浙江 成金德

人類對浩瀚的宇宙充滿了各種夢想，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，探尋廣袤宇宙的奧秘正在逐步實現(xiàn)。天體運動在力學(xué)中占有重要地位，要求學(xué)生熟練運用牛頓第二定律、萬有引力定律、勻速圓周運動分析以及探討天體的運動規(guī)律，解決此類問題學(xué)生需要對天體的運動構(gòu)建模型，這對學(xué)生來說是一個難點。為解決此類難題，下面就有效復(fù)習天體運動的知識作以下探討。

一、理解知識要點

1.三個要點

(1)一個定律

適用條件：嚴格地說公式只適用于質(zhì)點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，公式也可以近似使用，但此時r應(yīng)為兩物體重心間的距離。對于均勻的球體，r是兩球心間的距離。

(2)一個模型

(3)一顆衛(wèi)星

與地球自轉(zhuǎn)同步，相對于地球表面靜止的衛(wèi)星，叫做同步衛(wèi)星。其特點為六個“一定”：

①軌道平面一定。同步衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)的軌道平面一定與地球的赤道面重合。

②周期一定。同步衛(wèi)星的運行方向與地球自轉(zhuǎn)方向一致，同步衛(wèi)星的運行周期與地球的自轉(zhuǎn)周期相同，即T=24 h。

2.三大關(guān)系

(1)天體的繞行速度、角速度和周期與半徑的關(guān)系

(2)運行速度、發(fā)射速度和宇宙速度間的關(guān)系

發(fā)射速度是指衛(wèi)星隨火箭一起上升過程結(jié)束后與火箭分離時的速度；運行速度是指衛(wèi)星在空中繞地球正常運行時的速度；宇宙速度是三個特定的臨界發(fā)射速度，如果以第一宇宙速度發(fā)射衛(wèi)星時，衛(wèi)星將繞地球表面運行。

宇宙速度是衛(wèi)星做各種軌道運動的臨界發(fā)射速度，它的數(shù)值是確定的；運行速度是各種各樣的，隨著軌道半徑的增大而減小；發(fā)射速度取決于火箭發(fā)射系統(tǒng)，根據(jù)發(fā)射不同衛(wèi)星的需要確定不同的發(fā)射速度。當以第一宇宙速度v=7.9 km/s發(fā)射時，恰好是衛(wèi)星發(fā)射的最小速度，也是衛(wèi)星環(huán)繞地球運行的最大速度。

(3)重力和萬有引力的關(guān)系

地球?qū)ξ矬w的吸引力就是萬有引力，重力只是萬有引力的一個分力，萬有引力的另一個分力是物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力。

3.三項區(qū)分

(1)區(qū)分軌道半徑和天體間的距離

(2)區(qū)分天上追及和地上追及

地面上的物體只要后者的速度大于前者的速度就可以追上。衛(wèi)星間的追及不同于地面上物體的追及，在同一軌道上的兩顆衛(wèi)星，后者一旦加速，它將立即離開原軌道進入半經(jīng)更大的高軌道上運動，因此，同一軌道上的衛(wèi)星追及問題是一類典型的問題，實際采用的方法是先讓追趕衛(wèi)星減速，由半徑大的高軌道轉(zhuǎn)向半徑小的低軌道，由萬有引力的作用使衛(wèi)星增大線速度，經(jīng)一定時間后再使追趕衛(wèi)星加速，由低軌道回到高軌道，這樣才可以追上。

(3)區(qū)分赤道上物體、近地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星

赤道上物體受到地球引力作用，此力的兩個分力其中之一使物體隨地球繞地軸轉(zhuǎn)動，另外一個分力即為物體的重力；而近地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星均受到地球的引力提供向心力，使它們繞地球轉(zhuǎn)動。它們作圓周運動的半徑關(guān)系為R物=R近

二、掌握解題方法

1.常規(guī)題型

求解天體問題的基本思路是將天體的運動看作勻速圓周運動，中心天體的引力提供向心力，再結(jié)合天體表面處物體的重力大小等于天體對它的引力大小。

【例1】2008年9月25日，我國載人航天宇宙飛船“神舟七號”進入預(yù)定軌道，且中國人成功實現(xiàn)了太空行走，并順利返回地面。我們通過電視轉(zhuǎn)播畫面看到航天員在出艙時好像“飄浮”在空中。

(1)試分析航天員“飄浮”起來的原因。

(2)已知地球的半徑R，地面的重力加速度g，飛船距地面高h，航天員在艙外活動的時間為t，求這段時間內(nèi)飛船走過的路程s。

【分析】(1)航天員隨艙做勻速圓周運動，地球?qū)教靻T的萬有引力提供向心力，航天員處于完全失重狀態(tài)，故航天員“飄浮”起來。

(2)宇宙飛船繞地球做勻速圓周運動，地球?qū)λ娜f有引力提供向心力，則有

設(shè)地球表面處有一物體，質(zhì)量為m′，根據(jù)萬有引力與重力間的關(guān)系可得

在時間t內(nèi)，飛船做勻速圓周運動，則飛船走過的路程等于圓弧的長度，即

2.運行情況

衛(wèi)星繞地球運行時，隨著軌道半徑的增大，由萬有引力提供向心力的關(guān)系可知，衛(wèi)星的線速度減小，角速度減小，周期增大，向心力減小。

【例2】若人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，則下列說法正確的是

( )

A.衛(wèi)星的軌道半徑越大，它的運行速度越小

B.衛(wèi)星的軌道半徑越大，它的運行角速度越小

C.衛(wèi)星的軌道半徑越大，它的運行周期越小

D.衛(wèi)星的軌道半徑越大，它的向心加速度越小

【分析】衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時，萬有引力提供向心力，即

因此，可以判斷當軌道半徑增大時，運行速度減小，角速度減小，周期增大，向心加速度減小，故ABD正確，C錯誤。

3.變軌問題

衛(wèi)星在軌期間自主改變運行軌道的過程稱為變軌。衛(wèi)星運行軌道是橢圓，當衛(wèi)星處于遠地點時，調(diào)整衛(wèi)星所處狀態(tài)后火箭點火，這樣可使衛(wèi)星的軌道變成需要的高度。若由高軌道變到低軌道時，則應(yīng)調(diào)整好衛(wèi)星狀態(tài)并減速，使衛(wèi)星靠近地球；隨著衛(wèi)星高度的降低，衛(wèi)星的勢能轉(zhuǎn)變?yōu)閯幽?，運行速度隨之增大；若由低軌道變到高軌道時，則應(yīng)調(diào)整衛(wèi)星狀態(tài)先加速，隨著衛(wèi)星高度升高，衛(wèi)星的動能轉(zhuǎn)變?yōu)閯菽?，速度也會隨之減小。當?shù)竭_預(yù)定的軌道高度時，再次調(diào)整好衛(wèi)星姿態(tài)并控制好速度，完成變軌操作。

【例3】如圖1所示，搭載著“嫦娥二號”衛(wèi)星的“長征三號丙”運載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，衛(wèi)星由地面發(fā)射后，進入地月轉(zhuǎn)移軌道，經(jīng)多次變軌最終進入距離月球表面100 km、周期約為118 min的工作軌道，開始對月球進行探測

圖1

( )

A.衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的運行速度比月球的第一宇宙速度大

B.衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的機械能比在軌道Ⅱ上大

C.衛(wèi)星在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點的速度比在軌道Ⅰ上經(jīng)過P點時大

D.衛(wèi)星在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點的加速度比在軌道Ⅰ上經(jīng)過P點時大

4.同步衛(wèi)星

地球同步衛(wèi)星，即相對地球靜止的衛(wèi)星，其軌道平面只能與赤道平面重合，其軌道半徑r、運行速度的大小v和運行周期T都是唯一確定的。求解同步衛(wèi)星問題時，不僅要熟練應(yīng)用萬有引力提供向心力這個基本原理，還要注意應(yīng)用同步衛(wèi)星的有關(guān)特點。

【例4】某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠鏡觀察被太陽光照射的此衛(wèi)星，試問，春分那天(太陽光直射赤道)在日落12小時內(nèi)有多長時間該觀察者看不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T，不考慮大氣對光的折射。

在春分時，太陽光直射地球赤道，如圖2所示，圖中圓E表示赤道，S表示衛(wèi)星，A表示觀察者，O表示地心。從圖中可看出，當衛(wèi)星S繞地心O轉(zhuǎn)到圖示位置以后(設(shè)地球自轉(zhuǎn)是沿圖中的逆時針方向)，其正下方的觀察者將看不見它。考慮到對稱性，有

圖2

rsinθ=R

5.雙星問題

在天體運動中，把兩顆彼此相距較近，而且繞同一點做圓周運動的恒星叫做雙星系統(tǒng)。由于雙星系統(tǒng)中兩顆恒星繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供各自所需的向心力，因此它們具有相同的角速度ω和相同的周期T。

【例5】現(xiàn)代觀測表明，由于引力的作用，恒星有“聚集”的特點，眾多的恒星組成不同層次的恒星系統(tǒng)，最簡單的恒星系統(tǒng)是兩顆互相繞轉(zhuǎn)的雙星，它們以兩者連線上的某點為圓心做勻速圓周運動，這樣就不至于由于萬有引力作用而吸引在一起，設(shè)某雙星中A、B兩星的質(zhì)量分別為m和3m，兩星間距為L，在相互間的萬有引力的作用下，繞它們連線上的某點O轉(zhuǎn)動，則O點距B星的距離是多大？它們運動的周期為多少？(引力常量為G)

【分析】設(shè)O點距B星的距離為x，雙星運動的周期為T，由于相互間的萬有引力提供各自所需的向心力，由牛頓第二定律和萬有引力定律得

6.黑洞問題

黑洞是太空里的某些區(qū)域，那里的引力大得驚人，包括光在內(nèi)的一切東西都難以逃逸出來。由于光子逃不出黑洞對它的引力約束，則光子繞黑洞做圓周運動，它的軌道半徑就是黑洞的最大可能半徑。求解黑洞問題，要緊緊抓住這個要點建立方程。

【例6】1997年8月26日在日本舉行的國際學(xué)術(shù)大會上，德國Max Planck學(xué)會的一個研究組宣布了他們的研究結(jié)果：銀河系的中心可能存在一個大“黑洞”。所謂“黑洞”，它是某些天體的最后演變結(jié)果。

(1)根據(jù)長期觀測發(fā)現(xiàn)，距離某“黑洞”6.0×1012m的另一個星體(設(shè)其質(zhì)量為m)以2×106m/s的速度繞“黑洞”旋轉(zhuǎn)，求該“黑洞”的質(zhì)量M；(結(jié)果要求兩位有效數(shù)字)

【分析】(1)設(shè)“黑洞”的質(zhì)量為M，星體的質(zhì)量為m，它們之間的距離為r，由于星體繞黑洞做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得

解得黑洞的質(zhì)量為

由此可得“黑洞”的可能最大半徑為

7.追及問題

衛(wèi)星間的追及不同于地表上的追及，衛(wèi)星間的追及問題是指兩者從最近分離到再次相遇的問題。求解此類問題，關(guān)鍵是弄清低軌道衛(wèi)星比高軌道衛(wèi)星多運行一周時再次靠近的條件。

【例7】假設(shè)有一載人宇宙飛船在距地面高度為4 200 km的赤道上空繞地球做勻速圓周運動，地球半徑約為6 400 km，地球同步衛(wèi)星距地面高為36 000 km，宇宙飛船和一地球同步衛(wèi)星繞地球同向運動，每當兩者相距最近時。宇宙飛船就向同步衛(wèi)星發(fā)射信號，然后再由同步衛(wèi)星將信號發(fā)送到地面接收站，某時刻兩者相距最遠，從此刻開始，在一晝夜的時間內(nèi)，接收站共接收到信號的次數(shù)為多少？

【分析】設(shè)地球的質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m1，同步衛(wèi)星的周期為T0，同步衛(wèi)星離地球表面高度為h1，宇宙飛船的質(zhì)量為m2，宇宙飛船的周期為T，宇宙飛船離地球表面高度為h2，由萬有引力提供向心力可得

聯(lián)立解得

設(shè)兩者相鄰兩次相距最近的時間間隔為t2，有

8.綜合運用力學(xué)規(guī)律

天體問題往往可以與力學(xué)規(guī)律相聯(lián)系，從而形成一類獨特的綜合問題，這類問題可以考查學(xué)生綜合運用知識的能力。求解時既要注意應(yīng)用天體問題的特點，還要注意靈活選用相關(guān)的力學(xué)規(guī)律。

【分析】設(shè)行星的質(zhì)量為M，半徑為R，宇宙站的質(zhì)量為m，隕石的質(zhì)量為m0。由萬有引力提供向心力可得

對碰后的宇宙站和隕石有