劉 瑩,孫建強(qiáng)

(海南大學(xué) 理學(xué)院,海南 海口 570228)

近年來越來越多的學(xué)者發(fā)現(xiàn)許多重要的動力學(xué)問題都表現(xiàn)出分?jǐn)?shù)階的行為,這些行為可能隨空間和時(shí)間的變化而變化。這說明變階微積分為復(fù)雜動力學(xué)問題的描述提供了一個有效的數(shù)學(xué)框架[1]。Riesz空間分?jǐn)?shù)階非線性sine-Gordon方程已成為現(xiàn)代非線性波動理論的基本方程之一,廣泛存在于物理學(xué)的不同領(lǐng)域,如約瑟夫森結(jié)理論、場理論、晶格理論等[2-3]。一般來說,分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解是不易得到的,研究高效可靠的數(shù)值方法非常重要。近年來,對于Riesz空間分?jǐn)?shù)階非線性sine-Gordon方程數(shù)值方法主要有變分迭代法、差分法和譜方法[4-6]。分?jǐn)?shù)階非線性微分方程一般具有能量守恒特性,保能量算法在數(shù)值求解分?jǐn)?shù)階非線性微分方程中具有越來越重要的意義[7-8]?？紤]分?jǐn)?shù)階非線性sine-Gordon方程：

(1)

在這里,本研究利用四階平均向量場方法結(jié)合傅里葉擬譜方法構(gòu)造Riesz空間分?jǐn)?shù)階非線性sine-Gordon方程(1)的一種新的高階保能量格式[8,15]。具體地，首先利用傅里葉擬譜方法對Riesz空間分?jǐn)?shù)階sine-Gordon方程(1)進(jìn)行空間離散近似,得到有限維的哈密爾頓系統(tǒng),再利用四階平均向量場方法和Boole離散線積分法離散哈密爾頓系統(tǒng)[16-17]。最后將構(gòu)造的新格式對Riesz空間分?jǐn)?shù)階非線性sine-Gordon方程在不同初值條件下進(jìn)行數(shù)值模擬,對新格式數(shù)值解的行為進(jìn)行分析,最后得出結(jié)論。

1 傅里葉擬譜方法對Riesz空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的離散

1.1 Riesz空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

定義1當(dāng)n-1<α

(2)

其中Γ(·)為伽馬函數(shù)。

引理1x在無限區(qū)間(-∞，∞)上,對于函數(shù)u(x),有下列等式成立[13]：

(3)

其中n-1<α

1.2 傅里葉擬譜方法對Riesz空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的離散

x在無限區(qū)間(-∞，∞)上,分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子可以被定義[8]為：

(4)

其中F和F-1分別表示u(x,t)的傅里葉變換和傅里葉逆變換。因此,有

(5)

另一方面,在具有周期邊界條件的有界區(qū)間Ω=(a,b)上,由傅里葉級數(shù)定義為：

(6)

(7)

則由式(6)和式(7)可得

(8)

(9)

2 Riesz空間分?jǐn)?shù)階非線性sine-Gordon方程的新的保能量格式

令v(x,t)=ut(x,t),則式(1)等價(jià)于：

ut(x,t)=v(x,t),

(10)

(11)

在空間方向上,利用傅里葉擬譜方法對方程(10)和(11)進(jìn)行離散,則有：

(12)

(13)

其中j=0,…,N-1,等式(12)和(13)可表示為半離散哈密爾頓系統(tǒng)形式：

(14)

其中Z=(uT,vT)T,v=(v0,v1…,vN-1)T,I是N×N單位矩陣,方程(1)的能量函數(shù)相應(yīng)的離散哈密爾頓能量函數(shù)為：

(15)

對于有限維哈密爾頓系統(tǒng)(14),Quispel和McLachlan提出了在時(shí)間方向上具有四階精度的高階平均向量場方法[15]。在時(shí)間方向上對有限維哈密爾頓系統(tǒng)利用四階平均向量場方法進(jìn)行離散,可以得到Riesz空間分?jǐn)?shù)階非線性sine-Gordon方程的高階保能量格式：

(16)

但是對于格式(16)右端的三角函數(shù)sinu,相應(yīng)的積分函數(shù)為：

(17)

式(17)中除法的分子和分母都接近于零,為便于計(jì)算積分項(xiàng),將基于平均向量場方法的Boole離散線積分方法[16]應(yīng)用于格式(16),構(gòu)造出方程(1)的新的保能量格式。假設(shè)連接zn和zn+1的最簡單路徑為：

σ(ξτ)=ξzn+1+(1-ξ)zn,ξ∈[0,1]。

對式(16)右端的積分項(xiàng)進(jìn)行Boole離散積分,則有：

(18)

(19)

式(19)可以表示為矩陣向量形式:

(20)

式(20)可以改寫為:

(21)

(22)

定理1式(16)精確保持哈密爾頓系統(tǒng)能量守恒[15]

H(zn+1)=H(zn)。

(23)

(24)

(25)

由(25)可知格式(16)具有能量守恒特性。

由于計(jì)算機(jī)不能精確計(jì)算式(16)的積分項(xiàng),積分項(xiàng)高精度離散后得到的式(19)與式(16)比較具有5階精度,產(chǎn)生的能量誤差很少,可以忽略不計(jì)。

3 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證理論分析,利用高階平均向量場方法結(jié)合Boole離散線積分方法所得到的新的保能量格式(20)對Riesz空間分?jǐn)?shù)階非線性sine-Gordon方程(1)進(jìn)行數(shù)值模擬。定義相對能量誤差為:

(26)

3.1 數(shù)值模擬1

考慮Riesz空間分?jǐn)?shù)階非線性sine-Gordon方程在I=[-20,20]和長度T=60的時(shí)間周期上。取初始條件

(27)

其中(x,t)∈I×[0,T],取空間步長h=0.5,時(shí)間步長τ=0.03,α=1.9。

圖1是方程孤立波在α=1.9和t∈[0,60]內(nèi)相互作用的圖形。結(jié)果表明,存在類似呼吸子的解,即在空間上是局部的，在時(shí)間上是周期性的。運(yùn)算結(jié)果與文獻(xiàn)[7]一致,可以正確地?cái)?shù)值模擬方程的解。從圖2可以看出方程的相對能量誤差隨時(shí)間的變化,誤差僅為10-14,達(dá)到了機(jī)器精度,新格式保持了方程的能量守恒。

圖1 孤立波在t∈[0,60]的數(shù)值解Fig.1 Numerical solutions of solitary wave when t∈[0,60]

圖2 孤立波在t∈[0,60]的相對能量誤差Fig.2 Relative energy error of solitary wave when t∈[0,60]

3.2 數(shù)值模擬2

考慮Riesz空間分?jǐn)?shù)階非線性sine-Gordon方程在I=[-20,20]和長度T=1的時(shí)間周期上。取初始條件

(28)

其中(x,t)∈I×[0,T],取空間步長h=0.5,時(shí)間步長τ=0.001,α=1.75。

圖3是方程孤立波在α=1.75和t∈[0,1]內(nèi)相互作用的圖形。從圖3可以看出方程數(shù)值解的波形非常的光滑,運(yùn)算結(jié)果與文獻(xiàn)[10]一致,同樣可以對方程的解進(jìn)行數(shù)值模擬。從圖4可以看出相對能量誤差隨時(shí)間的變化,誤差僅為10-15,同樣達(dá)到了機(jī)器精度,同樣可以看出新格式保持了方程的能量守恒。

圖3 孤立波在t∈[0,1]的數(shù)值解Fig.3 Numerical solutions to solitary wave when t∈[0,1]

圖4 孤立波在t∈[0,1]的相對能量誤差Fig.4 Relative energy errors of solitary wave when t∈[0,1]

4 結(jié)論

利用傅里葉擬譜方法對Riesz空間分?jǐn)?shù)階非線性sine-Gordon方程在空間上離散,并利用Boole離散線積分法對高階平均向量場方法中的積分項(xiàng)進(jìn)行數(shù)值離散,得到方程的一個新的保能量格式,再利用新的保能量格式對方程在不同初始條件下進(jìn)行數(shù)值模擬。數(shù)值結(jié)果表明，新格式能很好地模擬Riesz空間分?jǐn)?shù)階非線性sine-Gordon方程的行為,并精確地保持了方程的離散能量守恒特性。在數(shù)值模擬Riesz空間分?jǐn)?shù)階非線性sine-Gordon方程時(shí)，新格式比以往的格式在方程的保能量守恒特性方面具有優(yōu)越性。