馮偉鑫，張海豐，劉明達，韓海生，李慕勤

(佳木斯大學a.理學院,b.附屬第二醫(yī)院,c.材料科學院，黑龍江 佳木斯 154007)

0 引 言

在量子力學中，物理量和波函數(shù)的具體表示形式成為表象，由于算符在自身表象中的矩陣為對角陣，所以需要用表象變換使得算符變到自身表象下，幺正算符就是實現(xiàn)這一變換的算符，被廣泛的應(yīng)用，例如鄧志姣等從幺正變換的角度解釋了半波損失[1]；趙盼汝給出了基于幺正矩陣的量子隱形傳態(tài)的實現(xiàn)方案[2];余海軍研究了基于量子力學表象變換理論構(gòu)造的小波函數(shù)族[3]；梁彥霞等研究出了一種量子數(shù)據(jù)壓縮的幺正變換方法[4]；謝傳梅等研究了一維線性諧振子哈密頓量的非幺正變換[5]；高慧芬等利用表象變換給出了非厄米量子系統(tǒng)的能量[6]；張躍進一步分析了表象變換[7]。本文旨在對幺正變換及其性質(zhì)作進一步的詳細闡述，并給出具體的應(yīng)用，為加深對表象理論的理解具有很好的作用。

1 幺正變換算符

(1a)

(1b)

把基矢|ψm〉在|φn〉空間表示出來可以得到

(2)

其中

Unm=〈φn|ψm〉

(3)

因此

U+nm=〈ψm|φn〉=U-1nm≠Umn

(4)

(5)

(6)

同理可以將任意態(tài)矢量|Ψ〉向兩個基底作展開

(7a)

(7b)

展開項系數(shù)之間滿足

(8)

上式的矩陣形式為

(9)

上式可以簡寫為

(10)

(11a)

(11b)

根據(jù)封閉關(guān)系可以得到兩個矩陣元之間的關(guān)系

(12)

上式可以簡寫為

(13)

2 幺正變換的性質(zhì)

性質(zhì)1：幺正變換不改變力學量的本征值

(14a)

(14b)

(14c)

由(14a)和(14c)式可知，幺正變換后本征值不變。

性質(zhì)2：幺正變換不改變矩陣的跡

(15a)

(15b)

|Cn|2=|〈φn|ψ〉|2

(16a)

|φn〉→U+|φn〉

(16b)

|ψ〉→U+|ψ〉

(16c)

|〈φn|ψ〉|2=|Cn|2

(16d)

性質(zhì)4：幺正變換不改變力學量的期望值

(17a)

|ψ〉→U+|ψ〉

(17b)

(17c)

3 幺正變換算符用厄米特算符表示

(18)

其厄米共軛為

(19)

通過(18)和(19)式可以得到

(20a)

(20b)

根據(jù)(5)和(6)式可得

(21a)

(21b)

于是可以得到以下關(guān)系

(22a)

(22b)

(23)

(24)

(25)

所以在(0,2π)有實數(shù)θn，使得

An=cosθn

(26)

Bn=sinθn

(27)

所以

(28)

(29)

(30)

(31)

4 幺正變換算符和能量算符之間的作用關(guān)系

(32a)

對上式求導得

(32b)

可的

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

5 結(jié) 論

通過以上推導可知幺正變換幺正變換下算符的本征值、矩陣的跡、力學量的取值幾率和期望值等都不睡表象變換和變化。同時幺正變換算符可以用厄米特算符的線性組合及e指數(shù)表示出來，并且能量算符亦可以用幺正變換算符表示。