陳 亮

(黃山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 黃山245041)

1 前 言

早期，人們對(duì)人口流動(dòng)研究采用確定性模型和隨機(jī)模型，而不考慮要素之間的相互作用。這些模型提出了一個(gè)理想的均質(zhì)概念,即所有元素具有相同的變化率[1]。由于統(tǒng)一的混合假設(shè)，經(jīng)典的確定性模型不能客觀反映疾病的真實(shí)傳播機(jī)制。實(shí)際上，異質(zhì)性結(jié)構(gòu)和空間效應(yīng)對(duì)疾病的傳播具有更直接的影響，因此，許多類(lèi)型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)已被直接用來(lái)模仿社會(huì)結(jié)構(gòu)來(lái)研究疾病的傳播。

任何網(wǎng)絡(luò)的頂點(diǎn)都代表個(gè)體，邊緣代表它們之間的連接，疾病通過(guò)邊緣直接從感染性個(gè)體傳播到未感染性個(gè)體。近年來(lái)，研究者已經(jīng)提出了幾種類(lèi)型的計(jì)算機(jī)生成的理想化網(wǎng)絡(luò)來(lái)研究疾病傳播的模式，可以通過(guò)檢查頂點(diǎn)的連接方式和頂點(diǎn)在空間中的分布方式來(lái)區(qū)分網(wǎng)絡(luò)的類(lèi)型。

通常地，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，格子網(wǎng)絡(luò)，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，小世界網(wǎng)絡(luò)和空間網(wǎng)絡(luò)被用于疾病傳播的研究[2]。在許多實(shí)際仿真中使用的最簡(jiǎn)單的網(wǎng)絡(luò)是隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，其頂點(diǎn)的空間位置無(wú)關(guān)緊要，并且每個(gè)個(gè)體都以一定的概率連接到固定數(shù)量的隨機(jī)頂點(diǎn)或任何其他節(jié)點(diǎn)[3]。在格子網(wǎng)絡(luò)中，頂點(diǎn)位于點(diǎn)的規(guī)則網(wǎng)格上，即每個(gè)頂點(diǎn)有4 個(gè)鄰居，網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)之間的接觸因此位于空間中[4]。需要注意的是，由于許多遠(yuǎn)程鏈接，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)具有短路徑長(zhǎng)度，但是聚類(lèi)較低；而格子網(wǎng)絡(luò)具有較高的聚類(lèi)度和較長(zhǎng)路徑長(zhǎng)度，即從一個(gè)節(jié)點(diǎn)跳到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)需要很多步驟[5]。

無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)具有近似于泊松的分布，可以模仿社交網(wǎng)絡(luò)的自然特征的連接機(jī)制將一個(gè)新節(jié)點(diǎn)一個(gè)接一個(gè)地添加到網(wǎng)絡(luò)中來(lái)動(dòng)態(tài)構(gòu)建[6]。新個(gè)人優(yōu)先連接到已經(jīng)有大量聯(lián)系的其他個(gè)人，即形成超級(jí)傳播者，這些超級(jí)傳播者在疾病傳播中起著舉足輕重的作用。在小世界網(wǎng)絡(luò)中，個(gè)人都是通過(guò)熟人聯(lián)系在一起的,小世界概念意味著大多數(shù)個(gè)人可以通過(guò)少量連接彼此聯(lián)系，而大多數(shù)個(gè)人則通過(guò)至少一條短路徑相互連接[7]。網(wǎng)絡(luò)的聚類(lèi)度較高，而平均最短路徑長(zhǎng)度較低。具有遠(yuǎn)程連接的網(wǎng)絡(luò)能夠引起感染，從而較快地感染所有個(gè)體。在空間網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)和邊被嵌入到空間中，在該空間中，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的連接概率取決于其距離[8]。該疾病如何在人群中傳播，以及如何研究這種疾病的適宜傳播網(wǎng)絡(luò)模型仍在不斷爭(zhēng)論中[9]。研究疾病傳播的關(guān)鍵因素之一是社區(qū)結(jié)構(gòu)，人們?cè)谏鐓^(qū)內(nèi)部的互動(dòng)更多、感染幾率更大，而不是在可以接納更多感染機(jī)會(huì)的不同社區(qū)。

2 數(shù)學(xué)建模

首先將總?cè)丝贜劃分為M個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)都有Ni個(gè)個(gè)體，即考慮到社區(qū)i，將總個(gè)體Ni(t)劃分為4個(gè)不同的個(gè)體子類(lèi)，包括易感的Si(t)，暴露的Ei(t)，傳染性Ii(t)和恢復(fù)的Ri(t)個(gè)體，如圖1所示。

圖1 接種疫苗后SEIR流行病動(dòng)態(tài)的傳播圖

當(dāng)傳染性個(gè)體以接觸率β將病原體傳播到其易感鄰居時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)疾病的爆發(fā)。在M個(gè)社區(qū)中，每個(gè)可疑個(gè)體都可以與來(lái)自不同社區(qū)的傳染性個(gè)體接觸，接觸率不同。因此，多組流行病模型的標(biāo)準(zhǔn)發(fā)病率具有以下形式：

社區(qū)內(nèi)部的聯(lián)系率通常高于社區(qū)之間的聯(lián)系率，我們會(huì)得到βii＞βij(i≠j)。對(duì)于潛伏期為天病期為天的疾病，暴露個(gè)體以轉(zhuǎn)移率ai感染；感染者以轉(zhuǎn)移率ri恢復(fù)?？紤]疾病的單株傳播ai=a,ri=r。參數(shù)bi,di,vi分別是自然出生率，死亡率和疫苗接種率。假設(shè)所有社區(qū)的疫苗接種率相同，則vi=v。因此，我們得到的微分方程組為

在平衡狀態(tài)下，任何事件中都沒(méi)有變化率，可以將系統(tǒng)（2）的右側(cè)設(shè)置為零，不難看出系統(tǒng)（2）的無(wú)病平衡為

其解決方案受影響，特別是

使用下一代方法來(lái)推導(dǎo)模型基本再現(xiàn)數(shù)R0，得到

如果不接種疫苗vi，則R0的值會(huì)變高，這意味著疾病易于擴(kuò)散。從理論上講，基本繁殖數(shù)的值可以描述流行病學(xué)現(xiàn)象。從這個(gè)意義上講，如果R0＞1，該疾病將成為地方病，而如果R0＜1，該疾病將消亡。特別地，如果R0=1，則系統(tǒng)（2）將通過(guò)跨臨界分支[10]。對(duì)于基于網(wǎng)絡(luò)流行模型，基本復(fù)制數(shù)由下式定義：

其中＜k＞是平均程度，即每個(gè)人的平均聯(lián)系，顯然有Rnet＜R0。

3 網(wǎng)絡(luò)算法

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)思想已應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，疾病傳播，生態(tài)網(wǎng)絡(luò)，蛋白質(zhì)折疊，引文網(wǎng)絡(luò)等各個(gè)領(lǐng)域[11]，因此，要素之間相互作用的傳遞是關(guān)鍵。在聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)中，個(gè)人由節(jié)點(diǎn)表示，節(jié)點(diǎn)之間的交互由邊緣表示。根據(jù)圖論，將其寫(xiě)為G=(N,E),其中N={1 ,2,…n}是節(jié)點(diǎn)集合，E={e1,e2,…em} 是節(jié)點(diǎn)集一組邊。同時(shí)，存在一個(gè)相鄰的矩陣指向節(jié)點(diǎn)之間的連接，如果{i,j} ∈E則aij=1，反之如果{i,j} ?E則aij=0。

構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)的最簡(jiǎn)單方法是通過(guò)畫(huà)線(xiàn)將節(jié)點(diǎn)連接在一起。首先生成多個(gè)節(jié)點(diǎn)，然后使用接觸半徑將多個(gè)鏈接加起來(lái)以加入這些節(jié)點(diǎn)。實(shí)際上，人工模擬器即網(wǎng)絡(luò)模型是通過(guò)計(jì)算機(jī)編程創(chuàng)建的。表1和表2列出了用于生成此類(lèi)網(wǎng)絡(luò)的變量和算法。在運(yùn)行與該算法相對(duì)應(yīng)的計(jì)算機(jī)程序后，將研究局域網(wǎng)絡(luò)的程度分布。研究發(fā)現(xiàn)直徑的較長(zhǎng)長(zhǎng)度將曲線(xiàn)p(k)向右移動(dòng)并降低了每個(gè)p(k)的峰值。隨著平均度數(shù)(k)增加到u=1，一個(gè)巨大的變量開(kāi)始出現(xiàn)，伴隨著平均度數(shù)增加時(shí)變得更密。最大接觸半徑Dmax確定每個(gè)節(jié)點(diǎn)的相鄰數(shù)目。也就是說(shuō)，接觸半徑的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，分配的鄰居數(shù)就越多。

表1 網(wǎng)絡(luò)連接變量描述

表2 網(wǎng)絡(luò)連接算法步驟

對(duì)于具有1,000 個(gè)普通節(jié)點(diǎn)的本地網(wǎng)絡(luò)，接觸半徑Dmax的增加會(huì)導(dǎo)致更高的密度，聚類(lèi)系數(shù)，平均路徑長(zhǎng)度，但效率會(huì)降低。通過(guò)調(diào)整算法，即可以通過(guò)設(shè)置同時(shí)增加確定性鄰居的聯(lián)系概率來(lái)構(gòu)建具有部分連接的網(wǎng)絡(luò)，稱(chēng)為無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)時(shí)，可以在局域網(wǎng)中添加一些長(zhǎng)距離接觸來(lái)生成小世界網(wǎng)絡(luò)。時(shí)，可以找到所有節(jié)點(diǎn)相互連接的同構(gòu)網(wǎng)絡(luò)形式。隨著直徑增加到最短路徑長(zhǎng)度的值接近0.5，效率值接近1，可以說(shuō)增加網(wǎng)絡(luò)直徑Dmax使得網(wǎng)絡(luò)越來(lái)越容易可訪(fǎng)問(wèn)。

4 數(shù)值模擬

本實(shí)驗(yàn)處理的模擬涉及1個(gè)N=1，000個(gè)普通節(jié)點(diǎn)的社會(huì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，最初是在一個(gè)固定Dmax=0.10且連接概率為pc=70%的正方形單位區(qū)域中生成的。設(shè)置M=15 個(gè)社區(qū)，并使用遺傳算法來(lái)擬合最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)模塊化，所有節(jié)點(diǎn)被組織成網(wǎng)絡(luò)模塊化的多組結(jié)構(gòu)。此外僅考慮所有社區(qū)總和中的每個(gè)狀態(tài)變量，其中X∈{ }S,E,I,R。在模擬中，我們考慮了甲型流感病毒的時(shí)間表，平均潛伏期為4天，病期為10 天。因此在仿真中設(shè)置參數(shù)α=1/4 和γ=1/10 。社區(qū)內(nèi)部和社區(qū)之間的傳輸速率通過(guò)βii=2βij進(jìn)行調(diào)整。每次模擬執(zhí)行100次，然后取平均值，并做出模型參數(shù)的靈敏度分析。

4.1 靈敏度分析

首先研究?jī)蓚€(gè)參數(shù)γ和β對(duì)流行網(wǎng)絡(luò)模型的影響，在開(kāi)始網(wǎng)絡(luò)流行病模型的仿真前，設(shè)置初始條件 即 (S(0),E(0),I(0),R(0))=(0.995,0,0.005,0) 。5 個(gè)結(jié)點(diǎn)具有傳染性其余995個(gè)節(jié)點(diǎn)在時(shí)間t=0 天易受影響?？紤]到傳輸速率β以及其對(duì)流行病的影響如圖2所示。在不考慮疫苗接種(γi=0)的副作用的情況下，增加的β值與易感個(gè)體的數(shù)量成反比，隨著β值的增加，接觸者和感染者的峰值也在變高，同時(shí)，恢復(fù)的人數(shù)也增加了。此外，考慮疫苗接種水平(γi=0) ，假設(shè)所有社區(qū)疫苗接種率都相同(γi=γ,i=1,2,…15)。如圖3，將疫苗接種水平調(diào)整為1%，2%，3%和4%，接觸者和感染者數(shù)量顯著下降。

圖2 β 對(duì)流行病的影響

圖3 γ 對(duì)流行病的影響

4.2 疫苗接種水平的比較

使用統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)考慮對(duì)應(yīng)于不同疫苗接種水平的感染病例數(shù)。在每個(gè)實(shí)驗(yàn)中對(duì)流行病模型進(jìn)行100 次模擬后，獲得了時(shí)間150 天內(nèi)平均感染病例的時(shí)間序列。表3列出了來(lái)自5個(gè)實(shí)驗(yàn)的感染病例的描述性統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，從中可以看到，由于疫苗接種水平的提高，感染者的人數(shù)減少了。

與此同時(shí)，我們開(kāi)始懷疑每個(gè)疫苗接種水平是否會(huì)對(duì)感染產(chǎn)生重大影響，分別將u1,u2,u3,u4,u5設(shè)為接種水平分別為0%，1%，2%，3%和4%的平均感染病例，比較了5 個(gè)樣本集的平均值，換句話(huà)說(shuō)，需要檢查以下假設(shè)：

為了檢驗(yàn)上述假設(shè)，在比較實(shí)驗(yàn)的分析中采用了方差分析（ANOVA），并只關(guān)注疫苗接種水平差異的實(shí)驗(yàn)。根據(jù)表3 中的方差分析，得到統(tǒng)計(jì)量F=11.257和p值小于0.05，因此，原假設(shè)H0被拒絕。從統(tǒng)計(jì)學(xué)上可以得出結(jié)論，不同的疫苗接種水平會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果。接下來(lái)，進(jìn)一步比較每對(duì)疫苗接種水平在顯著性水平0.05 時(shí)是否相等，如表4 和表5 所示，將不同疫苗接種水平的感染病例的平均值進(jìn)行比較。使用顯著性水平為0.05的多次比較，發(fā)現(xiàn)相對(duì)于疫苗接種率0%和1%的感染病例數(shù)無(wú)關(guān)。同樣，疫苗接種水平為1%和2%也是無(wú)關(guān)的。此外，疫苗接種水平2%，3%和4%也提供了不同的結(jié)果。

表3 5組樣本的方差分析檢驗(yàn)

表4 均勻子集中的平均值

表5 疫苗接種水平的多重比較

5 結(jié)論及未來(lái)研究

文章提出了多組SEIR流行病模型，并通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出了其基本繁殖數(shù)。通過(guò)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來(lái)代表社會(huì)是非?？尚星液侠淼模浑S后提出了一種生成聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)算法，在顯著性水平0.05上檢查生成的網(wǎng)絡(luò)的度分布的正態(tài)性，發(fā)現(xiàn)具有社區(qū)的網(wǎng)絡(luò)流行病模型可以捕獲人口網(wǎng)絡(luò)中的疾病傳播。這表明，提出的模型可以直接用于控制疾病傳播，尤其是疫苗接種的控制策略；最后使用方差分析F檢驗(yàn)和多重比較以顯著性水平0.05 檢驗(yàn)了不同疫苗接種水平的效果，結(jié)果與假設(shè)吻合度較高，即更高的傳播速度會(huì)導(dǎo)致該疾病更具傳染性，而更高的疫苗接種水平會(huì)大大減少更多的感染個(gè)體。

用于研究人類(lèi)和動(dòng)物種群疾病傳播的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的豐滿(mǎn)的框架在許多方面仍然在數(shù)學(xué)和計(jì)算上具有挑戰(zhàn)性，例如流行病網(wǎng)絡(luò)模型的解析方法，在該領(lǐng)域中使用的網(wǎng)絡(luò)是加權(quán)和未加權(quán)的網(wǎng)絡(luò)，兩種類(lèi)型的網(wǎng)絡(luò)都可以是靜態(tài)或動(dòng)態(tài)的?？紤]靜態(tài)的非加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，不同類(lèi)型的網(wǎng)絡(luò)可能具有相同的度數(shù)分布，但是它們顯示出不同的流行病傳播模式。要研究復(fù)雜社交網(wǎng)絡(luò)上的流行病動(dòng)態(tài)，需要進(jìn)行蒙特卡洛仿真。