田振際, 趙 梅

(蘭州理工大學 理學院, 甘肅 蘭州 730050)

1978年P.R.Jones得到了逆半群的全逆子半群格的分解定理,并在此基礎上討論了全逆子半群格是半模格,分配格,半分配格,模格以及鏈的逆半群[1-5].二十一世紀以來,Tian[6]研究了逆半群與它的全子半群格之間的關系,得到了逆半群的全子半群格的分解定理,并在此基礎上研究了全子半群格是分配格,模格以及鏈的逆半群的結(jié)構(gòu).相關結(jié)果見文獻[7].

本文研究了Clifford半群的正規(guī)子半群格的分解,進一步得到Clifford半群的正規(guī)子半群格是分配格(上半分配格,下半分配格)的充分必要條件.

1 基本概念

半群S的元素a稱為正則的, 如果存在元素x∈S,使得axa=a.用RegS表示S中所有正則元的集合.半群S稱為正則半群, 若S中的每個元素都是正則元.半群S的元素c稱為中心元, 如果關于所有的s∈S, 都有cs=sc.正則半群S稱為Clifford半群, 若S的每個冪等元為中心元.半群S是Clifford半群的充分必要條件是S是其極大子群Ge(e∈ES)的(強)半格.因此在Clifford半群中，J=H.

格L稱為分配格, 若對?a,b,c∈L, 有a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c).格L稱為上半分配格, 若對?a,b,c∈L, 有a∨b=a∨c?a∨(b∧c)=a∨b.格L稱為下半分配格, 若對?a,b,c∈L, 有a∧b=a∧c?a∧(b∨c)=a∧b.格L稱為模格, 如果對?a,b,c∈L, 有a≤b?b∧(c∨a)=(b∧c)∨a.

設S是逆半群, 稱S的逆子半群N是S的全逆子半群, 如果ES?N, 其中ES表示S中所有冪等元的集合.稱N是S的正規(guī)子半群, 若N是S的自共軛的全逆子半群,即ES?N,且對任意a∈N,以及x∈S,有x-1ax∈N.用SubfiS表示S的所有全逆子半群構(gòu)成的集合.設A,B是S的子集,用〈A,B〉表示由A,B生成的S的子半群.容易證明,對于任意的A,B∈SubfiS,A∧B=A∩B,A∨B=〈A,B〉.顯然,如果S是群,則SubfiS=SubgS,其中SubgS表示S的子群格.用SubnS表示S的所有正規(guī)子半群構(gòu)成的集合,容易證明，SubnS是格.顯然,如果S是群,則SubnS=SubngS,其中SubngS表示S的正規(guī)子群格.

設S是任意半群,若K是格林關系L,R,H,D和J的一種,則用Ka表示S的包含a的K類,其中a∈S.S/K表示K類的集合.對于任意的a∈S,令J(a)=S1aS1.定義Jx≤Jy,如果J(x)?J(y).令I(a)={x∈J(a):Jx

設S是逆半群,對于任意的J∈S/J,令

N(J)=ES∪{K∈S/J:K

I(J)=ES∪{K∈S/J:K≤J}

不難證明N(J),I(J)均為S的正規(guī)子半群,且N(J)

引理1([5],引理1.2.3) 設S是任意半群,x∈RegS,且x=x1x2…xn,其中x1,x2,…xn∈S，則存在e1,e2,…en∈ES,使得

1)x=(e1x1)(e2x2)…(enxn);

2)eixiDx,eixi是正則的,其中i=1,2,…n.

引理3([8],定理1) 設S是逆半群,那么對于任意的J∈S/J,有

[N(J),I(J)]?Subn(PF(J))

本文沒有說明的術語和符號見文獻[7,9-10].

2 主要結(jié)論

命題1設S是Clifford半群,且A,B是S的正規(guī)子半群,則〈A,B〉是S的正規(guī)子半群.

證明顯然〈A,B〉是S的全逆子半群,下面只需說明〈A,B〉滿足自共軛性.

設x∈〈A,B〉,則存在x1,x2,…xn∈A∪B,使得x=x1x2x3…xn,則對于任意的s∈S,都有

因為A,B是S的正規(guī)子半群,所以s-1xis∈A∪B,也就得到了s-1xs∈〈A,B〉,即〈A,B〉滿足自共軛性.從而證明了〈A,B〉是S的正規(guī)子半群.

由上述命題可知,若S是Clifford半群,且A,B∈SubnS,那么A∨B=〈A,B〉.

引理4設S是Clifford半群,J∈S/J,且A,B∈SubnS,則

(A∨B)∩J=〈A∩J,B∩J〉∩J

證明設x∈(A∨B)∩J,則存在x1,x2,…,xn∈A∪B,使得x=x1x2…xn,其中n∈N+,根據(jù)引理1,則存在e1,e2,…en∈ES,使得x=(e1x1)(e2x2)…(enxn),且對每個i,都有eixiDx,因為eixiJx,且ES?A,ES?B,所以eixi∈(A∩J)∪(B∩J),則x∈〈A∩J,B∩J〉∩J,于是有(A∨B)∩J?〈A∩J,B∩J〉∩J.另外(A∨B)∩J?〈A∩J,B∩J〉∩J是顯然的.所以(A∨B)∩J=〈A∩J,B∩J〉∩J.

引理5設S是Clifford半群,J∈S/J,則SubnS上的關系

γJ:AγJB?A∩J=B∩JA,B∈SubnS

證明不難證明γJ是一個等價關系.設A,B,C∈SubnS,并且AγJB,也就是A∩J=B∩J,那么(A∩C)∩J=(B∩C)∩J,即(A∩C)γJ(B∩C).由引理4可得(A∨C)∩J=〈A∩J,C∩J〉∩J=〈B∩J,C∩J〉∩J=(B∨C)∩J,即(A∨C)γJ(B∨C),所以γJ是同余.

根據(jù)引理2下面的推論是顯然的.

推論1設S是Clifford半群,那么SubnS是(SubnS)/γJ(J∈S/J)的子直積.

引理6設S是逆半群,那么對于任意的J∈S/J,有(SubnS)/γJ?Subn(PF(J)).

證明定義映射:φJ:(SubnS)/γJ→Subn(PF(J)),使得對任意的A∈SubnS,AγJ→(A∩J)∪{0}.

下證映射φJ是格同構(gòu).

1) 單射:A∩J=B∩J?AγJB?AγJ=BγJ.

2) 滿射: 對任意的C∈Subn(PF(J)),記

先證D是S的全逆子半群.任取x,y∈D,若x,y∈C{0},則要么Jxy

再證D滿足自共軛性.對于任意的s∈S,e∈ES?D,有s-1es∈ES?D.對于任意的s∈S,a∈C{0}?D,則要么Js-1as

3)φJ是保序的.

所以φJ是格同構(gòu),故引理得證.

由推論1和推論2可得定理1.

定理1設S是Clifford半群.那么SubnS是Subn(PF(J))(J∈S/J)的子直積.

由推論2和定理1可得定理2.

定理2Clifford半群S的正規(guī)子半群格是分配格(上半分配格,下半分配格)的充分必要條件為S的每個極大子群的正規(guī)子群格是分配格(上半分配格,下半分配格).

因為群的正規(guī)子群格是模格,所以有定理3.

定理3Clifford半群的正規(guī)子半群格是模格.