程 皓 郭增偉 向中富

（重慶交通大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶400074）

0 引 言

20世紀(jì)60年代，德國在戰(zhàn)后重建過程中利用掛籃成功實(shí)現(xiàn)了混凝土梁橋的無支架平衡懸臂澆筑施工，這種方法一般將混凝土梁體劃分成2.0～5.0 m 一個節(jié)段，以掛籃作為現(xiàn)澆混凝土梁段的臨時支撐結(jié)構(gòu)。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，懸臂澆筑用掛籃已逐漸成為定型的系列產(chǎn)品并成熟應(yīng)用于各類懸臂澆筑梁橋的施工中［1］。我國城市化的進(jìn)程造成了城市交通量的迅猛增加，城市新建橋梁的寬度也越來越大，如幾江大橋橋面總寬34 m［2］、超級工程港珠澳大橋?qū)?3.1 m［3］、郭家沱長江大橋上層橋?qū)掃_(dá)39 m［4］?；炷料淞簶?qū)挾鹊脑黾颖厝粚?dǎo)致懸臂澆筑用的掛籃寬度、承載能力的增加，傳統(tǒng)的、成熟的定型掛籃可能無法滿足超寬箱梁的現(xiàn)澆施工，超寬、超大承載力掛籃的研制也逐漸成為城市梁橋懸臂澆筑施工中必須要面對和解決的關(guān)鍵問題之一。

目前國內(nèi)對于寬幅橋的掛籃優(yōu)化設(shè)計(jì)已開展了一些研究和工程實(shí)踐，張洪斌［5］指出目前掛籃的強(qiáng)度設(shè)計(jì)偏于保守，掛籃設(shè)計(jì)優(yōu)化空間較大；吳月星［6］對掛籃后錨桿件的數(shù)目和位置進(jìn)行了優(yōu)化，使掛籃的經(jīng)濟(jì)性更好并且拱圈節(jié)段受力更均勻；龍兵［7］為了平衡橋面橫坡的高差，將三角掛籃改造為異形掛籃，并對斜桿與水平方向的夾角、上下橫梁的設(shè)計(jì)進(jìn)行了優(yōu)化，較好地解決了寬箱梁下橫梁撓度過大的問題；張建國［8］對掛籃分系統(tǒng)、分構(gòu)件、分工況進(jìn)行優(yōu)化分析使各構(gòu)件滿足受力要求，設(shè)計(jì)了上橫梁的“馬鞍”結(jié)構(gòu)，有效地降低了主桁架高度并節(jié)約了成本；肖向榮［9］為改善前支點(diǎn)掛籃局部受力，提出了接長桿體內(nèi)軌道式滑軌、錨固型止推器、倒三角繞軸旋轉(zhuǎn)反頂輪等新構(gòu)造。目前掛籃優(yōu)化分析的方法大多依托某一實(shí)際工程，對掛籃的某一項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行單獨(dú)分析，或是對掛籃某幾個部分進(jìn)行特殊設(shè)計(jì)以達(dá)到優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的，研究結(jié)果的個性、針對性太強(qiáng)，且主要集中在掛籃的安全性驗(yàn)算上，沒有考慮掛籃主桁的安全性與經(jīng)濟(jì)性之間的博弈，另外關(guān)于掛籃主桁架最主要的幾個設(shè)計(jì)參數(shù)（立柱高、構(gòu)件截面形式）之間的取值與組合問題的研究成果也相對較少。

本文以三角掛籃為對象，以掛籃最大變形和最大應(yīng)力需滿足JTGT-F50—2011《公路橋涵施工技術(shù)規(guī)范》［10］要求為約束條件，以掛籃用鋼量為目標(biāo)函數(shù)建立三角掛籃的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，在保證掛籃受力性能滿足規(guī)范要求的前提下提高了主桁架的經(jīng)濟(jì)性，為三角掛籃的設(shè)計(jì)及優(yōu)化提供了數(shù)學(xué)建模的方法，以重慶高家花園大橋復(fù)線橋?yàn)楣こ瘫尘埃褂眠z傳算法求解了懸臂澆筑用掛籃的設(shè)計(jì)參數(shù)，并通過Midas/civil 的數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了模型的正確性。

1 三角掛籃及其設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化模型

1.1 三角掛籃結(jié)構(gòu)及傳力路徑介紹

三角掛籃主要由如圖1 所示的承重系統(tǒng)（三角主桁）、錨固系統(tǒng)（后錨梁、下錨梁）、懸吊系統(tǒng)（吊帶）、行走系統(tǒng)（軌道、內(nèi)外滑梁）、模板系統(tǒng)及作業(yè)平臺等幾部分組成。新澆筑、還未形成強(qiáng)度的混凝土箱體重量依次經(jīng)下縱梁、下橫梁、鋼吊帶傳至三角主桁，并通過掛籃的前、后支點(diǎn)將荷載最終傳遞給已澆梁段。下縱梁、下橫梁均勻地分散在掛籃下部，主要起到分散荷載的作用，工作應(yīng)力相對較小也不會顯著影響掛籃的整體剛度，而三角主桁和鋼吊帶工作應(yīng)力水平較高，對掛籃整體剛度的影響較大。

圖1 三角掛籃示意圖Fig.1 Diagram of triangle form traveler

式中：L 為最不利工況箱梁的節(jié)段長；G 為最不利工況箱梁的重量；H 為立柱高度；Hs為前吊帶的長度（由最不利工況箱梁的高度確定）；Lg為主縱梁長度；l為主縱梁和斜拉帶交點(diǎn)與后上橫梁之間的水平距離；Δl 為主縱梁和斜拉帶前交點(diǎn)與前上橫梁之間的水平距離；ΔL為掛籃下支點(diǎn)與箱梁后端之間的水平距離。

1.2 掛籃設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化模型

為保證掛籃結(jié)構(gòu)的安全性和良好的使用性能，CJJ/T 281—2018《橋梁懸臂澆筑施工技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》［11］要求掛籃結(jié)構(gòu)的整體變形不超過20 mm，Q235b鋼材制作的主桁架結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力不得超過190 MPa，鋼吊帶要滿足2 倍安全系數(shù)。主桁、吊帶的數(shù)量和截面尺寸的增加會減小掛籃的工作應(yīng)力和變形，提高掛籃結(jié)構(gòu)的安全性，但這必然導(dǎo)致掛籃用鋼量的增加，掛籃制造費(fèi)和措施費(fèi)也將顯著增加。如何在保證結(jié)構(gòu)安全的前提下盡量減小用鋼量以節(jié)省掛籃制造費(fèi)成為掛籃設(shè)計(jì)過程必須解決的主要矛盾。

考慮到主桁高度、主桁和吊帶截面尺寸是影響掛籃安全性和使用性能的主要因素，建立掛籃參數(shù)優(yōu)化模型時，假定掛籃各榀主桁架構(gòu)造參數(shù)完全相同，并選取主桁架立柱的高度H、截面積Ac、縱梁截面積Ag、斜拉帶截面積Ar和吊帶總截面面積As為待優(yōu)化參數(shù)，定義掛籃用鋼量Sc為目標(biāo)函數(shù)：

式中：n 為主桁架榀數(shù)（由箱梁腹板的位置和數(shù)目確定）；ρ為Q235b鋼的密度。

為保證掛籃結(jié)構(gòu)的安全，需要限制掛籃的工作應(yīng)力和變形，參考CJJ/T 281—2018《橋梁懸臂澆筑施工技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》中的規(guī)定，設(shè)置主桁最大應(yīng)力值σmax≤190 MPa、PSB830 精軋螺紋鋼吊帶應(yīng)力值σs≤415 MPa、掛籃總變形Δ≤20 mm 三項(xiàng)約束條件。另外，為了確保掛籃受壓構(gòu)件的穩(wěn)定性，參考《結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論》［12］，設(shè)置軸心受壓構(gòu)件立柱的軸力值Nc≤Pcr。同時根據(jù)工程實(shí)際需求，精軋螺紋鋼的公稱直徑取值范圍為18～50 mm，可以據(jù)此限制As的取值范圍。

式中：Nc、Ng、Ns分別為主桁立柱、縱梁和吊帶軸向力；Wg為主縱梁抗彎截面系數(shù)；Pcr為立柱的歐拉臨界力；Δt為主桁變形量；ns為前吊帶根數(shù)（由箱梁寬度確定）；φmin為精軋螺紋鋼的最小公稱直徑0.018 m；φmax為精軋螺紋鋼的最大公稱直徑0.050 m。

1.3 掛籃設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化模型中參數(shù)求解

掛籃設(shè)計(jì)參數(shù)的優(yōu)化求解首先需要將優(yōu)化模型的約束條件表達(dá)為待優(yōu)化參數(shù)的函數(shù)，參照圖1 的三角掛籃結(jié)構(gòu)，把梁段自重簡化為作用于梁段質(zhì)心的集中荷載G，按照杠桿原理可以計(jì)算出前吊帶的總軸力Ns，假設(shè)三角掛籃各榀主桁架均勻分擔(dān)梁段自重，則前吊帶傳遞至單榀主桁架的豎向力為

求得吊帶傳遞給單榀主桁架的豎向力后，三角掛籃主桁架的受力模型即轉(zhuǎn)化為如圖2（a）所示的一次超靜定平面桿系結(jié)構(gòu)，使用如圖2（b）所示的基本結(jié)構(gòu)，利用變形協(xié)調(diào)條件建立主桁架斜拉桿的力法方程，求解后即可得到斜拉桿ad 的軸力Nr：

式中，Ig為掛籃主縱梁截面慣性矩；θ=arctan(l H)。

當(dāng)Nr的豎向分量小于F 時，縱梁最大彎矩位于主縱梁與立柱的交界位置，大小為F（l+Δl）-Nrlcosθ。反之，主縱梁最大彎矩值在主縱梁與右斜拉帶的交界位置，大小為FΔl。三角掛籃結(jié)構(gòu)的截面形式多采用方管和雙拼槽鋼，可以將雙拼槽鋼簡化為方鋼管并假定方鋼管壁厚為其邊長b的η 倍，則通過截面特性的推導(dǎo)可以將方鋼管的抗彎截面系數(shù)W、慣性矩I 表示為截面積A 的函數(shù)：

根據(jù)《結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論》，軸心受壓桿件的歐拉臨界力可由式Pcr計(jì)算。μ 為桿件有效長度系數(shù)，其值由軸心受壓桿件的邊界支承條件確定。而三角掛籃的立柱可視為兩端鉸接的軸心受壓桿件，對應(yīng)的μ 值為1.0，故立柱的歐拉臨界力為

式中，Ic為立柱的截面慣性矩，其值由式（9）求得。

立柱最大應(yīng)力值為

掛籃的整體形變值直接影響混凝土澆筑后箱梁高程位置，是控制懸臂施工質(zhì)量的一項(xiàng)重要參數(shù)。掛籃的變形主要由吊帶和主桁兩部分的變形組成，吊帶變形可以使用吊帶軸力方便獲得，主桁最大變形值可以將圖2 中的F 替換為單位荷載并基于虛位移原理計(jì)算獲得，最終將兩部分變形疊加即可得到三角掛籃整體最大形變：

2 數(shù)學(xué)模型正確性驗(yàn)證

為檢驗(yàn)掛籃設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的正確性，選用重慶高家花園大橋復(fù)線橋的平衡懸臂施工中的三角掛籃為對象。高家花園大橋復(fù)線橋?yàn)榭鐝剑?40+240+140）m 的三跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)剛構(gòu)橋，主梁采用單箱雙室截面，箱梁頂板寬25 m，底寬16 m，兩側(cè)翼緣板懸臂長4.5 m，懸臂板端部厚20 cm，根部厚70 cm，箱室內(nèi)頂板厚0.32 m，底板厚度由箱梁根部的1.5 m變化至跨中0.32 m。

懸臂澆筑施工時單箱雙室箱梁使用掛籃一次整體澆注成箱，由于截面寬度達(dá)到25 m，長度L為2.5 m 的1 號塊重量達(dá)到484.6 t，傳統(tǒng)掛籃難以滿足施工要求，需要單獨(dú)設(shè)計(jì)掛籃主桁結(jié)構(gòu)。參考以往三角掛籃的相關(guān)參數(shù)，主桁架初步選擇由3榀桁架組成，主桁高度取為4.4 m，長度Lg=12.2 m的主縱梁選用雙拼I63b 工字鋼（Ag=0.040 m2），立柱、斜拉帶選用雙拼C40a 槽鋼（Ac=Ar=0.021 m2），前吊帶采用8 根直徑32 mm 的精軋螺紋鋼作為中間吊帶、120 mm×30 mm 的鋼板作為兩邊吊帶（前吊帶總截面面積Ns=0.013 6 m2），主桁架與前吊帶的總用鋼量為22.15 t。三角掛籃的布置見圖3。

圖2 主桁架簡化模型和基本體系Fig.2 Simplified model and basic system of primary truss

圖3 三角掛籃總體布置圖（單位：m）Fig.3 Overall layout of triangle form traveler（Unit：m）

依照上述參數(shù)使用Midas/civil 建立如圖4 所示的有限元模型，主桁架縱梁、立柱、斜拉帶、吊帶、下滑梁、縱梁和下橫梁均使用梁單元模擬，但立柱、斜拉帶、吊帶需要釋放梁端轉(zhuǎn)動約束，基于條分法將梁段自重等效為梁單元均布荷載并施加于滑梁和下縱梁上，上橫梁與主縱梁之間設(shè)置為彈性連接的剛性連接約束，掛籃后錨點(diǎn)和下錨點(diǎn)設(shè)置為固定約束。

使用式（11）-式（16）計(jì)算掛籃主縱梁、立柱、斜拉帶應(yīng)力、立柱歐拉臨界力和掛籃總體變形，計(jì)算結(jié)果如表1 所示，作為對比，表1 還給出了Midas/Civil 有限元計(jì)算結(jié)果，結(jié)果顯示立柱的軸力不到歐拉臨界力的3%，受壓構(gòu)件不會有失穩(wěn)的風(fēng)險(xiǎn)；總體而言，數(shù)學(xué)優(yōu)化模型的計(jì)算值與有限元計(jì)算結(jié)果吻合良好但并不完全一致，造成兩種模型計(jì)算結(jié)果差異的原因可能是由于數(shù)學(xué)模型沒有考慮掛籃主桁架自重。實(shí)際工程中三角掛籃主桁工作應(yīng)力一般較小，掛籃整體變形和傾覆穩(wěn)定是掛籃結(jié)構(gòu)的控制荷載工況，基于數(shù)學(xué)簡化模型得到的掛籃整體變形值更大、更保守，因此使用數(shù)學(xué)簡化模型對掛籃設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化分析是合適的。

圖4 三角掛籃midas模型Fig.4 Midas model of triangular form traveler

表1 不同方式計(jì)算結(jié)果對比Table 1 The comparison of results in different computing ways

3 掛籃設(shè)計(jì)參數(shù)的優(yōu)化求解

以高家花園復(fù)線橋懸臂澆筑施工中使用的三角掛籃為優(yōu)化對象，使用遺傳算法實(shí)現(xiàn)掛籃設(shè)計(jì)參數(shù)的優(yōu)化求解。遺傳算法需要首先生成種群，本例設(shè)置種群數(shù)為300，遺傳算法主要有“選擇”“交叉”“變異”3 種基本操作［13］，“選擇”是通過定義“適應(yīng)度函數(shù)”（適應(yīng)度值越小越好）來篩選種群中優(yōu)良的個體，使它們有機(jī)會作為父代為下一代繁衍子孫，本文優(yōu)化目的要求用鋼量越少越好，故將目標(biāo)函數(shù)用鋼量Sc設(shè)置為適應(yīng)度函數(shù)，設(shè)置應(yīng)力σmax≤190 MPa、σs≤415 MPa、整體最大形變值Δ≤20 mm、0.025 m2≤AS≤0.019 6 m2為非線性約束條件；“交叉”可以使種群得到新一代的個體，對每一個個體以交叉概率（crossover rate）來交換它們之間的部分染色體，體現(xiàn)著信息的交換［14］，本例設(shè)置交叉概率為0.92；“變異”則在種群中隨機(jī)篩選一個個體，并以“變異概率”（mutation rate）使個體變異為新的個體，使遺傳算法更具有有效性［15］，本例設(shè)置變異概率為0.05。經(jīng)過600 代的迭代后，掛籃用鋼量趨于穩(wěn)定的14.62 t（圖5），相比于初步設(shè)計(jì)的22.15 t，用鋼量減少了34%。

600 次迭代后遺傳算法給出的掛籃優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)為H=4.73 m、Ag=0.015 7 m2、Ac=0.021 2 m2、Ar=0.016 3 m2、As=0.019 6 m2，依據(jù)此理論優(yōu)化參數(shù)，主縱梁選用400 m×400 mm×11 mm 方鋼管（Ag=0.017 1 m2），立柱選用400 mm×400 mm×14 mm 方鋼管（Ac=0.021 6 m2）、斜拉帶選用400 m×400 mm×11 mm方鋼管（Ar=0.017 1 m2），吊帶選用10根直徑50 mm的精軋螺紋鋼（總截面面積Ns為0.019 6 m2），此時主桁架和前吊帶的用鋼量共15.0 t。為更好地對比設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化前后掛籃各構(gòu)件的內(nèi)力效應(yīng)，表2 給出了使用遺傳算法優(yōu)化前、后掛籃各構(gòu)件的應(yīng)力、立柱歐拉臨界力和整體變形。從中不難發(fā)現(xiàn)：參數(shù)優(yōu)化后掛籃總用鋼量減少32%，前吊帶和主縱梁應(yīng)力雖有明顯增大，但均能滿足規(guī)范要求，掛籃整體變形、立柱和斜拉帶應(yīng)力增幅并不明顯；立柱軸力依然不到歐拉臨界力的3%，結(jié)構(gòu)優(yōu)化不會帶來受壓構(gòu)件失穩(wěn)的不良影響；立柱和斜拉帶的材料強(qiáng)度利用率僅有30%左右，但掛籃整體變形已接近規(guī)范容許限值，可見三角掛籃變形是控制設(shè)計(jì)的主要技術(shù)指標(biāo)。

圖5 迭代次數(shù)-目標(biāo)函數(shù)值圖Fig 5 Diagram of Generation-Fitness falue

表2 優(yōu)化前后計(jì)算結(jié)果Table 2 Computing results before and after optimization

遺傳算法給出的最優(yōu)前吊帶面積已接近優(yōu)化模型的最大限值，前吊帶面積的進(jìn)一步增加有可能還會降低掛籃整體變形或者用鋼量，為此通過調(diào)整前吊帶總面積As的最大限值，并使用遺傳算法重新分析不同限值條件下掛籃用鋼量及其最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)。

為說明前吊帶面積的最大限值對掛籃力學(xué)性能和經(jīng)濟(jì)性能的影響，圖6（a）指出，在一定程度下，最優(yōu)解As的取值與As限值同步增長并且最大形變值都處于逼近限值的狀態(tài)；圖6（b）給出了不同限值條件下掛籃各構(gòu)件強(qiáng)度利用率和用鋼量，從中可以看出：隨著前吊帶總截面積的增大，掛籃各構(gòu)件強(qiáng)度利用率將有所提高，而總體用鋼量則隨之減小，這表明使用總截面面積大的前吊帶經(jīng)濟(jì)性更高，但由于受到單根精軋螺紋鋼截面積的限制，要增大As就需要設(shè)計(jì)更多數(shù)目的吊帶，這無疑會大大增加施工的繁瑣性和難度。故建議前吊帶的邊吊帶采用鋼板制作的鋼吊帶來增大前吊帶的總截面面積以達(dá)到節(jié)省用鋼量和發(fā)揮主桁架材料性能的目的。

4 結(jié) 論

（1）使用本文數(shù)學(xué)優(yōu)化模型可以方便、準(zhǔn)確、高效地求解掛籃結(jié)構(gòu)的力學(xué)效應(yīng)，也可以利用本文公式實(shí)現(xiàn)掛籃力學(xué)效應(yīng)的快速計(jì)算，或在滿足規(guī)范要求的前提下完成掛籃構(gòu)件截面尺寸的初步擬定。

圖6 As限值-主桁架受力性能圖Fig.6 Diagrams of As limiting value-mechanical behavior of primary truss

（2）掛籃整體變形是控制掛籃設(shè)計(jì)的最主要因素，且前吊帶剛度對掛籃整體變形影響顯著，在不增加施工難度的前提下使用鋼板或開孔鋼板制作前吊帶，可以減少主桁架的用鋼量并最大限度地降低掛籃整體變形。

（3）三角掛籃優(yōu)化前后受壓構(gòu)件的軸力皆不足其歐拉臨界力的3%，構(gòu)件不會失穩(wěn)；三角掛籃的設(shè)計(jì)驗(yàn)算中，掛籃的整體穩(wěn)定性是需要考慮的重要因素，本文對這一方面的研究還有所欠缺，需要更進(jìn)一步地研究。