張石友 時(shí)子豪 于虎

(北京市第一七一中學(xué) 北京 100013)

1 問(wèn)題的背景

高中階段，我們把有關(guān)電磁感應(yīng)的問(wèn)題大致分為兩大類，動(dòng)生電磁感應(yīng)類型和感生電磁感應(yīng)類型．我們把由于金屬桿或者金屬框架與磁場(chǎng)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)(或者說(shuō)由于面積S的變化)從而引起閉合回路磁通量的變化而產(chǎn)生感應(yīng)電流的現(xiàn)象，稱為動(dòng)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象．

在動(dòng)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，廣泛涉及到動(dòng)力學(xué)、電路、能量、動(dòng)量、宏觀與微觀結(jié)合等問(wèn)題，可以說(shuō)為高中物理知識(shí)和能力的綜合考查提供了良好的平臺(tái)，因此在歷年的高考、模擬等大型考試中備受出題人青睞，近年來(lái)北京高考更是傾向于對(duì)物理學(xué)科本質(zhì)進(jìn)行不斷探索，例如：從宏觀與微觀的角度，分析動(dòng)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的功能關(guān)系，以此來(lái)考查學(xué)生的綜合分析、解決問(wèn)題的能力．但是，作為一種較為特殊的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，電磁驅(qū)動(dòng)類型的問(wèn)題卻很少被考查，筆者從教十?dāng)?shù)年，也一直對(duì)電磁驅(qū)動(dòng)類型問(wèn)題的實(shí)質(zhì)不甚理解，甚至在一些問(wèn)題中只能人云亦云、隨大流地泛泛而談．

比如，眾所周知的一個(gè)二級(jí)結(jié)論，在動(dòng)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，安培力做負(fù)功，且克服安培力做功的大小等于產(chǎn)生的電能，或者說(shuō)克服安培力做功的功率等于電功率．可以表示為

P電=F安v

然而，在電磁驅(qū)動(dòng)中是否也可以運(yùn)用這一結(jié)論呢？答案顯然是否定的！在電磁驅(qū)動(dòng)中安培力是做正功的，只這一點(diǎn)，該結(jié)論就已經(jīng)完全不適用了．怎么辦？我們似乎一直以來(lái)都是把電磁驅(qū)動(dòng)類型的問(wèn)題當(dāng)做一種“特例”來(lái)處理的，苦口婆心地教會(huì)學(xué)生“在電磁驅(qū)動(dòng)類型中，情況特殊，我們要特殊問(wèn)題特殊處理”．筆者這些年教下來(lái)，每次到這里心里都有些發(fā)虛，也總是在思考這樣一個(gè)問(wèn)題，怎么就特殊了呢？一般的動(dòng)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象和電磁驅(qū)動(dòng)問(wèn)題怎么就不能統(tǒng)一呢？到底是不是分析過(guò)程中出現(xiàn)了什么疏漏，沒(méi)有考慮周全呢？為此，筆者基于深度學(xué)習(xí)理念，對(duì)電磁驅(qū)動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了深入思考與研究．

2 對(duì)電磁驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的深入思考與探究

我們先針對(duì)一般的動(dòng)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象，從宏微結(jié)合的角度解釋和體會(huì).

2.1 洛倫茲力起到能量轉(zhuǎn)換作用

2.1.1 建立模型

如圖1所示，足夠長(zhǎng)的光滑導(dǎo)軌，左端連接阻值為R的電阻，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，金屬棒ab在兩導(dǎo)軌之間部分的電阻為r，當(dāng)金屬棒的速度為v時(shí)，金屬棒內(nèi)的自由電子(載流子)會(huì)有兩個(gè)分速度，一是隨金屬棒向右的速度v，二是沿金屬棒方向的定向飄逸速度u，而其合速度斜向右下方，如圖2所示．

圖1 導(dǎo)體棒切割模型

圖2 自由電子速度矢量圖

2.1.2 問(wèn)題探討

(1)從微觀角度分析自由電子受洛倫茲力的情況

自由電子因兩個(gè)分速度而具有的兩個(gè)洛倫茲力分力如圖3所示，分別為f1=evB，f2=euB，而其洛倫茲力的合力為f．(可以證明f的方向和速度v的方向垂直，在此不做詳細(xì)說(shuō)明)

圖3 自由電子f洛矢量圖

(2)分析兩個(gè)洛倫茲力的分力分別做功的情況

設(shè)在極短的一段時(shí)間Δt微元內(nèi)，分力f1做功W1，分力f2做功W2，則有

W1= +f1uΔt= +evBuΔt

W2= -f2vΔt= -euBvΔt

2.1.3 結(jié)論

由上述分析可得W1+W2=0，這也恰好佐證了洛倫茲力不做功，只是通過(guò)兩個(gè)分力做功，起到將機(jī)械能轉(zhuǎn)為等量電能的“中介”的作用．(其中，沿棒方向分力f1為電源內(nèi)部的非靜電力，做正功，宏觀上表現(xiàn)為電源電動(dòng)勢(shì)，產(chǎn)生電能；垂直于棒分力f2，宏觀上表現(xiàn)為安培力，做負(fù)功，消耗機(jī)械能)

2.2 在電磁驅(qū)動(dòng)情景中自由電子受力以及能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題

接下來(lái)依照上述思路，從宏微結(jié)合的角度解釋分析．

2.2.1 建立模型

如圖4所示，足夠長(zhǎng)的光滑導(dǎo)軌，左端連接阻值為R的電阻，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，當(dāng)磁場(chǎng)以向右的速度v1勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，金屬棒隨之運(yùn)動(dòng)，其速度為v2，導(dǎo)軌與金屬棒內(nèi)阻忽略不計(jì)．

圖4 電磁驅(qū)動(dòng)模型

2.2.2 問(wèn)題探討

(1)從微觀角度分析自由電子受洛倫茲力的情況

根據(jù)右手定則可以判斷，金屬棒的a端為電源負(fù)極，b端為電源正極，其內(nèi)部電流方向?yàn)橛蒩向b．則載流子(自由電子)的定向飄逸速度為u，方向?yàn)橛蒪向a．同時(shí)，金屬棒內(nèi)的自由電子隨金屬棒向右的速度v2，其合速度斜向右上方，即所對(duì)應(yīng)的金屬棒內(nèi)某個(gè)自由電子受到的洛倫茲情況則如圖5所示．依然可證洛倫茲力不做功．

圖5 電磁驅(qū)動(dòng)中自由電子受力問(wèn)題

(2)對(duì)金屬棒感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)進(jìn)行剖析

如圖6所示，選取運(yùn)動(dòng)參考系S′，它相對(duì)于導(dǎo)軌也以速度v1沿與導(dǎo)軌平行的方向運(yùn)動(dòng)．在此參考系中，導(dǎo)軌以速度v1向左運(yùn)動(dòng)，金屬棒穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí)以(v1-v2)向左運(yùn)動(dòng)．考慮到不同參考系中所表現(xiàn)到的電磁場(chǎng)情況并不一樣，對(duì)于一個(gè)參考系中的純磁場(chǎng)，在另一個(gè)參考系中看來(lái)，還將會(huì)有可能存在電場(chǎng)．根據(jù)非相對(duì)論情形(v?c)下的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的變換式[1]

E′=E+v×B

可得感生電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的分量如下

圖6 電磁場(chǎng)變換情境圖示

因此在S系中可進(jìn)一步分析自由電子受力，如圖7所示，除了洛倫茲力外，自由電子還應(yīng)受到a指向b的感生電場(chǎng)力，大小為F電=eEz=ev1B，在S系看來(lái)，這個(gè)感生電場(chǎng)力充當(dāng)動(dòng)力作用，使自由電子發(fā)生定向移動(dòng)(定向移動(dòng)速度為u)，從而形成感應(yīng)電流[2]．

圖7 在S系中分析自由電子受力

E=BL(v1-v2)

(3)從能量轉(zhuǎn)化與守恒視角分析電磁驅(qū)動(dòng)

根據(jù)閉合電路歐姆定律

BL(v1-v2)=IR

展開(kāi)后整理為BLv1-BLv2=IR，我們可以將之進(jìn)行如下理解：等號(hào)左邊“BLv1”表示由于磁場(chǎng)以v1運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，稱之為正電動(dòng)勢(shì)；“BLv2”表示金屬棒以速度v2切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，方向與正電動(dòng)勢(shì)相反，故稱之為反電動(dòng)勢(shì)．因此可以看出在此過(guò)程中金屬棒的角色既是發(fā)電機(jī)也是電動(dòng)機(jī)．

閉合電路歐姆定律的實(shí)質(zhì)是能量守恒定律，從能量角度來(lái)講，我們可以將上式等號(hào)兩側(cè)同時(shí)乘以電流I，得

BLv1I=I2R+BLv2I

其中，BLv1I為產(chǎn)生“電能”的電功率，而B(niǎo)Lv2I為輸出的機(jī)械能的機(jī)械功率，I2R為電熱功率．等式反映了磁場(chǎng)與電路系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)化與守恒關(guān)系．

我們也可以把電磁驅(qū)動(dòng)情景與我們熟悉的“一對(duì)相互作用的滑動(dòng)摩擦力對(duì)系統(tǒng)所做總功的代數(shù)和的絕對(duì)值等于因摩擦生熱而產(chǎn)生的內(nèi)能”進(jìn)行類比，以規(guī)律的進(jìn)階便于學(xué)生理解．滑動(dòng)摩擦力的作用是阻礙物體間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，在電磁驅(qū)動(dòng)情境中安培力雖然是動(dòng)力作用，但磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，金屬棒相對(duì)磁場(chǎng)反向運(yùn)動(dòng)，安培力的作用是阻礙這個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，那么我們可以類比猜想，電路的電能應(yīng)等于安培力乘以金屬棒相對(duì)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的位移即E電=F安x相．論證如下：在電磁驅(qū)動(dòng)過(guò)程中，磁場(chǎng)給金屬棒一個(gè)向右的安培力，與此同時(shí)，磁場(chǎng)本身必受到向左的反作用力，為保證磁場(chǎng)速度恒為v1，外界需給磁場(chǎng)一個(gè)向右的作用力F，大小等于安培力．那么拉力對(duì)磁場(chǎng)做功的功率為

PF=Fv1=F安v1

安培力對(duì)金屬棒的功率為

P安=F安v2

功率差值為

ΔP=F安(v1-v2)=F安v相

可以看出，F(xiàn)安v相即為電源總功率．