王保全

如何根據(jù)平行四邊形的判定條件判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，是“平行四邊形”一章的重點(diǎn).判定一個(gè)四邊形是平行四邊形大致上有五種方法，這五種判定方法可以劃分為三類.

1.與四邊形的對(duì)邊有關(guān)

（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形：

（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形：

（3） -組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

2.與四邊形的對(duì)角有關(guān)

（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.

3.與四邊形的對(duì)角線有關(guān)

（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，

不難看出，要判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，可以依據(jù)不同的題設(shè)條件，選擇不同的判定方法.通常，我們都從以下三個(gè)方面人手.

—、從對(duì)邊上

如果在對(duì)邊上有已知條件，或者已知條件和對(duì)邊有密切聯(lián)系，?？紤]使用（1）或（2）或（3）.

例1 如圖1所示，在oABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn).BF平分∠ABC交CD于F，DE平分∠CDA交AB干E.M，N分別是DE，BF的中點(diǎn).求證：四邊形ENFM是平行四邊形，

解析：由已知條件知△ADE和△CBF都是等腰三角形，從而DF=BE.又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，則有DF//BE，因此可知四邊形DEBF是平行四邊形.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知DE=BF，DE //BF.又因?yàn)镸，N分趴是DE，BF的中點(diǎn)，則有ME=NF.于是根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可知四邊形ENFM是平行四邊形.

點(diǎn)評(píng)：上面用的是“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的判定定理.也可用“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”去證.此時(shí)要在證明四邊形DEBF是平行四邊形的基礎(chǔ)上，繼續(xù)證明△DMF≌△BNE.

二 從對(duì)角上

如果在對(duì)角上有已知條件，或者已知條件和對(duì)角有密切聯(lián)系，?？紤]使用（4）.

例2如圖2所示，在◇ABCD中，若AE.CF分別是∠BAD和∠DCB的平分線，四邊形AFCE是平行四邊形嗎？如果是，請(qǐng)說明理由.

解析：解題的關(guān)鍵，是設(shè)法根據(jù)已知條件和三角形外角定理證明該四邊形的兩組對(duì)角分別相等.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ ∠B=∠D， ∠BAD= ∠DCB.

又AE，CF分別平分∠BAD和∠DCB，

∴ ∠4=∠3=∠2=∠1.

又∠AEC=∠B+ ∠3，∠A FC=∠D+∠1，

∴ ∠AEC=∠AFC.

∴ 四邊形AFCE是平行四邊形（兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形）.

點(diǎn)評(píng)：如果題目中的已知條件與角有關(guān)，那么我們要充分利用這些條件，盡量考慮用“對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形”的判定定理，

三、 從對(duì)角線上

如果在對(duì)角線上有已知條件，或者已知條件和對(duì)角線有密切聯(lián)系，應(yīng)優(yōu)先考慮使用（5）.

例3 如圖3所示，在oABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O.點(diǎn)E.F分別是AO.CO的中點(diǎn)，求證：四邊形BEDF是平行四邊形.

解析：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ AO=CO.BO=DO.

又∵E，F(xiàn)分別是AO，CO的中點(diǎn)，

∴ EO=FO.

∴ 四邊形BEDF是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

點(diǎn)評(píng)：此題中的已知條件與對(duì)角線有關(guān)，故可從平行四邊形的對(duì)角線的性質(zhì)入手，聯(lián)系對(duì)角線的特點(diǎn)判定平行四邊形.

練習(xí) 1.在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC.肋相交于點(diǎn)O.現(xiàn)給出下列四組條件：

①AB//CD，AD//BC;

②AB=CD，AD=BC;

③AO=CO，BO=DO;

④AB//CD，AD=BC.

其中一定能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的條件有（?）.

A.4組 B.3組 C.2組 D.1組

2.如圖4，在下列條件中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（?）.

A.A B=DC，BC//AD

B.∠BAD= ∠BCD.∠1=∠2

C.AB=DC.AO=CO

D.BC=AD，BC∥AD

（答案在本期找）