高曉元，王鐵，管思宇，楊珺雅，朱愛東*

(1.延邊大學(xué) 理學(xué)院，吉林 延吉 133002；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引言

腔光力學(xué)系統(tǒng)不僅能為研究物理系統(tǒng)的宏觀量子行為提供合適的平臺(tái)，而且在宏觀量子糾纏[1-2]、態(tài)轉(zhuǎn)移[3]、量子信息處理[4-6]、光存儲(chǔ)等方面具有潛在的應(yīng)用價(jià)值;因此，近年來腔光力學(xué)系統(tǒng)受到學(xué)者們的關(guān)注.研究表明，在腔光力學(xué)系統(tǒng)中腔場(chǎng)和機(jī)械振子之間的輻射壓力是由光自身攜帶的能量作用于機(jī)械振子而產(chǎn)生的動(dòng)量變化引起的[7-8].由于機(jī)械振子在與光場(chǎng)相互作用過程中不可避免地會(huì)受到環(huán)境熱噪聲的影響，因此為了盡可能地抑制環(huán)境的熱漲落效應(yīng)，必須將機(jī)械振子冷卻到量子基態(tài)[9].目前，已有學(xué)者在實(shí)驗(yàn)上提出了多種冷卻機(jī)械振子的方案，如反饋冷卻[10]、電磁誘導(dǎo)透明冷卻[11]、邊帶冷卻[12]、時(shí)間控制冷卻以及反作用冷卻[13]等.上述方案大多是在可分辨邊帶機(jī)制下實(shí)現(xiàn)機(jī)械振子的基態(tài)冷卻，但在不可分辨邊帶機(jī)制下僅利用標(biāo)準(zhǔn)光力系統(tǒng)是難以實(shí)現(xiàn)基態(tài)冷卻的[14].為此，有學(xué)者在標(biāo)準(zhǔn)的光機(jī)械系統(tǒng)中引入了一些輔助系統(tǒng),如原子系綜[15]、四能級(jí)原子[16]和輔助腔[17]等，以此改變光學(xué)模和機(jī)械模之間的可控輻射壓力，找到抑制斯托克斯邊帶躍遷的最佳參數(shù)條件.與上述方案不同，本文在超導(dǎo)微波電路、光學(xué)腔和機(jī)械振子組成的三模系統(tǒng)中通過電力和光力的相互作用建立兩個(gè)冷卻通道，這種雙冷卻通道的協(xié)同效果可打破可分辨邊帶機(jī)制的限制，提高冷卻效率.

1 物理模型及哈密頓量

圖1為光力-電力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖，它由1個(gè)光學(xué)腔、1個(gè)微波腔和1個(gè)機(jī)械振子組成.機(jī)械振子的一端通過輻射壓力與光學(xué)腔耦合，另一端通過鍍有高反射膜的鼓型電容器與超導(dǎo)微波腔耦合；超導(dǎo)微波腔由共平面?zhèn)鬏斁€組成；用于驅(qū)動(dòng)光學(xué)腔的激光頻率為ωl，振幅為ε1；驅(qū)動(dòng)微波腔的激光頻率為ωD，振幅為ε2；光學(xué)腔和微波腔的本征頻率分別為ω1和ω2，機(jī)械振子的本征頻率為ωm.該系統(tǒng)的哈密頓可以寫成如下形式：

圖1 光電機(jī)械系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖

(1)

(2)

根據(jù)式(2)，式(1)可以改寫為

(3)

(4)

其中Δ1(Δ1=ω1-ωl)和Δ2(Δ2=ω2-ωD)分別是光學(xué)腔和微波腔與各自的驅(qū)動(dòng)激光之間的失諧量.考慮到阻尼和噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響，上述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化可以用如下非線性量子朗之萬(wàn)方程描述：

(5)

其中γm為機(jī)械振子的衰減率,κ1為光學(xué)腔的衰減率，κ2為微波腔的衰減率.以上3個(gè)模的噪聲算符bin、a1,in和a2,in滿足如下關(guān)聯(lián)關(guān)系：

(6)

其中N1和N2分別為光學(xué)腔和微波腔的熱聲子數(shù)，nm為機(jī)械振子環(huán)境下的熱激發(fā)數(shù).可假定N1?0，N2?0[18].

為了探討機(jī)械振子的冷卻機(jī)制，本文將算符表示為O=〈O〉+δO,其中O表示算符a1、a2和b,〈O〉表示算符O的經(jīng)典平均值，δO表示算符對(duì)應(yīng)的量子漲落.則線性化的哈密頓量可以表示為

(7)

(8)

其中ξ是調(diào)制振幅，ν是調(diào)制頻率.式(8)的計(jì)算方法與式(7)相同，且在強(qiáng)驅(qū)動(dòng)條件下忽略非線性項(xiàng)后可得到具有頻率調(diào)制的系統(tǒng)哈密頓量：

(9)

為了研究頻率調(diào)制對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響，用式

(10)

中的算符對(duì)哈密頓進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，其中T表示時(shí)序算符.變換后的哈密頓為

(11)

(12)

其中Jk(ξ)是第一類貝塞爾函數(shù)，k是整數(shù).值得注意的是，在上述計(jì)算過程中僅使用了一般的線性化方法，并未采用其他特殊的方法.在紅失諧條件(Δ′1=Δ′2=ωm)下,式(12)中的旋波項(xiàng)處于共振狀態(tài)，該狀態(tài)可以增強(qiáng)機(jī)械振子的冷卻；同時(shí)由于反旋波項(xiàng)存在失協(xié)量(Δ′i+ωm+kν)，耦合強(qiáng)度為G1Jk(ξ)和G2Jk(ξ)，因此可以通過選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)ν和ξ對(duì)反旋波項(xiàng)進(jìn)行獨(dú)立的調(diào)制.式(12)中的求和項(xiàng)對(duì)應(yīng)的是不同k值時(shí)的斯托克斯加熱過程.為了抑制這些斯托克斯加熱過程，應(yīng)盡可能地減小耦合強(qiáng)度與失協(xié)量的比值G1Jk(ξ)/(2ωm+kν)和G2Jk(ξ)/(2ωm+kν).對(duì)于給定的ν值，首先假設(shè)k=k0對(duì)應(yīng)于最接近共振條件的斯托克斯加熱峰，即在所有加熱邊帶中失諧量(2ωm+k0ν)是最小的；然后通過選擇足夠大的調(diào)制頻率ν,就可使對(duì)應(yīng)于k0±1，k0±2,…的斯托克斯加熱邊帶更加遠(yuǎn)離共振條件.根據(jù)貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)可知，總是可以選取一個(gè)調(diào)制振幅ξ滿足Jk0(ξ)=0 (ξ=2.404 8)，并且最接近共振條件的加熱峰也可以得到抑制.以上分析表明，本文方案通過調(diào)節(jié)ν和ξ即可實(shí)現(xiàn)對(duì)斯托克斯過程的有效抑制，而無頻率調(diào)制方案只有滿足條件G1?2ωm和G2?2ωm時(shí)才能抑制斯托克斯加熱過程.

2 利用協(xié)方差方法分析基態(tài)冷卻效率

根據(jù)線性哈密頓等式(9)可得系統(tǒng)算符的朗之萬(wàn)方程：

(13)

分別定義腔場(chǎng)和諧振子的正交算符：

(14)

再將以上算符對(duì)應(yīng)的噪聲算符定義為：

(15)

利用式(14)和式(15)中定義的算符可以將方程(13)寫成如下線性化的形式：

(16)

其中U是量子漲落算符的列矢量，N是噪聲算符的列矢量，Α(t)是漂移矩陣，并且

U=[δqb，δpb，δx1，δy1，δx2，δy2]Τ，

(17)

A(t)V(t)+V(t)AΤ(t)=-D，

(18)

其中與噪聲相關(guān)的擴(kuò)散矩陣為

機(jī)械振子的最終平均聲子數(shù)與方差的關(guān)系由下式確定：

(19)

圖2 平均聲子數(shù)隨時(shí)間的變化關(guān)系

根據(jù)式(19)即可以對(duì)機(jī)械振子的冷卻動(dòng)力學(xué)進(jìn)行數(shù)值分析.

為了驗(yàn)證在光力弱耦合和可分辨邊帶機(jī)制下，斯托克斯加熱過程能夠完全被抑制，本文模擬了平均聲子數(shù)的演化，結(jié)果如圖2所示.圖2中參數(shù)ξ=2.404 8，κ1=κ2=0.05ωm，γm=10-5ωm，ν=10ωm，nm=103.從圖2可見，不同耦合強(qiáng)度下諧振子的最終穩(wěn)態(tài)平均聲子數(shù)遠(yuǎn)低于標(biāo)準(zhǔn)的單腔光力學(xué)系統(tǒng)，這表明本文提出的方案可有效抑制斯托克斯的加熱過程.

機(jī)械振子的冷卻速率不僅與兩腔的衰減速率有關(guān)，還與光力耦合強(qiáng)度密切有關(guān).圖4為在紅邊帶機(jī)制下的耦合強(qiáng)度與平均聲子數(shù)的變化關(guān)系.圖4中κ1=κ2=3ωm，其他參數(shù)與圖3的參數(shù)相同.對(duì)比圖4(a)和圖4(b)可知，存在頻率調(diào)制時(shí)，未冷卻的區(qū)域呈逐漸減小趨勢(shì).在頻率調(diào)制的作用下，點(diǎn)(G1/ωm，G2/ωm)=(0.210 5，0.131 6)的最終平均聲子數(shù)由1.683下降到0.416 9，點(diǎn)(0.342 1,0.131 6)的平均聲子數(shù)由1.247下降到0.097 35.這表明系統(tǒng)存在頻率調(diào)制時(shí)，可通過改變兩個(gè)腔的耦合強(qiáng)度實(shí)現(xiàn)振子的基態(tài)冷卻.

圖3 平均聲子數(shù)與兩腔衰減之間的變化關(guān)系

圖4 耦合強(qiáng)度與平均聲子數(shù)的變化關(guān)系

3 異步調(diào)制冷卻

異步調(diào)制的哈密頓量為

(20)

其中ξi(i=1,2,3)和νi(i=1,2,3)分別為機(jī)械模、光學(xué)腔和微波腔的振幅和頻率.當(dāng)ξ1≠ξ2，ν1=ν2時(shí)，類似于式(12)的計(jì)算，相互作用哈密頓可改寫為

(21)

由公式(21)可以看出，當(dāng)選擇ξ3=ξ2，ξ0=(ξ2+ξ1)/2=2.404 8時(shí)，不僅可以有效抑制近共振加熱過程，還能增強(qiáng)機(jī)械振子的冷卻作用.圖5為異步調(diào)制下的平均聲子數(shù)的演化圖.圖5中所取的參數(shù)為ξ1=2ξ0-ξ2，ξ1=2ξ0-ξ3，ξ0=2.404 8，G1=G2=0.1ωm，Δ′1=Δ′2=ωm，κ1=κ2=7.5ωm，γm=10-5ωm，nm=103.由圖5可明顯看出，對(duì)3個(gè)模應(yīng)用不同的調(diào)制參數(shù)也能夠提高冷卻效率，其中最佳的冷卻效果是通過具有相同振幅的同步調(diào)制實(shí)現(xiàn)的.由圖5的數(shù)值模擬結(jié)果也可以看出，本文方案在不可分辨邊帶機(jī)制下可實(shí)現(xiàn)基態(tài)冷卻.

圖5 異步調(diào)制與平均聲子數(shù)的變化關(guān)系

4 結(jié)論

本文基于電機(jī)械耦合和光機(jī)械耦合的雙冷卻通道和頻率調(diào)制提出的機(jī)械振子的冷卻方案，不僅能有效消除斯托克斯加熱過程，大大增強(qiáng)系統(tǒng)的冷卻效應(yīng)，而且還能顯著降低系統(tǒng)的平均聲子數(shù).數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：雙冷卻通道的協(xié)同冷卻可以打破分辨邊帶機(jī)制的限制，與傳統(tǒng)的單腔光力系統(tǒng)相比，不僅放寬了實(shí)驗(yàn)的實(shí)現(xiàn)條件，而且更容易實(shí)現(xiàn)機(jī)械振子的冷卻.本文得到的結(jié)果可以為相關(guān)的腔光力學(xué)研究提供理論參考.