河北 康利軍 李會(huì)彥

輕彈簧是一個(gè)理想化模型，也是高考物理命題中的經(jīng)典模型。綜合分析近5年的高考物理試題，可見(jiàn)含彈簧模型的試題所占的比重偏高。(如下表)

真題示例題型及分值考點(diǎn)分析考查情境2015年全國(guó)卷Ⅰ第24題計(jì)算(12分)胡克定律(Ⅰ級(jí)),勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的安培力(Ⅱ級(jí)),共點(diǎn)力的平衡(Ⅱ級(jí)) 2016年全國(guó)卷Ⅰ第25題計(jì)算(18分)動(dòng)能定理(Ⅱ級(jí)),功能關(guān)系(Ⅱ級(jí))2016年全國(guó)卷Ⅱ第22題實(shí)驗(yàn)(6分)實(shí)驗(yàn)六:驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律2016年全國(guó)卷Ⅱ第25題計(jì)算(20分)機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用(Ⅱ級(jí)),拋體運(yùn)動(dòng)(Ⅱ級(jí))2017年全國(guó)卷Ⅲ第17題選擇(6分)胡克定律(Ⅰ級(jí)),力的合成與分解(Ⅱ級(jí)),共點(diǎn)力的平衡(Ⅱ級(jí))將輕質(zhì)彈性繩兩端分別固定在水平天花板的兩點(diǎn),繩中間懸掛鉤碼,以此情境考查受力分析和平衡問(wèn)題2018年全國(guó)卷Ⅰ第15題選擇(6分)胡克定律(Ⅰ級(jí)),牛頓運(yùn)動(dòng)定律及其應(yīng)用(Ⅱ級(jí))

續(xù)表

由上可以看出，命題者常以彈簧作為載體，通過(guò)彈簧連接滑塊等組成物體系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)或約束或釋放或突變，創(chuàng)設(shè)出多樣化的物理情境。

從考點(diǎn)分析上看，彈簧模型可以貫穿到整個(gè)高中物理力學(xué)知識(shí)的體系中。從受力角度看，彈簧的彈力是變力，在空間上，彈簧形變與所接觸物體的位移相關(guān)聯(lián)，在時(shí)間上，彈簧經(jīng)歷形變需要時(shí)間，故彈簧彈力具有與其他力不同的特性；從能量角度看，彈簧是儲(chǔ)存彈性勢(shì)能的元件，彈性勢(shì)能的表達(dá)式在高考《考試大綱》中不做要求，但要靈活應(yīng)用機(jī)械能守恒定律或功能關(guān)系來(lái)解決彈性勢(shì)能的相關(guān)問(wèn)題。所以含彈簧模型的問(wèn)題多為綜合性問(wèn)題，涉及的知識(shí)面廣，不僅能加深對(duì)彈力、加速度、能量等基本概念的理解，促使學(xué)生形成物理觀念，同時(shí)也可綜合多個(gè)規(guī)律進(jìn)行考查，使學(xué)生的模型建構(gòu)、分析綜合、推理論證等科學(xué)思維內(nèi)化為能力。本文通過(guò)典型例題，引導(dǎo)同學(xué)們分類突破彈簧模型。

一、彈簧模型中的靜力學(xué)問(wèn)題

【例1】如圖1所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球通過(guò)兩根輕彈簧A、B連接，在水平外力F作用下，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)彈簧實(shí)際長(zhǎng)度相等。彈簧A、B的勁度系數(shù)分別為kA、kB，且原長(zhǎng)相等。彈簧A、B與豎直方向的夾角分別為θ與45°。設(shè)A、B中的拉力分別為FA、FB。小球直徑相比彈簧長(zhǎng)度可以忽略。則

圖1

( )

圖2

圖3

【歸類總結(jié)】彈簧模型中的靜力學(xué)問(wèn)題以考查受力分析為主，主要是結(jié)合胡克定律考查共點(diǎn)力的平衡問(wèn)題，可以采用正交分解法、矢量三角形法、圖解法、整體法和隔離法等方法求解。但是對(duì)彈簧的基本力學(xué)特征要明確，輕彈簧是一種理想化的物理元件，分析問(wèn)題時(shí)不需要考慮輕彈簧本身的質(zhì)量和重力。對(duì)于彈簧產(chǎn)生的彈力，需要注意以下幾點(diǎn)：

1.彈簧彈力的計(jì)算

彈簧彈力的大小可以由胡克定律來(lái)計(jì)算，即彈簧發(fā)生形變時(shí)，在彈性限度內(nèi)，彈力的大小F與彈簧伸長(zhǎng)(或縮短)的長(zhǎng)度x成正比，數(shù)學(xué)表達(dá)式為F=kx，其中k是一個(gè)比例系數(shù)，叫彈簧的勁度系數(shù)。彈簧的彈力不是一個(gè)恒定的力，而是一個(gè)變力，其大小隨著彈簧形變量的變化而變化，同時(shí)還與彈簧的勁度系數(shù)有關(guān)。

2.彈簧彈力的特點(diǎn)

(1)彈簧彈力的大小與彈簧的形變量有關(guān)，當(dāng)彈簧的勁度系數(shù)保持不變時(shí)，彈簧的形變量發(fā)生變化，彈簧的彈力相應(yīng)地發(fā)生變化；形變量不變，彈力也就保持不變；

(2)當(dāng)輕彈簧受到外力的作用時(shí)，無(wú)論彈簧是處于平衡狀態(tài)還是處于變速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，彈簧各個(gè)部分所受的力的大小是相同的；

(3)彈簧彈力的方向與彈簧的形變有關(guān)，在拉伸和壓縮兩種情況下，彈力的方向相反。在分析彈簧彈力的方向時(shí)，一定要全面考慮，如果題目沒(méi)有說(shuō)明是哪種形變，那么就需要考慮兩種情況。

另外，對(duì)胡克定律的考查還可以實(shí)驗(yàn)形式考查，在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中也會(huì)涉及。

二、彈簧模型中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題

【例2】如圖4所示，帶有豎直支柱的斜面體靜止在水平地面上，光滑的小球被輕質(zhì)細(xì)線和輕彈簧系住靜止于斜面體上，細(xì)線與斜面平行，彈簧處于拉伸狀態(tài)，小球?qū)π泵鏇](méi)有壓力?，F(xiàn)燒斷細(xì)線，則細(xì)線燒斷瞬時(shí)，下列說(shuō)法正確的是

圖4

( )

A.小球的加速度為零

B.小球?qū)π泵娴膲毫榱?/p>

C.小球的加速度方向沿彈簧軸線

D.地面對(duì)斜面體的支持力會(huì)瞬間增大

【解析】細(xì)線燒斷前，在沿斜面方向，彈簧彈力的分量等于重力沿斜面方向分量和細(xì)線拉力之和；在垂直斜面方向，重力分量和彈簧彈力分量平衡。燒斷細(xì)線瞬間，細(xì)線拉力消失，彈簧的彈力和重力均不變，故在垂直于斜面方向受力不變，小球?qū)π泵娴膲毫σ廊粸榱?；沿斜面方向，小球受到的合力沿斜面向上，加速度沿斜面向上，故AC錯(cuò)誤，B正確。由于小球有豎直向上的加速度分量，故整體存在超重現(xiàn)象，則地面對(duì)斜面體的支持力會(huì)瞬間增大，故D正確。

【歸類總結(jié)】彈簧模型中的瞬時(shí)加速度問(wèn)題考查學(xué)生對(duì)牛頓第二定律瞬時(shí)性的理解。物體的加速度a與合力F對(duì)應(yīng)同一時(shí)刻，即a為某時(shí)刻的加速度時(shí)，F(xiàn)為該時(shí)刻物體所受合力。此類問(wèn)題以靜力學(xué)平衡問(wèn)題開(kāi)場(chǎng)，以其中某力突變?cè)O(shè)問(wèn)，關(guān)鍵點(diǎn)是明確輕彈簧和輕繩、輕桿或接觸面產(chǎn)生的彈力的區(qū)別，即兩端同時(shí)連接(或附著)有物體的彈簧或橡皮繩，其特點(diǎn)是形變量大，形變恢復(fù)需要較長(zhǎng)時(shí)間，在瞬時(shí)性問(wèn)題中，其彈力的大小往往可以看成保持不變。而輕桿是不發(fā)生明顯形變就能產(chǎn)生彈力的物體，剪斷(或脫離)后，其彈力立即消失，形變恢復(fù)不需要時(shí)間。

【例3】如圖5所示，一輕質(zhì)彈簧的下端，固定在水平面上，上端疊放著兩個(gè)質(zhì)量均為m的物體A、B(物體B與彈簧拴接)，彈簧的勁度系數(shù)為k，初始時(shí)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)用豎直向上的拉力F作用在物體A上，使物體A開(kāi)始向上做加速度為a的勻加速運(yùn)動(dòng)，測(cè)得兩個(gè)物體的v-t圖象如圖6所示(重力加速度為g)，則

圖5

圖6

( )

A.A、B在t1時(shí)刻分離，此時(shí)彈簧彈力大小為m(g+a)

B.施加外力的瞬間，F(xiàn)的大小為2m(g-a)

D.彈簧彈力等于零時(shí)，物體B的速度達(dá)到最大值

【歸類總結(jié)】彈簧模型中動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的情境往往是在彈簧一端或彈簧兩端推動(dòng)物塊運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧彈力隨形變而變化，從而使得合外力變化，進(jìn)而導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)物體的加速度、速度發(fā)生變化。

(1)比較典型的分離臨界問(wèn)題是考查學(xué)生對(duì)彈簧形變的特殊位置彈力特征的理解。這類問(wèn)題關(guān)鍵點(diǎn)是明確分離的時(shí)刻，即接觸面間的彈力為零這一臨界條件；然后采用整體法和隔離法受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列方程求解。由于彈簧彈力與形變量相對(duì)應(yīng)，形變量(尤其是特殊位置的形變量)是分析彈簧彈力及變化問(wèn)題的突破口，確定彈簧原長(zhǎng)位置、現(xiàn)長(zhǎng)位置及臨界位置，找出彈簧形變量x與連接物體空間位置變化的關(guān)系(這個(gè)關(guān)系是求解物體位移的關(guān)鍵點(diǎn)如C選項(xiàng))，確定彈力的大小及方向，根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)結(jié)合動(dòng)力學(xué)規(guī)律求解。(2)另外一類以豎直彈簧連接小球(在選修3-4中屬于彈簧振子模型，為彈簧模型中的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)問(wèn)題)為基礎(chǔ)模型的問(wèn)題，小球保持和彈簧接觸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球受到的合力F、加速度a、速度v以及相對(duì)于平衡位置的位移x都具有對(duì)稱性。對(duì)應(yīng)彈簧特殊位置，小球具有特殊狀態(tài)，如平衡位置時(shí)，加速度為零，速度最大；在相對(duì)于平衡位置最大位移處，速度為零，加速度最大。這也是進(jìn)一步分析彈簧小球系統(tǒng)中能量關(guān)系的動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)。

三、彈簧模型中的能量問(wèn)題

【例4】如圖7所示，豎直光滑桿固定不動(dòng)，套在桿上的彈簧下端固定，將套在桿上的滑塊向下壓縮彈簧至離地高度h=0.1 m處，滑塊與彈簧不拴接。現(xiàn)由靜止釋放滑塊，通過(guò)傳感器測(cè)量滑塊的速度和離地高度h并作出如圖8所示滑塊的Ek-h圖象，其中高度從0.2 m上升到0.35 m范圍內(nèi)圖象為直線，其余部分為曲線，以地面為零勢(shì)能面，取g=10 m/s2，由圖象可知

圖7

圖8

( )

A.滑塊的質(zhì)量為0.15 kg

B.輕彈簧原長(zhǎng)為0.2 m

C.彈簧最大彈性勢(shì)能為0.32 J

D.滑塊的重力勢(shì)能與彈簧的彈性勢(shì)能總和最小為0.38 J

【歸納總結(jié)】小球與彈簧模型是機(jī)械能守恒問(wèn)題中的經(jīng)典情境，以小球、彈簧和地球組成的系統(tǒng)，只有重力、彈簧彈力做功時(shí)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。彈簧彈力做功與路徑無(wú)關(guān)，只與初末位置有關(guān)，彈簧彈力做功對(duì)應(yīng)彈簧彈性勢(shì)能的變化。該模型系統(tǒng)中的彈性勢(shì)能、小球動(dòng)能和重力勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化且總量不變。事實(shí)上，無(wú)論彈簧沿哪個(gè)方向，沿著彈簧軸線上施加一個(gè)恒力，那么彈簧和小球組成的系統(tǒng)都可以看作等效彈簧與小球模型，只是能量轉(zhuǎn)化要根據(jù)實(shí)際情況判定。常見(jiàn)的蹦極問(wèn)題也屬于小球彈簧模型，該模型結(jié)合其他情境的創(chuàng)新試題非常多，如2019年全國(guó)卷Ⅰ第21題既與a-x創(chuàng)新圖象綜合，又與萬(wàn)有引力與航天綜合，同時(shí)考查能量問(wèn)題。

【例5】如圖9所示，一光滑細(xì)桿固定在水平面上的C點(diǎn)，細(xì)桿與水平面的夾角為30°，一原長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)彈性繩，下端固定在水平面上的B點(diǎn)，上端與質(zhì)量為m的小環(huán)相連，當(dāng)把小環(huán)拉到A點(diǎn)時(shí)，AB與地面垂直，彈性繩長(zhǎng)為2L，將小環(huán)從A點(diǎn)由靜止釋放，當(dāng)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)D時(shí)，速度達(dá)到最大。重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的是

圖9

( )

A.在下滑過(guò)程中小環(huán)的機(jī)械能先減小后增大

B.小環(huán)剛釋放時(shí)的加速度大小為g

C.小環(huán)到達(dá)AD的中點(diǎn)時(shí)，彈性繩的彈性勢(shì)能為零

【歸納總結(jié)】對(duì)于不沿彈簧軸線方向運(yùn)動(dòng)的彈簧與小球系統(tǒng)，其受力分析比二者共線時(shí)復(fù)雜，需要將彈簧彈力沿運(yùn)動(dòng)方向分解，根據(jù)牛頓第二定律分析小球的運(yùn)動(dòng)特征。在動(dòng)力分析的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究系統(tǒng)中的能量問(wèn)題，若系統(tǒng)中只有重力、彈簧彈力做功，系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒定律。若系統(tǒng)中有其他力做功，且代數(shù)和不為零，如滑動(dòng)摩擦力做功，則要應(yīng)用功能關(guān)系求解。

四、彈簧模型中的動(dòng)量問(wèn)題

【例6】如圖10所示，光滑水平面上，質(zhì)量為m1=2 kg和m2=1 kg的兩個(gè)小球，用一條輕質(zhì)細(xì)線連接，中間有一被壓縮且和m2連接的輕彈簧，正以8 m/s的共同速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，彈簧的彈性勢(shì)能為48 J，求：

圖10

(1)燒斷細(xì)線后最終m1與m2的速度；

(2)如圖11所示，若質(zhì)量為m1的小球開(kāi)始以某一速度向右運(yùn)動(dòng)去碰靜止的質(zhì)量為m2的小球，輕彈簧與質(zhì)量為m2的小球連接且處于原長(zhǎng)，在接下來(lái)的運(yùn)動(dòng)中，彈簧被壓到最短時(shí)彈性勢(shì)能為48 J，問(wèn)質(zhì)量為m1的小球開(kāi)始的速度。

圖11

【歸納總結(jié)】彈簧模型在動(dòng)量問(wèn)題中的應(yīng)用主要是作為一種儲(chǔ)能元件使用。動(dòng)量問(wèn)題中的彈簧與小球模型有兩類：一類是反沖類情境(例6第1問(wèn))，系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒定律，也滿足機(jī)械能守恒定律，燒斷細(xì)線，彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球動(dòng)能；另一類是碰撞類情境(例6第2問(wèn))，系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒定律，也滿足機(jī)械能守恒定律，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)彈簧壓縮至最短(還有一種情形，如小球和彈簧拴接，彈簧拉伸最長(zhǎng))時(shí)，兩球共速，彈簧彈性勢(shì)能最大，當(dāng)彈簧再次恢復(fù)原長(zhǎng)瞬間，此時(shí)彈性勢(shì)能為零，那么系統(tǒng)從初態(tài)到此時(shí)的過(guò)程符合動(dòng)量守恒彈性碰撞模型。彈簧模型也可以與板塊模型相綜合，考查更復(fù)雜的情境，在判斷運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的功能關(guān)系時(shí)，對(duì)于彈簧壓縮最短或恢復(fù)原長(zhǎng)兩個(gè)特殊狀態(tài)的處理方法，與彈簧小球模型是一致的。