馬慧麗,黃立宏,王佳伏

(長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 , 湖南 長沙 410114)

1 引 言

吸煙和接觸煙草煙霧是全球公共衛(wèi)生的一大威脅, 它引發(fā)了許多其他疾病并且造成了嚴(yán)重的發(fā)病率和死亡率, 如癌癥、慢性肺病、心血管疾病和中風(fēng)等.吸煙行為還具有可傳播性和擴(kuò)散性, 潛在吸煙者可能通過與吸煙者接觸而吸煙.從某種意義上說吸煙行為與傳染病有類似的傳播機(jī)制.因此許多學(xué)者運(yùn)用傳染病傳播原理建立戒煙動(dòng)力學(xué)模型來預(yù)防和控制吸煙.如Carlos Castillo-Garsow(1997)等[1]利用傳染病傳播原理建立了一個(gè) SIR 模型來研究戒煙問題, 并分析了所建模型的基本再生數(shù)及無煙平衡點(diǎn)和吸煙平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.李志民等(2019)[2]建立了一類具有非線性發(fā)生率的戒煙模型, 并分析了其動(dòng)力學(xué)行為.王霞等(2019)[3]研究了一類帶有非線性接觸率和戒煙不完全成功的戒煙模型, 并研究了該模型平衡點(diǎn)的全局動(dòng)力學(xué)性質(zhì).考慮到媒體和政府對(duì)吸煙的干預(yù)作用, Sharma等(2015)[4]提出了一個(gè)非線性數(shù)學(xué)模型來研究媒體報(bào)道對(duì)戒煙的影響.Guerrero等(2011)[5]用一個(gè)流行病學(xué)模型來研究吸煙在西班牙人口(16-65 歲)中的流行演變規(guī)律, 發(fā)現(xiàn)在 2006 年西班牙無煙立法后在最初幾年的實(shí)施中有非常積極的影響.

事實(shí)上, 大眾媒體宣傳可促進(jìn)保護(hù)非吸煙者并勸阻人們使用煙草[6].由于眾多經(jīng)典的微分方程戒煙模型都是右端連續(xù)的, 但若考慮到媒體和政府的干預(yù)等因素, 建立右端不連續(xù)的戒煙模型或能更真實(shí)地刻畫人們的吸煙行為.相比于用右端連續(xù)微分方程模型描述不連續(xù)的干預(yù)現(xiàn)象, 右端不連續(xù)的Filippov 系統(tǒng)不僅能夠更準(zhǔn)確地刻畫這些不連續(xù)現(xiàn)象, 而且由于所建 Filippov 模型的不連續(xù)性, 使得系統(tǒng)具有更加豐富的動(dòng)力學(xué)行為, 從而揭示出豐富且具有重要生物學(xué)意義的新結(jié)果.因此將Filippov系統(tǒng)運(yùn)用到戒煙模型中，運(yùn)用Filippov定性理論分析模型的動(dòng)力學(xué)行為，從而可以得到政府和媒體干預(yù)對(duì)戒煙的影響.

2 模型的建立及預(yù)備知識(shí)

2.1 模型的建立

由于無煙情況是很難實(shí)現(xiàn)的,控制吸煙人數(shù)在一個(gè)合理的范圍更加符合實(shí)際.在一些現(xiàn)有工作的基礎(chǔ)上[1-5,7-17], 結(jié)合閾值策略, 提出式(1)所示的一個(gè)基于干預(yù)措施的 Filippov 戒煙模型來研究媒體和政府干預(yù)對(duì)吸煙傳播的影響.

(1)

其中

這里所有的參數(shù)均為正值.其中P=P(t),S=S(t)分別代表了潛在吸煙者和吸煙者的數(shù)量,μ表示潛在吸煙者的出生率,β代表潛在吸煙者與吸煙者的接觸影響率,d1,d2分別代表了潛在吸煙者和吸煙者的死亡率,q表示戒煙率,m表示政府和媒體對(duì)吸煙的干預(yù)強(qiáng)度.

模型采取如下的閾值策略:

當(dāng)吸煙者的數(shù)量低于臨界水平Sc時(shí), 不采取干預(yù)措施, 此時(shí)由于基本的健康意識(shí), 一般情況下人們會(huì)有戒煙意識(shí)和措施, 戒煙率為q；

當(dāng)吸煙者的數(shù)量超過Sc時(shí), 政府和媒體采取干預(yù)措施, 減少吸煙人數(shù), 提高戒煙率, 戒煙率為q.

2.2 解的正性和有界性

考慮到系統(tǒng)(1)的現(xiàn)實(shí)意義, 這一節(jié)討論系統(tǒng)(1)解的正性和有界性.

引理1[10,15]設(shè)(P(t),S(t))是系統(tǒng)(1)滿足初值條件P(0)≥0,S(0)≥0且定義在區(qū)間[0,T)上的解, 其中T∈(0,+].那么對(duì)所有的t∈[0,T),有P(t)≥0,S(t)≥0.

2.3 子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

這個(gè)部分主要分析子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì), 在區(qū)域G1和G2，系統(tǒng)(1)可以分成子系統(tǒng)(2)和子系統(tǒng)(3).

(2)

(3)

引理3當(dāng)R1<1 時(shí),E0是子系統(tǒng)(2)的全局漸近穩(wěn)定的無煙平衡點(diǎn); 當(dāng)R1>1時(shí),E1是子系統(tǒng)(2)的全局漸近穩(wěn)定的吸煙平衡點(diǎn).

證明系統(tǒng)(2)的 Jacobian 矩陣為

由特征方程|J(E1)-λI|=0知, 特征根為

類似地, 采用引理3的證明方法可以得到下面的結(jié)論.

引理4當(dāng)R2<1時(shí),E0是子系統(tǒng)(3)的全局漸近穩(wěn)定的無煙平衡點(diǎn); 當(dāng)R2>1時(shí),E2是子系統(tǒng)(3)的全局漸近穩(wěn)定的吸煙平衡點(diǎn).

2.4 滑模域和滑模方程

本節(jié)討論系統(tǒng)(1)的滑模動(dòng)力學(xué).

首先來討論滑模區(qū)域的存在性.取法向量為n=(0,1), 由 〈n,F1(P,Sc)〉〈n,F2(P,Sc)〉<0可知滑模區(qū)域存在且為

Σs={(P,S)|P1

其中P1和P2分別為切點(diǎn)T1和T2的橫坐標(biāo).根據(jù) Filippov 凸方法[18]可知系統(tǒng)(1)在Σs上的滑模方程為

(4)

2.5 閉軌的排除

本節(jié)討論系統(tǒng)(1)的全局漸近穩(wěn)定性, 首先來排除系統(tǒng)(1)的閉軌.

圖1 可能存在圍繞的閉軌示意圖

(5)

在區(qū)域D1內(nèi)運(yùn)用格林公式, 可以得到

因?yàn)锳2>A1, 那么

圖2 當(dāng)E1為實(shí),E2為虛時(shí), 可能存在包含部分的閉軌示意圖

引理7[18]如果系統(tǒng)(1)的正半軌T+是有界的, 那么它的極限集Ω(T)要么包含一個(gè)平衡點(diǎn), 要么包含一個(gè)閉軌.

3 全局動(dòng)力學(xué)分析

定理1當(dāng)R1<1時(shí), 系統(tǒng)(1)的無煙平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

證明由于R2

f(P1)=-d1P1+u-d2Sc=d2(S1-Sc)<0,f(P2)=d2(S2-Sc)<0.

即f(P)<0當(dāng)P∈(P1,P2), 這說明此時(shí)偽平衡點(diǎn)不存在.此外分別由引理1和引理2可知,系統(tǒng)(1)的解是有界的, 并且無任何形式的閉軌.那么根據(jù)引理7, 此時(shí)唯一的實(shí)平衡點(diǎn)E0是系統(tǒng)(1)的ω極限集, 即當(dāng)R1<1時(shí),無煙平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的, 如圖3所示.

其中參數(shù)取值為:u=3,d1=0.2,d2=0.6,β=0.02,q=0.1,m=4,Sc=7.

當(dāng)R1>1時(shí), 由于P1S2, 因此有下列定理

定理 2 當(dāng)R1>1時(shí), 下面結(jié)論成立:

(i)當(dāng)0

(ii)當(dāng)S1>Sc,S2>Sc時(shí), 實(shí)平衡點(diǎn)E2是全局漸近穩(wěn)定的;

(iii)當(dāng)S2

證明 首先來證明結(jié)論(i).當(dāng)0

f(P1)=d2(S1-Sc)<0,f(P2)=d2(S2-Sc)<0.

即在區(qū)間(P1,P2)上f(P)<0, 這說明此時(shí)偽平衡點(diǎn)不存在.在系統(tǒng)(1)解有界并且無閉軌的情況下, 由引理7 可得出唯一的實(shí)平衡點(diǎn)E1是全局漸近穩(wěn)定的, 如圖 4 所示.類似地, 也可以得出結(jié)論(ii): 當(dāng)S1>Sc,S2>Sc時(shí), 實(shí)平衡點(diǎn)E2是全局漸近穩(wěn)定的, 如圖5所示.

圖4 吸煙平衡點(diǎn)E1的全局漸近穩(wěn)定的平面相圖

圖5 吸煙平衡點(diǎn)E2的全局漸近穩(wěn)定的平面相圖

接下來證明結(jié)論(iii).當(dāng)S2

f(P1)=d2(S1-Sc)>0,f(P2)=d2(S2-Sc)<0.

此時(shí)函數(shù)f(P)在區(qū)間(P1,P2)上有唯一的一個(gè)零點(diǎn)P*,這說明滑模上有一個(gè)偽平衡點(diǎn)E*=(P*,Sc).由于在區(qū)間(P1,P*)上f(P)>0, 在區(qū)間(P*,P2)上f(P)<0, 那么偽平衡點(diǎn)E*在滑模上是穩(wěn)定的.在系統(tǒng)(1)的解有界并且無閉軌的情況下, 可得出: 當(dāng)S2

圖6 偽平衡點(diǎn)E*的全局漸近穩(wěn)定的平面相圖

其中參數(shù)取值為:u=10,d1=0.2,d2=0.6,β=0.1,q=0.1,m=4,Sc=20.

其中參數(shù)取值為:u=10,d1=0.2,d2=0.6,β=0.1,q=0.1,m=4,Sc=8.

其中參數(shù)取值為:u=10,d1=0.2,d2=0.6,β=0.1,q=0.1,m=8,Sc=13.

4 結(jié) 論

提出了一類 Filippov 戒煙模型來研究媒體和政府干預(yù)對(duì)戒煙的影響.分析了模型的全局動(dòng)力學(xué)性質(zhì),得到了各類平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).當(dāng)R1<1時(shí), 平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的,表明吸煙人數(shù)將隨著時(shí)間推進(jìn)而趨于0.當(dāng)R1>1時(shí), 干預(yù)強(qiáng)度m與S2成反比, 即當(dāng)干預(yù)強(qiáng)度m越大,S2越小.當(dāng)S2