吳顯云，張 容

(成都師范學(xué)院 物理與工程技術(shù)學(xué)院，成都 611130)

電勢是描述靜電場性質(zhì)的重要的物理量之一，它從能的側(cè)面反映了電場的性質(zhì)[1].靜電場中某點(diǎn)的電勢在數(shù)值上等于單位正電荷在該點(diǎn)所具有的電勢能.當(dāng)帶電體電荷分布已知時(shí)，一般可用微元法和定義法兩種方法計(jì)算電勢[2].在靜電場的教學(xué)中經(jīng)常會(huì)討論均勻帶電球面、均勻帶電球體等電荷分布具有高度對稱性的帶電體的電勢分布，一般先利用高斯定理求出電場，然后利用定義(定義法)求解.對于這些均勻帶電體的一部分，如均勻帶電半球面、均勻帶電半球體，因電荷分布不具有高度對稱性不能利用高斯定理求出其電場分布，電場強(qiáng)度計(jì)算較為困難，不宜利用定義法計(jì)算其電勢，可采用微元法計(jì)算其電勢[3].在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)微元法計(jì)算電勢，如何選取微元通常是學(xué)生最為薄弱的環(huán)節(jié)，這恰恰又是解決問題最為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，如果微元選取不恰當(dāng)，必定會(huì)增加計(jì)算的難度，甚至出錯(cuò)[4,5].

本文以電荷元(微元)的選取為主線，給出均勻帶半球體軸線上電勢的幾種不同計(jì)算方法.設(shè)均勻帶電半球體的半徑為R，電荷體密度為ρ(參考點(diǎn)選在無限遠(yuǎn)處).

1 直接選取基本體積元為電荷元

將半球體分割成許多體積元，直接選取體積元為電荷元.

如圖1 所示建立球坐標(biāo)系，以半球體球心為坐標(biāo)原點(diǎn),半球體軸線為oz軸，體積元的體積為dτ=r2sinφdφdθdr，所帶電荷量為dq=ρdτ=ρr2sinφdφdθdr，它到軸線上任一點(diǎn)P的距離為r1=

圖1 體積元為電荷元示意圖

體積元在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電勢為：

均勻帶電半球體在P 點(diǎn)處產(chǎn)生的電勢為：

當(dāng)z≠0 時(shí)，被積函數(shù)分子、分母同乘以2z得：

此結(jié)果的條件是z≠0，對于球心處(z=0)的電勢計(jì)算后面再給出.

均勻帶電半球體內(nèi)、外軸線上各個(gè)區(qū)間內(nèi)的電勢具有不同的表達(dá)式，其中z=0和z=-R分別為半球體的圓面和球面與oz軸的交界點(diǎn)，故作如下分段討論.

當(dāng)z>0 時(shí)，

當(dāng)z< -R時(shí)，

當(dāng)-R≤z<0 時(shí)，

當(dāng)z=0時(shí)，將z=0代入式(1)積分可得球心處產(chǎn)生的電勢為：

上述式(3)、(4)、(5)和(6)即為均勻帶電半球體軸線上各個(gè)區(qū)域的電勢的表達(dá)式.

圖2 為均勻帶電半球體軸線上的電勢V隨軸線坐標(biāo)z變化的曲線.利用Matlab 數(shù)值模擬計(jì)算時(shí)，所用參數(shù)電荷體密度ρ為0.01C m3,半徑R為0.01m.

圖2 半球體軸線上V 隨z 變化的曲線

由圖2 可以看出，當(dāng)z< -R時(shí)，電勢隨著z的增大而增大，當(dāng)-R≤z<0 時(shí)，電勢隨著z的增大先由小變大直到最大3.3978×104V(此處z≈-4.2×10-3m)，然后由大變小，當(dāng)z>0 時(shí)，電勢隨著z的增大而減小.在分界點(diǎn)z=-R和z=0處電勢是連續(xù)分布的(z=-1.0×10-8m、z=1.0×10-8m 和z=0時(shí)，V=2.8249×104V).

圖3 相對的半球體軸線上V 隨z 變化的曲線

圖4 球體軸線上V 隨z 變化的曲線

圖3 為相對的半球體軸線上的電勢V隨軸線坐標(biāo)z變化的曲線.圖2 和圖3 擬合得到圖4，圖4即為兩個(gè)相對的半球體結(jié)合得到的球體軸線上的電勢V隨軸線坐標(biāo)z變化的曲線.當(dāng)z>0 時(shí)，電勢隨著z的增大而減小，當(dāng)z<0 時(shí)，電勢隨著z的增大而增大，當(dāng)z=0時(shí)，電勢最大為V=5.6497×104V.利用上述式(3)、(4)、(5)和(6)通過兩個(gè)相對的半球體電勢疊加也可求得球體軸線上的電勢的表達(dá)式，當(dāng)z>R時(shí)，將式(3)與式(4)中的z變換為-z的值相加，得到電勢為，當(dāng)0

2 分別選取面積元和薄圓盤為電荷元

先將半球體分割成許多薄圓盤，然后將薄圓盤分割成許多面積元，分別選取面積元和薄圓盤為電荷元.

如圖5 所示建立極坐標(biāo)系，薄圓盤看作電荷面分布，設(shè)電荷面密度為σ，坐標(biāo)為r、φ的面積元的 面 積 為ds=rdφdr，所帶電荷量為dq=σds=σrdφdr.

圖5 面積元為電荷元示意圖

面積元在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電勢為：

薄圓盤在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電勢為：

如圖6 所示建立球坐標(biāo)系，圓盤的半徑為Rcosθ，厚度為dh=Rcosθdθ，P點(diǎn)到盤心的距離為Rsinθ+z.

圖6 薄圓盤為電荷元示意圖

半球體在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電勢為：

令Rsinθ=h，則：

當(dāng)z< -R時(shí)，

當(dāng)-R≤z<0 時(shí)，

當(dāng)z=0時(shí)，將之代入式(8)可得半球體球心處的電勢為：

3 分別選取面積元和半薄球殼為電荷元

首先將半球體分割成許多半薄球殼，其次將半薄球殼分割成許多面積元，分別選取面積元和半薄球殼為電荷元.

如圖7 所示建立球坐標(biāo)系，半薄球殼看作電荷面分布，設(shè)其電荷面密度為σ，面積元的面積為ds=R2sinφdφdθ，所帶電荷量為dq=σds=σR2sinφdφdθ，它到P點(diǎn)的距離為r=

圖7 面積元為電荷元示意圖

面積元在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電勢為：

半薄球殼在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電勢為：

當(dāng)z≠0 時(shí)，被積函數(shù)分子、分母同乘以2z得：

當(dāng)z=0時(shí)，將之代入式(13)可得半薄球殼球心處的電勢為：

如圖8 所示建立球坐標(biāo)系，半薄球殼的半徑為r，厚度為dr，P點(diǎn)到半球體球心的距離為z.

圖8 半薄球殼為電荷元示意圖

半球體在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電勢為：

當(dāng)z>0 時(shí)，

當(dāng)z< -R時(shí)，

當(dāng)-R≤z<0 時(shí)，

當(dāng)z=0時(shí)，利用式(15)積分可得半球體球心處的電勢為：

4 結(jié)語

通過電荷元的幾種不同選取方法，給出微元法計(jì)算均勻帶電半球體軸線上的電勢，得到相同的結(jié)果.方法一直接在半球體中選取體積元為電荷元，計(jì)算三重積分求出其軸線上的電勢；方法二分別選取面積元和薄圓盤為電荷元，先在薄圓盤中選取面積元為電荷元，計(jì)算二重積分求出薄圓盤軸線上的電勢，然后將薄圓盤近似為電荷元，半球體看作半徑不同的同軸薄圓盤疊加而成，積分可得其軸線上的電勢；方法三分別選取面積元和半薄球殼為電荷元，先在半薄球殼中選取面積元為電荷元，計(jì)算二重積分求出半薄球殼軸線上的電勢，然后將半薄球殼近似為電荷元，半球體看作半徑不同的同軸半薄球殼疊加而成，積分可得其軸線上的電勢.比較上述幾種求解過程可以得出，方法一物理模型的建立最為簡單，但是積分運(yùn)算最為困難；方法二和方法三物理模型的建立難度相當(dāng)，方法二積分運(yùn)算比方法三更為簡單；綜合來看，方法二物理模型的建立及積分運(yùn)算難易相對適中。對上述微元法計(jì)算均勻帶電半球體軸線上的電勢中的電荷元的幾種不同選取方法作對比分析表明，恰當(dāng)選取微元，是應(yīng)用微元法計(jì)算電勢的關(guān)鍵，微元的選取是靈活多樣的，根據(jù)電荷分布有體積元、面積元和線段元，應(yīng)根據(jù)具體問題選取特定形狀的微元.