申鄭

摘要：分期付款是生活中常見的消費(fèi)方式，通過分析建立分期付款的數(shù)學(xué)模型，然后使用matlab計(jì)算分期付款的月利率。本文給出了分期付款模型在生活情景中的應(yīng)用，探討了分期付款的提前還款公式，最后給出了在利率一定情形下的“個(gè)性化”分期付款還款方案。

關(guān)鍵詞：分期付款;利率;提前還款;“個(gè)性化”還款方案

中圖分類號(hào)：F830.5;O122? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

分期付款是一種常見的消費(fèi)方式，大到買房、買車，小到購買手機(jī)、筆記本電腦，都可以進(jìn)行分期付款。使用分期付款是要付出“代價(jià)”的，這個(gè)“代價(jià)”就是使用分期付款所要支付的利息，而利息的大小又是相對(duì)的（依賴于分期付款的本金），所以我們通常使用利率來衡量一筆分期付款“代價(jià)”的大小。

分期付款能減少了一次性付款的壓力，再加上“互聯(lián)網(wǎng)+金融”的迅猛發(fā)展，各種分期消費(fèi)的APP層出不窮，分期付款消費(fèi)市場(chǎng)發(fā)展速度很快，但魚龍混雜，良莠不齊。消費(fèi)者對(duì)于各類分期付款的套路諸如“無息貸款”、“零首付”、“月費(fèi)率”等名詞的概念混淆不清，導(dǎo)致消費(fèi)者辦完分期付款之后依然不清楚這筆分期付款的利率是多少，所以我們建立分期付款的數(shù)學(xué)模型，再利用matlab等數(shù)學(xué)軟件求解分期付款的利率。

1、分期付款背景

利率分單利和復(fù)利。假設(shè)你有1萬元長期不用，到銀行存5年定期，年利率為4.75%，到期后得到的本金加利息為元，這樣計(jì)算的利息稱為單利。如果想靈活一點(diǎn)取用，存1年定期，年利率為3%，并申報(bào)若到期不取則自動(dòng)轉(zhuǎn)存，那么一年后的本息和為元，扔按年利率3%再存一年，若如此共存5年，得到的本息和為元，這樣計(jì)算的利息稱為復(fù)利，俗稱“利滾利”。上述按照復(fù)利算出的結(jié)果比單利還少，是因?yàn)槟昀什煌斐傻摹Ｈ绻猛焕视?jì)算，存期為，那么單位本金按照單利計(jì)算的本息是，而按照復(fù)利計(jì)算的本息是，顯然后者大于前者。目前銀行的“零存整取”業(yè)務(wù)是按單利計(jì)算的，而各類商業(yè)貸款如房貸、車貸、裝修貸等通常按照復(fù)利計(jì)算，所以下文中涉及到的利率都按復(fù)利計(jì)算。

利率根據(jù)計(jì)量的期限標(biāo)準(zhǔn)不同，有年利率、月利率、日利率之分。一般來說，它們的換算關(guān)系如下：

年利率=月利率*12=日利率*365.

在日常生活中，顧客與商家進(jìn)行分期付款時(shí)會(huì)達(dá)成一份協(xié)議，這個(gè)協(xié)議通常會(huì)約定顧客還款的時(shí)間和金額。設(shè)是顧客達(dá)成分期付款協(xié)議的日期也是借款日期，是約定的還款期數(shù)，是約定的還款日期，由于分期付款往往是每月定期還款一次，所以距離借款日期的時(shí)間為個(gè)月，是還款日時(shí)的還款金額（單位：元）。還款日期向量和還款金額向量在分期付款協(xié)議好之后就確定下來了。

生活中的分期付款多數(shù)都是定額定期分期付款，即相鄰兩個(gè)還款日和之間相差一個(gè)月、任意兩個(gè)還款日的還款金額相等，也有一部分是不定額分期付款。

2、建立分期付款模型

首先考慮最簡單的分期付款模型，即還款期數(shù).假設(shè)月利率為，借款一個(gè)月之后一次性把貸款結(jié)清，若還款金額為元錢，則借款本金是多少？答案是元。若是借款三個(gè)月之后一次性把貸款結(jié)清且還款金額為元錢，則借款本金元。一般地，在月利率為的情況下，借款個(gè)月之后一次性把貸款結(jié)清，若還款金額為元錢，則有借款本金.

其次考慮還款期數(shù)的分期付款。假設(shè)月利率為，借款一個(gè)月和三個(gè)月時(shí)需要分別還款元錢，則借款本金是多少。這種情況可以看做是兩個(gè)還款期數(shù)的分期付款之和，于是有：

3、分期付款情景應(yīng)用

案例一：某汽車4S店為顧客提供“無息貸款”以幫助客戶購車。具體操作如下：客戶在支付車款首付之后剩余6萬元分期付款，期限為36個(gè)月，每月還款金額為60000元÷36=1666.67元，但辦理此項(xiàng)分期付款需要事先支付“金融服務(wù)費(fèi)”11000元，則該“無息貸款”的年利率是多少？

案例二：某銀行為客戶裝修房子提供“裝修貸”。具體操作如下：假設(shè)貸款10萬元，貸款期限為36個(gè)月，每月基本還款額為10萬元÷36=2777.78元，又該分期付款的“月費(fèi)率”為0.31%，即每月還需要支付10萬元×0.31%=310元，所以每月還款金額為3087.78元，則該“裝修貸”的年利率是多少。

在案例二中，貸款本金元，，元，根據(jù)模型使用matlab的fsolve函數(shù)計(jì)算得出該分期付款的月利率約為0.58%，相應(yīng)的年利率為6.96%，

案例三：某金融機(jī)構(gòu)提供貸款服務(wù)，某客戶貸款23萬元，分36期每月定期償還，“先息后本”還款：前35期每月還款3720元，第36期償還本金23萬元，請(qǐng)問這筆分期付款的年利率是多少。這是一個(gè)不定額定期分期付款的案例，月利率應(yīng)該滿足如下方程：

利用matlab中的fsolve函數(shù)求解得出月利率為0.0158，相應(yīng)的年利率為18.96%。

4、提前還款問題

分期付款公式的一個(gè)重要應(yīng)用就是“提前還款”。例如消費(fèi)者提出在第期提前還款（），是原定的還款期數(shù)。這意味著第1期到第期都是正常履約的，設(shè)在第期提前還款需要支付的金額為元。雖然消費(fèi)者選擇了提前還款，但是分期付款的月利率不能因提前還款而改變，所以根據(jù)分期付款公式，有

在現(xiàn)實(shí)生活中當(dāng)消費(fèi)者提出要“提前還款”時(shí)，商家一般會(huì)要求消費(fèi)者按之前的約定一次性支付剩余的款項(xiàng)，即在第期提前還款（）共需要支付元，消費(fèi)者往往會(huì)認(rèn)為這樣的計(jì)算方式“沒什么問題”，實(shí)際上并非如此。

上述不等式的成立意味著消費(fèi)者多支付了錢，這部分錢自然是被商家賺走了。

5、分期付款的“個(gè)性化”還款方案

分期付款模型的另一個(gè)重要應(yīng)用是商家可以在相同的借款總額、相同的還款期數(shù)和相同利率的情況下向顧客提供分期付款的“個(gè)性化”還款方案?？蛻艨梢栽诳傔€款期數(shù)為的分期付款方案中，任意選擇期，這期的還款金額可以由顧客“個(gè)性化”的決定還多少，剩下的一期由商家來決定。那么在相同的借款總額、相同的還款期數(shù)和相同利率的情況下，商家可以根據(jù)分期付款公式來計(jì)算剩下的一期客戶應(yīng)該還款的金額。這樣得到的“個(gè)性化”分期付款方案可以保證客戶在“利率尺度”上是公平的。即使“利率尺度”一樣，不同的分期付款方案的利息一般而言是不一樣的。

方案一是我們生活中的“等額本息”還款方式，方案二是我們生活中的“等額本金”還款方式，方案三是我們生活中的“先息后本”還款方式，方案四是一個(gè)“個(gè)性化”的分期付款還款方案。以上四種還款方案在“利率尺度”下是無差別的，因?yàn)樗鼈兊木哂邢嗤脑吕?，但是它們的還款總額并不相同。

6、結(jié)語

我們生活中遇到的分期付款大多數(shù)都是定額定期分期付款，結(jié)合分期付款公式，利用數(shù)學(xué)軟件解方程可以很快得出分期付款的利率。本文給出了分期付款模型在實(shí)際生活中應(yīng)用的案例，并進(jìn)一步探討了分期付款中“提前還款”的情形，給出了提前還款的計(jì)算公式。最后討論了在利率一定情形下的“個(gè)性化”分期付款還款方案。