問(wèn)題的習(xí)慣。在教學(xué)中，教師應(yīng)通過(guò)問(wèn)題創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的整個(gè)過(guò)程，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異。

2020年的高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ，遵循《2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱》的要求和素養(yǎng)立意的命題理念，保持了歷年全國(guó)卷的風(fēng)格，試題設(shè)計(jì)立足學(xué)科核心素養(yǎng)和主干知識(shí)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、文化價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和理性精神，將基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)融為一體，深化數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，重視知識(shí)交匯，滲透數(shù)學(xué)文化，不僅注重考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更注重考查基本數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程。文、理科試題均以基礎(chǔ)知識(shí)為載體，以思維能力為核心，除了全面考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等學(xué)科核心素養(yǎng)外，還對(duì)學(xué)生的德智體美勞“五育”有所要求。[5]

可以看出，基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的命題是基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革的必然趨勢(shì)，也是國(guó)際數(shù)學(xué)教育改革的大方向。要求教師在平時(shí)的教學(xué)中關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展，重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育的核心課程，在學(xué)生的后續(xù)發(fā)展和終身教育中扮演著重要的角色，數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是課堂教學(xué)需要落實(shí)的重要因素，要求教師將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生具有適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所需要的必備品格和關(guān)鍵能力。