徐彩娥

對數(shù)函數(shù)是函數(shù)的重點內(nèi)容之一，由于它涉及的知識面廣、靈活性較強，因此同學們在解題時容易出錯。

一、求對數(shù)型函數(shù)的定義域時考慮不全

例1 求函數(shù)y=logx+1(16-4x)的定義域。

錯解：由16-4x＞0，解得x＜2，所以函數(shù)的定義域為(-∞，2)。

錯因剖析：上述解法只考慮了真數(shù)的取值限制，卻忽視了底數(shù)的取值限制。

友情提示：求對數(shù)函數(shù)的定義域，要注意滿足兩個條件：一是真數(shù)大于零，二是底數(shù)大于零且不等于1。

二、求對數(shù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間時忽視定義域

例2 求函數(shù)f(x)=log2(2x+1)的單調(diào)區(qū)間。

錯解：因為函數(shù)u=2x+1 在(-∞，+∞)上是增函數(shù)，而y=log2u 也是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)=log2(2x+1)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，+∞)。

錯因剖析：上述解法忽視了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)的定義域的子區(qū)間。解答本題先要求出函數(shù)的定義域。

友情提示：在研究函數(shù)問題時，要優(yōu)先考慮定義域，這是研究函數(shù)的最基本原則。

三、混淆對數(shù)函數(shù)問題的值域為R 與定義域為R

例3 已知函數(shù)y=log2(ax2+2x+3)的值域為R，求a 的取值范圍。

錯因剖析：上述解法沒有理解對數(shù)函 數(shù) 的 定 義。當x ＞0 時，y=logax∈R，即當x 取遍大于零的全體實數(shù)時，相應(yīng)函數(shù)值取遍全體實數(shù)。對此題而言，要使y∈R，則函數(shù)u=ax2+2x+3的值域必須包含全體正數(shù)。

友情提示：若函數(shù)y=logaf(x)

的定義域為R，只需真數(shù)大于零恒成立；若函數(shù)y=logaf(x)的值域為R，只需f(x)取遍一切正數(shù)。解題時，當二次項系數(shù)含有字母時，需要注意分情況討論。

四、忽視對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0這一“鐵律”

例4 已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x 的減函數(shù)，則a 的取值范圍是____。

錯解：函數(shù)y=loga(2-ax)是由y=logau，u=2-ax 復(fù)合而成。由a＞0，可知u=2-ax 在[0，1]上是x 的減函數(shù)。由復(fù)合函數(shù)知y=logau 是增函數(shù)，所以a＞1。

錯因剖析：上述解法雖然考慮了對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，卻忽視了真數(shù)必須大于零這一先決條件。

正解：由a＞0，可知u=2-ax 在[0，1]上是x 的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)知y=logau 是增函數(shù)，所以a＞1。因為x 在[0，1]上時y=loga(2-ax)有意義，u=2-ax 是減函數(shù)，所以當x=1時，u=2-ax 取最小值為umin=2-a＞0，所以a＜2。綜上可知，a 的取值范圍是(1，2)。

友情提示：在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時，不僅要結(jié)合內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，更要注意它們本身的定義域。