王平 彭飛

[摘? 要] 當(dāng)前高三復(fù)習(xí)定理公式時，大都是定理公式一遍過，各種題型沖上來，看似有效，實則并沒有能提高學(xué)生對知識內(nèi)涵與本質(zhì)的理解.解決問題時，往往靠的是記憶與模仿. 定理公式的產(chǎn)生過程，是頂層設(shè)計的思維過程，是對問題本質(zhì)方法的思維過程，為學(xué)習(xí)者提供了解決問題的宏觀思路與突破方向，故高三復(fù)習(xí)時不僅僅要注重定理公式結(jié)論性知識，更要注重對定理公式產(chǎn)生過程的復(fù)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 定理;公式;本質(zhì);提升;深度學(xué)習(xí)

拋出問題

例題：在△ABC，已知角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且滿足2bsinC+■=a+c.

（1）求角B的大小;

（2）若M為BC的中點，且AM=AC，求sin∠BAC的值.

本題為正弦定理復(fù)習(xí)教案中的一道習(xí)題，第（1）問的復(fù)習(xí)功能側(cè)重于對基本知識、方法的運用與理解，核心思想方法為邊轉(zhuǎn)化為角的思想方法，學(xué)生是可以輕松地將條件中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，整理變換之后，可以得出B=■.學(xué)生在預(yù)習(xí)第（2）個小問題后，感覺特別難，有一種雖熟知了正弦定理公式，多次運用公式，但很無奈，無從下手的感覺.

筆者對此題進(jìn)行了仔細(xì)的評講，講解過程如下，作出了MC的中垂線AD（如圖1），設(shè)CD=x，則MD=x，BM=2x，所以得到AB=6x，由勾股定理可以得到AD=3■x.

在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC=2■x.

在△ABC中，由正弦定理得到，■=■，得到sin∠BAC=■.

講解過程似乎很順利，然而下課后，一個學(xué)生跑過來，弱弱地問了一句：“老師，我怎么就想不到作這條垂線，你是怎么想到的呢？”

高三復(fù)習(xí)定理的現(xiàn)狀

由于高三的定理公式等知識都是學(xué)生學(xué)習(xí)過的，學(xué)生對此已經(jīng)有了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，故高三復(fù)習(xí)時，大都數(shù)教師都會采用一般到特殊的復(fù)習(xí)方式，即為先對定理進(jìn)行籠統(tǒng)的復(fù)習(xí). 如正弦定理，先復(fù)習(xí)正弦定理的內(nèi)容，再復(fù)習(xí)正弦定理產(chǎn)生的變式定理，然后給出幾個注意點，定理內(nèi)容在不超過10分鐘的情況下基本復(fù)習(xí)結(jié)束.接下來便是不斷做題，總結(jié)運用定理公式的方法，遇到?jīng)]有思路的問題，大都是教師先點撥，打開思路，然后解決問題. 可惜的是，由于高三復(fù)習(xí)的緊張、時間的限制等等，教師的點撥往往演變?yōu)橹苯痈嬷獙W(xué)生，即便是引導(dǎo)，也會呈現(xiàn)出“誘導(dǎo)”的特征.

上述問題中，作出中垂線AD過程，顯然是筆者直接告知，筆者認(rèn)為學(xué)生應(yīng)該有能力作出輔助線，實則不然;倘若教師了解了學(xué)情，注重了課堂引導(dǎo)，對學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該有一定的幫助作用，但終究敵不過學(xué)生自己生成解決方法來得好.那么作為教師，我們應(yīng)該如何去組織復(fù)習(xí)，才能讓學(xué)生自我生成解題的方法呢？首先要解決的第一個問題就是，學(xué)生為什么想不到這個輔助線. 這個問題說明，我們對定理公式的復(fù)習(xí)工作具有一定的局限性.在高三復(fù)習(xí)過程中，我們往往注重的是定理公式的結(jié)論性知識復(fù)習(xí)，沒有抓住定理公式的產(chǎn)生過程進(jìn)行復(fù)習(xí)，這樣學(xué)生往往關(guān)注的就是公式的套用，不注重定理公式發(fā)生發(fā)展的學(xué)習(xí)，就更談不上思維品質(zhì)的提升. 下面筆者就以復(fù)習(xí)正弦定理（蘇教版）為例，談?wù)劧ɡ砉綇?fù)習(xí)的一些想法.

復(fù)習(xí)定理來源 提升思維品質(zhì)

蘇教版教材提供了正弦定理的四種證明方式，那么這四種證明對高三復(fù)習(xí)都起到了哪些作用呢？又提升了學(xué)生哪些品質(zhì)呢？

1. 培養(yǎng)學(xué)生“斜化直”的思想

教材提供的第1種證法是，由直角三角形猜想出正弦定理，然后由猜想推廣到一般三角形，繼而給出證明. 證明過程就是想辦法將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來求證，出于對三角形形狀的考慮，需要分三種情況討論，從而得出正弦定理的一般性. 證明正弦定理的這一方法，其實為學(xué)習(xí)者提供了解決斜三角形的方法，那就是斜三角形可以轉(zhuǎn)化為直角三角形來解決問題. 這種方法可以歸結(jié)為“斜化直”的思路，上述例題，學(xué)生之所以想不到作垂線，就是因為“斜化直”的思想沒有形成，也就導(dǎo)致問題不能得以解決. 通過對正弦定理方法1的復(fù)習(xí)，很好地培養(yǎng)了學(xué)生解決斜三角形的一般途徑，提升了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的能力，提升了學(xué)生的思維品質(zhì).

2. 培養(yǎng)學(xué)生的軌跡意識

正弦定理證明的第2種方法是借助三角形的外接圓來證明的，是怎么想到這一方法的呢？根據(jù)第1種方法可知，斜三角形的問題是通過直角三角形來解決，而直徑所對的圓周角為直角，從而聯(lián)想到構(gòu)造三角形的外接圓. 在外接圓內(nèi)，根據(jù)題意需要，反復(fù)利用不同的直徑構(gòu)造直角三角形，將原三角形中的邊和角轉(zhuǎn)化到直角三角形中解決. 復(fù)習(xí)解法2后，首先，根據(jù)證明正弦定理最初的想法——構(gòu)造直角，這能幫助學(xué)生想到構(gòu)造垂直，解決上述例題. 其次，第2種方法需要多次構(gòu)造不同的直角三角形，為什么可以多次構(gòu)造呢？因為直角頂點始終在外接圓上，其本質(zhì)是軌跡思想.利用軌跡思想，我們可以優(yōu)化解決不少的數(shù)學(xué)問題. 如：滿足條件：AB=2，AC=■BC的△ABC的面積的最大值.本題若是通過解三角形的方法求解，則難度很大，然而由條件可知AB是定值，點C是動點，不禁聯(lián)想到去尋找出點C的軌跡，通過求解，得到原來點C的軌跡是一個圓. 此時，△ABC面積的最大值不費吹灰之力，迎刃而解. 通過對正弦定理方法2的復(fù)習(xí)，很好地培養(yǎng)學(xué)生的軌跡意識，提升學(xué)生動態(tài)處理問題的思維.

3. 培養(yǎng)數(shù)學(xué)工具性的意識

正弦定理的第3種方法為利用了向量方法求證，先看看具體的證明過程.在△ABC中，有■=■+■. 不妨設(shè)∠C為最大角，過點A作AD⊥BC于D（如圖2），于是■·■=（■+■）·■=■·■+■·■，即0=■·■cos（90°+B）+■·■cos∠DAC，其中當(dāng)∠C為銳角或直角時，∠DAC=90°-C;當(dāng)∠C為鈍角時，∠DAC=C-90°，故可得正弦定理.首先，這樣的證明方法也涉及轉(zhuǎn)化到直角的角度上來，復(fù)習(xí)了這樣的方法，也可以幫助學(xué)生想到解決上述例題的途徑. 其次，向量有方向（角度）、模（長度）兩個要素，而三角形的邊角關(guān)系，恰好涉及三角形的內(nèi)角及邊長兩個量，并且在向量的運算中又正好有一個三角形法則，這些特征自然而然地顯示出它們之間可能存在某種內(nèi)在聯(lián)系[1]. 這種方法其本質(zhì)說明了向量是解決幾何問題很好的工具. 比如：已知在△ABC中，A=120°，AB=4，若點D在邊BC上，且D為BC邊上靠近C點的三等分點，AD=■，求AC的長度. 本題是解三角形問題，學(xué)生往往容易想到利用正弦、余弦定理解決問題，但是利用正弦、余弦定理解決時，卻有力不從心之感. 但我們借助向量可以迅速地找到解決的方案，將■，■作為基向量，來表示向量■，即■=■■+■■，然后對此式兩邊平方，即可得到關(guān)于■的方程，一下子解決問題.數(shù)學(xué)本身就是解決實際問題的工具，向量則是我們工具中的工具，這種方法培養(yǎng)學(xué)生的工具意識，提升了學(xué)生的核心素養(yǎng).

4. 培養(yǎng)幾何問題代數(shù)化的意識

正弦定理證明的第4種方法，建立直角坐標(biāo)系，同時配合運用三角函數(shù)的定義、等積法等思路證明了正弦定理，將幾何問題代數(shù)化，這種方法也是我們解決幾何問題的一般解法，這樣的方法深入人心，培養(yǎng)學(xué)生用精確的代數(shù)計算解決幾何問題，很好地培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想. 有了這樣的思維意識，上述例題的垂線也能如約而至.在我們平時解題時，也會經(jīng)常遇到此類問題. 如：江蘇省2018年高考試題的第13題，在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1（如圖3），求4a+c的最小值.本題從題面上看，是一道解平面幾何問題，但求解的目標(biāo)恰是代數(shù)問題，故我們可以將幾何問題代數(shù)化，以B為原點，BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則D■，■，C（a，0），A-■，■，由A，D，C三點共線，可知kDC=kAC，整理得ac=a+c，即■+■=1，此時一道幾何問題就輕松地轉(zhuǎn)化成了基本不等式問題，運用“1”的代換就可以解得4a+c的最小值了.高三復(fù)習(xí)重在通性通法的學(xué)習(xí)，這樣的方法是解決幾何問題的一般解法，具有普遍性，在宏觀層面上對學(xué)生起到了一定的指導(dǎo)意義.

5. 培養(yǎng)學(xué)生方程組意識

當(dāng)然，正弦定理證明過程是利用已學(xué)知識得出三角形中邊角的關(guān)系，不論有多少種方法，但其目標(biāo)都是一樣的，尋求邊角關(guān)系，這就為我們解決三角形問題提供了宏觀層面的思路.就上述問題而言，要求出目標(biāo)角∠BAC的正弦，我們可以先求其余弦值，而余弦值的求解，只需要知道三角形三邊的比例關(guān)系就可以了，如何突破呢？題中已經(jīng)給出了∠B的值，由于∠B在△ABC和△ABM兩個不同的三角形內(nèi)，利用余弦定理，則可以得到含有三個未知數(shù)的兩個方程，將其中一個看作為已知的，其他兩個就可以用已知的量表示了，從而得出三條邊的關(guān)系，最后借助余弦定理和同角關(guān)系即可解決問題.

由此可以看出，定理的復(fù)習(xí)，不能僅僅局限于復(fù)習(xí)定理本身的知識，更有必要復(fù)習(xí)定理的證明過程，在復(fù)習(xí)完定理的證明過程后，本題的思路也就會自然而然打開，對幾何問題的處理辦法也就不僅僅停留在幾何層面上，會獲得更為寬廣、更深刻的解法.

定理公式應(yīng)如何復(fù)習(xí)

1. 關(guān)注知識結(jié)構(gòu)，輕松解決試題

定理公式的結(jié)論性知識是四基之一的基本知識，它是高考考查的內(nèi)容，高三復(fù)習(xí)過程中當(dāng)然首先要重視學(xué)生對結(jié)論性知識的理解性識記、基本的運用等等. 例如：2011年陜西?。ɡ砜疲┑?8題：敘述并證明余弦定理. 2011年的陜西省高考試卷中直接將余弦定理作為試題，進(jìn)行考查，如果記不住定理內(nèi)容，何談去進(jìn)行證明呢？其次高考中有占比不小的題是基礎(chǔ)題，這些基礎(chǔ)題，往往就是對結(jié)論性知識的基本運用.第三，認(rèn)識與理解公式的結(jié)構(gòu)，解決問題時更為輕松與巧妙. 如：已知在平面直角坐標(biāo)系中（如圖4），點A（2■，0），若直線l：■x+y+a=0上存在點P，使得∠OPA=60°，求實數(shù)a的取值范圍. 本題觀察已知條件可發(fā)現(xiàn)，在△OPA中，OA=2■，∠OPA=60°，很明顯具有了正弦定理中邊角相對的結(jié)構(gòu)形式，從而可以得到點P在△OPA的外接圓上運動，此時通過借助軌跡思想，便可輕松地解決本題.所以高三復(fù)習(xí)時，教師要注重復(fù)習(xí)課本中定理公式的結(jié)論性知識，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)定理公式的結(jié)構(gòu)形式，復(fù)習(xí)它們的常規(guī)運用，以及其他需要注意的問題.

2. 關(guān)注證明過程，拓寬解題思路

定理公式的復(fù)習(xí)，一定要注重復(fù)習(xí)其證明的過程. 寫進(jìn)教科書的定理公式是前人對經(jīng)驗的總結(jié)，具有深遠(yuǎn)的影響.一個具有深遠(yuǎn)影響的公式，不能只僅僅關(guān)注公式定理本身的結(jié)構(gòu)形式，更要注重定理公式的產(chǎn)生、發(fā)展過程，這樣的過程，它會帶給我們更多的啟發(fā). 如上述正弦定理的證明過程，它的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于定理本身，它的證明過程，給我們的教學(xué)提供了不少的宏觀思想，給我們的學(xué)生提供了更寬泛的解題思路，拓寬了解題的視野. 如在解決三角形問題時，學(xué)生則不是一以貫之采用正弦、余弦定理，而是站在一個更高的角度來看問題，可以視這樣的解三角形問題為三角形問題，也可以是向量問題，也可以是平面幾何問題等等，有了這樣的認(rèn)知高度，就可以產(chǎn)生多種多樣的方法，如：“斜化直”“向量工具法”“幾何問題通過建系實現(xiàn)代數(shù)化”等等宏觀層面的思路. 復(fù)習(xí)定理公式的證明過程比定理公式本身更為重要. 除了正弦定理之外，還有余弦定理、等差、等比數(shù)列的前n項和公式等等，都能為我們的解題提供更為寬泛的解決途徑. 教材提供的解法也具有普遍的推廣意義，為學(xué)生終身發(fā)展提供服務(wù). 高考中有占比不小的題是能力題，這些題往往就是對思維方法的考查，體現(xiàn)解決問題的宏觀途徑與能力. 此時，僅僅考生掌握了結(jié)論性知識的結(jié)構(gòu)和常規(guī)的運用方法顯然不夠，還需要對思想方法有更為深刻的認(rèn)識，由此才能獲取更高的成績，思維層次才能更上一個臺階.

3. 關(guān)注過程優(yōu)化，深度課堂教學(xué)

點到直線的距離公式是高三復(fù)習(xí)的重點知識，既要關(guān)注結(jié)論性知識，也要關(guān)注公式的產(chǎn)生過程. 已知點P（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0，求點P到直線l的距離公式. 解決該問題的思路很多，蘇教版課本中給出了兩種不同的解法，等面積法和交點法. 其中交點法，課本在舉了一個特例后，這樣寫道，這一方法運算量較大，言外之意就是這種方法不宜采用. 那真的是運算量大嗎？該方法的解題過程為：過點P（x0，y0）解出l的垂線l′：Bx-Ay+Ay0-Bx0=0，然后由l與l′的方程，解出兩直線的交點Q■，■，則PQ的長度d=■，即為點到直線的距離公式.從中我們可以看出，有一個特點就是思維量小，考試時，有些學(xué)生經(jīng)常會因為思維不暢通，導(dǎo)致解題出現(xiàn)卡殼的現(xiàn)象. 如若在解題中，這部分學(xué)生選擇思維量較小的方法，此時或許計算量較大，但只要一步一個腳印地運算下去，就應(yīng)該是能獲得部分成功的，因為總比無計可施要好很多. 當(dāng)然在高三復(fù)習(xí)時，筆者認(rèn)為還是有必要組織學(xué)生來進(jìn)行運算，正是因為運算量大，才能暴露學(xué)生的運算問題，才能為我們深度的教與學(xué)提供素材. 同時組織學(xué)生運算的過程也是增強(qiáng)學(xué)生運算能力的過程，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的過程.

上述證明過程正是由于出現(xiàn)了運算量較大的問題，才給學(xué)生提供了深度學(xué)習(xí)的機(jī)會. 深度學(xué)習(xí)是相對淺層學(xué)習(xí)而言的，是以學(xué)習(xí)者主動參與為前提，以領(lǐng)悟內(nèi)涵和抓住本質(zhì)的深層思維為特征的一種學(xué)習(xí)方式和狀態(tài)，是一種真實的學(xué)習(xí)過程，是一種高效的學(xué)習(xí)方式[2]■. 復(fù)習(xí)時，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生對運算進(jìn)行優(yōu)化處理，即引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化最難的運算部分——求兩直線的交點以及兩點間的距離. 如何優(yōu)化呢？首先要有目標(biāo)轉(zhuǎn)化意識，求點到直線的距離，可以轉(zhuǎn)化為點與直線上一點間的最短距離. 設(shè)直線l：Ax+By+C=0上一點Q′（x1，y1），則此時問題就可以轉(zhuǎn)化為求PQ′的最小值，當(dāng)Q′為l與l′的交點時，PQ′最小. 因為Q′為l與l′的交點，故滿足Ax+By+C=0，Bx-Ay+Ay■-Bx■=0.將Q′（x■，y■）代入得到Ax■+By■+C=0，Bx■-Ay■+Ay■-Bx■=0（1），此時我們的目標(biāo)為PQ′=■，從目標(biāo)可以看出，Q′（x■，y■）是不可解出的，就需要將x■-x■和y■-y■看成兩個整體，故可以將（1）式改造為Ax■-Ax■+By■-By■=-Ax■-By■-C，Bx■-Ay■+Ay■-Bx■=0（2），對（2）繼續(xù)向目標(biāo)改進(jìn)A（x■-x■）+B（y■-y■）=-Ax■-By■-C，B（x■-x■）+A（y■-y■）=0，將x■-x■和y■-y■看成兩個未知數(shù)，解方程組可得x■-x■=■×（-Ax■-By■-C），y■-y■=■（x■-x■），代入目標(biāo)形式，即得PQ′=■=■=■.

基于上述正弦定理的復(fù)習(xí)，幾何問題還可以借助向量工具來解決. 由此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對本問題進(jìn)行更為深度的學(xué)習(xí). 設(shè)上述問題中的直線l與垂線l′的交點為Q（x■，y■），通過計算可以得到直線l的法向量是n=（A，B），■垂直于直線l，所以■∥n，故■·n=■·n，所以■=■=■. 又因為點Q（x■，y■）在直線l上，即Ax■+By■+C=0，所以■=■=■.

經(jīng)過思維重組，適當(dāng)優(yōu)化后，整個證明過程中，并沒有過于復(fù)雜的運算，這樣的過程符合了重思維、輕計算的新課程改革方向. 這樣的過程更是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的過程，是對知識的內(nèi)涵與本質(zhì)的又一次深度學(xué)習(xí). 這樣的深度學(xué)習(xí)是高效的，在優(yōu)化過程中，學(xué)生不僅僅學(xué)到了具體的結(jié)論性知識，更是學(xué)到了如何去設(shè)立目標(biāo)、設(shè)而不求、構(gòu)造整體思維，又如何去將定值問題進(jìn)行動態(tài)處理，還培養(yǎng)了學(xué)生借助常規(guī)工具（向量等）求解幾何問題的意識等等，這樣的復(fù)習(xí)更具有對問題宏觀思路的掌握，對問題本質(zhì)與內(nèi)涵的理解，學(xué)習(xí)的思維層次深，復(fù)習(xí)效果自然也就高效.當(dāng)然點到直線公式的推導(dǎo)還有很多其他解法，以上是以優(yōu)化運算與轉(zhuǎn)變策略為例，談?wù)劷處熑绾我龑?dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，教師也可以根據(jù)具體教學(xué)需要，從其他角度進(jìn)行引導(dǎo)深度學(xué)習(xí). 學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，不僅僅關(guān)乎學(xué)生的成長，也提升教師的專業(yè)素養(yǎng)，是教學(xué)相長的一次機(jī)會.

結(jié)束語

高三的復(fù)習(xí)不能僅僅停留在結(jié)論性知識的識記復(fù)習(xí)層面上，更應(yīng)該注重對問題本質(zhì)的深度復(fù)習(xí)，這樣的復(fù)習(xí)才能幫助學(xué)生掌握更高層面的知識、方法、思想等，才能提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，促進(jìn)教師的專業(yè)素養(yǎng)，從而達(dá)到教學(xué)相長的目的.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 徐樹旺. 聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì) 凸顯定位選擇——“正弦定理（第一課時）”的教學(xué)思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（31）.

[2]? 胡云飛. 基于深度學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)思考[J]. 中國數(shù)學(xué)教育，2017（24）.