劉明煜　楊冉　譚建斌　王琛琦

摘 要 通過拉格朗日中值定理、幾何直觀運(yùn)算的證明方法理解歐拉常數(shù)。運(yùn)用歐拉常數(shù)在具體應(yīng)用中進(jìn)行運(yùn)算，包括級數(shù)求和、求極限等，體現(xiàn)歐拉常數(shù)在這些方面的重要作用。

關(guān)鍵詞 歐拉（Euler）常數(shù) 極限 拉格朗日（Lagrange）中值定理 級數(shù)求和

中圖分類號：O173? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2020.09.026

Application of Euler Constant

LIU Mingyu， YANG Ran， TAN Jianbin， WANG Chenqi

（School of Science， China University of Mining and Technology， Beijing 100083）

Abstract The Euler constant is understood through Lagrange's mean value theorem and geometric intuitive operation. The Euler constant is used to calculate in specific applications， including the summation of series and the calculation of limit， which reflects the important role of Euler constant in these aspects.

Keywords Euler constant; limit; Lagrange mean value theorem; summation of series

0 引言

Euler常數(shù)的存在性，是通過證明一個(gè)具有特殊形式的數(shù)列具有單調(diào)有界的性質(zhì)，從而論證該數(shù)列的極限存在性問題。我們借助于這個(gè)結(jié)論在應(yīng)用問題時(shí)將繁雜的數(shù)項(xiàng)級數(shù)或函數(shù)化為該數(shù)列的形式，從而使得解題過程變得簡單易懂。本文通過對歐拉常數(shù)的存在性證明展開，且運(yùn)用圖像對證明進(jìn)行直觀表述，并給出了一些在求解數(shù)列極限、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性和函數(shù)積分問題的具體應(yīng)用。

1歐拉（Euler）常數(shù)存在性證明

極限存在， 此極限稱為歐拉（Euler）常數(shù)， 記為。

證明：記，現(xiàn)證，且。

由拉格朗日公式有。當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，則，即。

同理，令，有，且。則。

令。由于

故嚴(yán)格遞減。又由

可知其單調(diào)遞減有下界，故極限存在。[1]

2歐拉常數(shù)的幾何直觀描述

如圖1所示，設(shè)虛線下第1到共個(gè)小矩形的面積和為， 則。設(shè)函數(shù)與軸與軸所包圍的面積為，則。設(shè)圖中個(gè)實(shí)線下的矩形面積和為，則。

根據(jù)幾何直觀可知，，從而有，即數(shù)列是有界的，故單調(diào)遞減有下界，其極限當(dāng)時(shí)存在。

圖1y=1/x函數(shù)圖像

3歐拉常數(shù)的幾個(gè)應(yīng)用

我們知道歐拉常數(shù)本身作為一個(gè)求和的極限值，并且歐拉常數(shù)的主要部分為，這便使得我們在求某些由構(gòu)成的級數(shù)中有了一種新的思路：我們可以通過將所需要求的級數(shù)中所含的提取出來，并且用歐拉常數(shù)的形式來表示，如此一來我們便實(shí)現(xiàn)了將一個(gè)較為復(fù)雜的級數(shù)形式轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)含有歐拉常數(shù)的形式較為簡單的級數(shù)。

對于轉(zhuǎn)換后的級數(shù)，我們便可以更加方便地去討論它的收斂性和極限。

3.1 在數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和的應(yīng)用[2]

例1：求。

解：這是一個(gè)交錯(cuò)級數(shù)，因?yàn)?，并且，所以由Leibniz判別法知級數(shù)收斂。記其和為，部分和為，則

由于，根據(jù)極限的性質(zhì)（為一個(gè)極限為0的數(shù)列），將其代入上式得

。故。

3.2 在求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂域的應(yīng)用

例2：求級數(shù)的收斂域。[3]

解：令。

。

所以。

（1）當(dāng)時(shí)，級數(shù)，由，

，及Leibniz判別法知該級數(shù)收斂。

（2）當(dāng)時(shí)，級數(shù)，由發(fā)散及

利用正項(xiàng)級數(shù)判別法知該級數(shù)發(fā)散。從而該冪級數(shù)的收斂域?yàn)閇-1，1）。

3.3 求無窮乘積的運(yùn)算[2]

例3：對任意實(shí)數(shù)，求。

分析：指數(shù)連乘可以轉(zhuǎn)換為冪的連加，由得，再運(yùn)用歐拉常數(shù)即可得出結(jié)果。由于，根據(jù)極限的性質(zhì)，（為一個(gè)極限為0的數(shù)列）。

解：由于，前項(xiàng)部分乘積為

故。

3.4 在積分運(yùn)算中的應(yīng)用

例4：計(jì)算積分，其中表示的小數(shù)部分。[4]

分析：題目求某函數(shù)小數(shù)部分的積分，首先替換其形式為熟知的整數(shù)形式，其次將（0，1]內(nèi)的積分轉(zhuǎn)換為關(guān)于的積分形式，便于求解積分。由于，根據(jù)極限的性質(zhì)，（為一個(gè)極限為0的數(shù)列）。

解：因?yàn)楸环e函數(shù)有界，間斷點(diǎn)只有有限個(gè)，且這些間斷點(diǎn)只有唯一極限點(diǎn)0，所以積分有意義。

通過以上例題探討，我們得知在數(shù)項(xiàng)極限求和、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)求收斂域、無窮乘積中的運(yùn)算以及在積分運(yùn)算中，歐拉常數(shù)的運(yùn)用可以巧妙地簡化其計(jì)算和證明。本文只是對于歐拉常數(shù)淺顯的應(yīng)用加以分析，歐拉常數(shù)在解決更為深層次的問題方面也有著顯著的決定性作用，本文不再加以闡述。

基金項(xiàng)目：中國礦業(yè)大學(xué)（北京）大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目“數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法”（C201907655） （指導(dǎo)教師：林燕）

參考文獻(xiàn)

[1] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2003：25-70.

[2] 楊曉棣.Euler常數(shù)在解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1996.7：45-47.

[3] 朱永生，龔曉嵐.歐拉常數(shù) 的性質(zhì)及在解題中的應(yīng)用[J].高師理科學(xué)刊，2005.25（3）：15-17.

[4] 張丹丹.有關(guān)Euler常數(shù)的推廣及應(yīng)用[J].蘭州文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2016.30（3）：26-29.