王佳松，郭宇飛，王志剛，郝志強(qiáng)

(1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢,430081；2.武漢科技大學(xué)機(jī)器人與智能系統(tǒng)研究院，湖北 武漢，430081)

機(jī)械臂在制造業(yè)的自動化生產(chǎn)中發(fā)揮了重要作用，目前一般工業(yè)界的機(jī)械臂大多被使用在位置模式下[1-3]，當(dāng)考慮到與環(huán)境進(jìn)行交互作用的情況，比如研磨[4]、拋光[5-6]或邊緣去毛刺[4]等，機(jī)械臂在遵循與表面相切且規(guī)定運(yùn)動軌跡的同時還需要施加垂直于給定表面的力，因此機(jī)械臂的力位混合控制研究應(yīng)運(yùn)而生。在機(jī)械臂的力位混合控制研究中，有的將接觸表面建模為剛性[7]，有的則將其建模為彈性[8]；有的假設(shè)機(jī)器人將移動到物體表面，有的則使機(jī)器人失去與物體表面的接觸[9]。為了處理不確定的機(jī)器人參數(shù)或未知環(huán)境，研究人員已經(jīng)開始在力位混合控制問題中使用視覺識別[10]、反步控制[11]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[12]、模糊邏輯與常規(guī)滑膜控制[13]、克服高斯白噪聲[14]以及針對運(yùn)動或動態(tài)不確定性的魯棒控制[15-17]和自適應(yīng)控制[18-24]等。另外，Peng等[25]采用一種基于觀測器的力位混合跟蹤控制，用于參數(shù)不確定和外部擾動的機(jī)器人系統(tǒng)；Singh等[26]開發(fā)了一種自適應(yīng)補(bǔ)償器，在不需要擾動界先驗(yàn)信息的情況下，消除近似誤差和外部擾動或未建模動力學(xué)等擾動項(xiàng)的影響；Fanaei等[27]設(shè)計了一種魯棒的自適應(yīng)神經(jīng)模糊補(bǔ)償器和在線估計器，補(bǔ)償器用來補(bǔ)償末端執(zhí)行器和物體表面之間的摩擦力，估計器用來確定物體表面的剛度系數(shù)，更加準(zhǔn)確地計算控制所需要的力；Kumar等[8]將機(jī)器人動力學(xué)分解為力、位置和冗余聯(lián)合子空間來設(shè)計控制器；Hsu等[28]設(shè)計的控制體系結(jié)構(gòu)由外環(huán)命令發(fā)生器和內(nèi)環(huán)自適應(yīng)模糊力位混合控制器組成?？梢?，對于機(jī)器人力位混合控制問題的解決方案，大多還是集中于將常規(guī)控制方案與智能技術(shù)或輔助控制相集成。

目前，力位混合控制的研究大多還沒有考慮機(jī)械臂安裝基礎(chǔ)的振動，但安裝存在基礎(chǔ)隨機(jī)振動的機(jī)械臂在機(jī)器人領(lǐng)域已經(jīng)成為了研究熱點(diǎn)。Lin課題組[29-31]研究了一類安裝在起重機(jī)臺架等柔性部件上的機(jī)械臂，將安裝基礎(chǔ)振動簡化為線性彈簧阻尼，基于混合控制策略實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂末端的精確定位與安裝基礎(chǔ)柔性振動的有效抑制,其中安裝基礎(chǔ)振動主要考慮來自于自身結(jié)構(gòu)的柔性特性，而實(shí)際工況下機(jī)械臂受到的基礎(chǔ)振動則主要來自系統(tǒng)的外部激勵。Kiguchi等[32]提出了一種模糊矢量方法，該方法使控制器能夠處理力傳感器信號，例如來自噪聲或由作業(yè)工具引起的未知振動信號，以確定未知物體約束面的方向。研究人員選擇不同的方法來控制系統(tǒng)的振動幅度，但是主動振動控制也存在一些缺點(diǎn)，例如需要額外的執(zhí)行器和傳感器以及消耗更多的能量。

本文以常見的兩連桿機(jī)械臂為研究對象，針對機(jī)械臂與環(huán)境接觸碰撞過程中受到基礎(chǔ)振動和負(fù)載慣量不確定性的影響，將機(jī)械臂末端的力控制和位置控制解耦到正交空間下，采用比例-積分加接觸力前饋控制方法和一種基于隱式李雅普諾夫(Lyapunov)函數(shù)的控制算法分別進(jìn)行力控制和位置控制，設(shè)計一種用于連續(xù)時變反饋機(jī)械臂位置控制的力位混合控制器；并在基礎(chǔ)振動下與傳統(tǒng)的機(jī)械臂力位混合控制器性能進(jìn)行仿真對比，同時對該力位混合控制器在負(fù)載慣量不確定情況下的性能進(jìn)行仿真計算，以期為機(jī)械臂在惡劣工況下的力位混合控制提供參考。

1 受約束機(jī)械臂動力學(xué)模型

機(jī)械臂的簡化模型如圖1所示。圖1中，XOY為笛卡爾坐標(biāo)系；第一節(jié)機(jī)械臂的質(zhì)量為m1、旋轉(zhuǎn)角度為q1、桿長為l1；第二節(jié)機(jī)械臂的質(zhì)量為m2、旋轉(zhuǎn)角度為q2、桿長為l2；xs為環(huán)境中接觸表面的恒定位置；x為機(jī)械臂實(shí)際位移；yr為機(jī)械臂與坐標(biāo)系的相對位移。

圖1 機(jī)械臂的簡化模型

選取q=[q1,q2]T為廣義坐標(biāo)，考慮末端運(yùn)動受環(huán)境約束的兩關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)，則機(jī)械臂的動力學(xué)方程為：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

機(jī)械臂的動力學(xué)方程具有以下幾個性質(zhì)：

性質(zhì)1 慣量矩陣M(q)為正定對稱矩陣，且上下有界，即對于任意一個向量z，有：

wz2≤‖zTM(q)z‖≤Wz2

(6)

式中：0

性質(zhì)2 存在常數(shù)H0>0，使得機(jī)械臂廣義外部擾動力向量滿足：

‖H‖≤H0

(7)

性質(zhì)3 存在常數(shù)U0>0，使得機(jī)械臂廣義控制力向量滿足：

‖U‖≤U0

(8)

性質(zhì)4 存在常數(shù)c0>0，使得機(jī)械臂向心力/科氏力向量滿足：

(9)

性質(zhì)5 存在常數(shù)g0>0，使得機(jī)械臂重力向量滿足：

‖G(q)‖≤g0

(10)

2 控制方案和穩(wěn)定性分析

2.1 連續(xù)時變反饋力位混合控制方案

連續(xù)時變反饋力位混合控制回路如圖2所示。在圖2中，有兩個閉環(huán)控制，其中上面一個為位置閉環(huán)控制，下面一個為力閉環(huán)控制，通過雅可比矩陣與機(jī)械臂正、逆運(yùn)動學(xué)完成力和位置在笛卡爾空間與關(guān)節(jié)空間中坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換，故在笛卡爾坐標(biāo)系下機(jī)械臂控制力(矩)為：

(11)

式中，Δx為機(jī)械臂末端實(shí)際軌跡與期望軌跡的誤差， m；kp為位置控制系統(tǒng)中的比例增益系數(shù)；kd為位置控制系統(tǒng)中的微分增益系數(shù)；ΔF為機(jī)械臂末端實(shí)際力與期望力的誤差， N；KFp為力控制系統(tǒng)中的比例增益系數(shù)；KFi為力控制系統(tǒng)中的積分增益系數(shù)；Fd為機(jī)械臂末端期望力， N。

圖2 連續(xù)時變反饋力位混合控制回路

2.2 連續(xù)時變反饋位置控制方案

2.2.1 位置控制器設(shè)計

位置控制是基于一種給定隱式Lyapunov函數(shù)的增益時變反饋控制，通過給定某一時刻的系統(tǒng)狀態(tài)變量與各狀態(tài)變量的期望值，便可根據(jù)二者誤差采用牛頓迭代法求解出該時刻Lyapunov函數(shù)的值(簡稱V值)，當(dāng)V值有唯一解時，即可求出該時刻增益系數(shù)的反饋值，完成位置控制器的設(shè)計。

通過計算力矩法引入變量τ′和H′，并定義：

(12)

將式(12)代入式(1)，消去非線性項(xiàng)后，得：

(13)

由于M(q)的可逆性，進(jìn)一步化簡上式，得：

(14)

定義：

(15)

式中，qd為廣義坐標(biāo)的期望軌跡，是一個連續(xù)且二次可微的時變函數(shù)。

將式(15)代入式(14)，得到位移誤差方程：

(16)

式中，e為位移誤差，e=qd-q。

如果不考慮基礎(chǔ)振動的影響，即在H′=0的情況下，用經(jīng)典比例-微分控制(簡稱PD控制)方法便可以確定定常PD增益系數(shù)kd與kp的值。

2.2.2 基于隱式Lyapunov函數(shù)的控制律

如果考慮基礎(chǔ)振動的影響，即當(dāng)H′≠0的情況下，上述定常增益系數(shù)的PD控制器不再適用，重新選擇kd與kp為：

(17)

式中，u0為一個正實(shí)數(shù)；kd與kp滿足關(guān)系式：

(18)

(19)

定義輔助控制變量u為誤差系統(tǒng)的控制力向量，其表達(dá)式為：

(20)

由式(17)、式(20)與柯西定理可得：

(21)

由式(18)、式(19)進(jìn)一步化簡式(21)可得：

(22)

由式(21)和式 (22)可得:

‖u‖≤u0

(23)

根據(jù)柯西定理，有：

(24)

又定義：

(25)

式中，η、ξ與γ之間滿足關(guān)系式：

ξ2+γ2>0，|η|≤|ξγ|

(26)

將式(25)與式(17)代入式(19)，可得：

16x4-ξ2x2-ηx-γ2=0

(27)

(28)

將式(16)代入式(28)，化簡得：

(29)

又因?yàn)椋?/p>

(30)

將式(30)與式(18)代入式(29)，得：

(31)

根據(jù)柯西定理求式(31)等號右邊第二項(xiàng)的上界，得：

(32)

根據(jù)柯西定理與式(18)、式(19)，得：

(33)

根據(jù)式(32)和式(33)，可得：

(34)

根據(jù)性質(zhì)1、性質(zhì)2與公式 (12)中的第2個等式，可得：

(35)

根據(jù)式(34)和式(35)，可得：

(36)

定義：

(37)

由柯西定理可得：

(38)

將式(18)代入式(38)，得：

(39)

再將式(39)代入式(37)，得：

(40)

將式(36)、式(17)中的第一個等式、式(40)代入式(31)，得：

(41)

(42)

(43)

由性質(zhì)1、性質(zhì)4、 性質(zhì)5與式(23)和式(43)可知：

(44)

2.2.3 控制回路與計算流程

圖3 連續(xù)時變反饋控制器結(jié)構(gòu)示意圖

2.3 力控制方案

力控制采用傳統(tǒng)的比例-積分控制(簡稱PI控制)和接觸力前饋控制。根據(jù)胡克(Hooke)定律，在接觸材料中的環(huán)境測量力為：

(45)

式中，Ke為環(huán)境剛度。

通過將實(shí)時測量機(jī)械臂末端受到的力(Fm)與期望力(Fd)進(jìn)行比較，從而實(shí)現(xiàn)力的閉環(huán)控制。

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 控制器對比仿真

圖4 機(jī)械臂的基礎(chǔ)振動位移

在機(jī)械臂的位置控制系統(tǒng)中，所選控制器將機(jī)械臂系統(tǒng)末端位移與期望位移的差作為反饋,首先使用PD控制器來進(jìn)行驅(qū)動，通過控制變量的方法，得到調(diào)試控制效果較好時PD控制器的比例增益值與微分增益值分別為：Kp=-200、Kd=10；再使用基于隱式Lyapunov函數(shù)控制的連續(xù)時變反饋控制器(簡稱IL控制器)進(jìn)行驅(qū)動。IL控制器與傳統(tǒng)PD控制器的跟蹤軌跡、速度對比分別如圖5、圖6所示。從圖5和圖6中可以看出，在位置控制系統(tǒng)中，無論是位移還是速度，IL控制器在控制精度和響應(yīng)時間上較PD控制器均有明顯提升。

圖5 IL控制器與傳統(tǒng)PD控制器的跟蹤軌跡對比

圖6 IL控制器與傳統(tǒng)PD控制器的速度對比

在機(jī)械臂的力控制系統(tǒng)中，IL控制器與傳統(tǒng)PD控制器在力控制方案中的控制器類型相同，初始參數(shù)值與位置控制方案也保持一致。選擇PI控制器和接觸力前饋控制來進(jìn)行期望力的跟蹤控制，該控制器將機(jī)械臂系統(tǒng)末端力與期望力的差作為反饋，選擇PI控制器的比例增益值與積分增益值分別為：KFp=20，KFi=10。IL控制器與傳統(tǒng)PD控制器力跟蹤對比及IL控制器的Lyapunov函數(shù)V值計算結(jié)果分別如圖7、圖8所示。從圖7中可以看出，隨著位置控制系統(tǒng)性能的提升，IL控制器比PD控制器在力控制系統(tǒng)中具有更快的跟蹤速度。從圖8中可以看出，IL控制器在出現(xiàn)階躍信號后，V值由大減小，最終趨于一個穩(wěn)定的極小值，避免了出現(xiàn)kd和kp的值趨于無窮大的情況，由此表明，IL控制器在滿足計算機(jī)的允許計算位數(shù)和精度的同時，凸顯了能實(shí)時計算kd和kp值的優(yōu)點(diǎn)。

圖7 IL控制器與傳統(tǒng)PD控制器的力跟蹤對比

圖8 IL控制器的Lyapunov函數(shù)V值

3.2 控制器誤差對比仿真

IL控制器與傳統(tǒng)PD控制器的位移誤差對比和力誤差對比分別如圖9和圖10所示。從圖9和圖10中可以看出，與傳統(tǒng)的PD控制器相比，在基礎(chǔ)振動的影響下，IL控制器具有快、準(zhǔn)、穩(wěn)的特點(diǎn)，能夠更好地跟蹤機(jī)械臂末端的位置和力，具有很好的跟蹤效果。從圖9中可以看出，在未加載階躍信號(0～1 s)時，IL控制器能夠很快地將位移誤差減少到0；在出現(xiàn)階躍信號(1～5 s)后，也能在比傳統(tǒng)PD控制位移誤差幅值大的情況下快速地將位移誤差減少到0，并且保持穩(wěn)定。從圖9

圖9 IL控制器與傳統(tǒng)PD控制器的位移誤差對比

圖10 IL控制器與傳統(tǒng)PD控制器的力誤差對比

中還可以看出，在控制精度和曲線平滑度上，IL控制器的性能都要明顯好于傳統(tǒng)PD控制器，充分體現(xiàn)出IL控制器的優(yōu)勢。從圖10中可以看出，IL控制器中位置控制所帶來的系統(tǒng)穩(wěn)定性，使得IL控制器的力跟蹤誤差性能比傳統(tǒng)PD控制器的性能也有一定提升。

3.3 慣量不確定下IL控制器性能仿真

基于上述慣量參數(shù)為標(biāo)稱慣量，將機(jī)械臂慣量減少50%作為慣量負(fù)偏差，將機(jī)械臂慣量增加50%作為慣量正偏差，計算得到IL控制器的跟蹤軌跡、控制速度、力跟蹤及Lyapunov函數(shù)V值分別如圖11、圖12、圖13、圖14所示。計算結(jié)果表明，系統(tǒng)慣量越大，IL控制器需要越長的時間來驅(qū)動機(jī)械臂以跟蹤上期望值，但是，無論機(jī)械臂負(fù)載慣量是否存在偏差，IL控制器都能較好地完成力位混合控制，表明該控制算法具有良好的魯棒性。從圖11中可以看出，隨著負(fù)載慣量的不斷增大，整個過程中機(jī)械臂末端位移波動量也隨之減小，體現(xiàn)在IL控制器的位移跟蹤幅值不斷降低。從圖12中可以看出，慣量負(fù)偏差下IL控制器的跟蹤軌跡響應(yīng)速度最快，標(biāo)稱慣量次之，慣量正偏差最慢。綜合來看，在面對機(jī)械臂負(fù)載慣量不確定情況下，IL控制器的跟蹤速度和控制精度都比較穩(wěn)定，具有極強(qiáng)的魯棒性。從圖13中可以看出，在慣量負(fù)偏差時機(jī)械臂末端力的跟蹤速度

圖11 慣量不確定情況下IL控制器的跟蹤軌跡

圖12 慣量不確定情況下IL控制器的控制速度

圖13 慣量不確定情況下IL控制器的力跟蹤

圖14 慣量不確定情況下IL控制器的Lyapunov函數(shù)V值

最快，標(biāo)稱慣量次之，慣量正偏差最慢,但是在慣量不確定情況下，IL控制器的控制精度偏差較小，控制器穩(wěn)定性較強(qiáng)。從圖14中可以看出，負(fù)載慣量不確定性對于Lyapunov函數(shù)的V值選取也有一定的影響，慣量負(fù)偏差下V值的選擇速度較快，標(biāo)稱慣量下V值的選擇速度次之，慣量正偏差下V值的選擇速度最慢,并且，負(fù)載慣量越小，曲線的平滑度越好，V值選取值的波動越小。

4 結(jié)論

(1)針對機(jī)械臂與環(huán)境接觸碰撞過程中受到基礎(chǔ)振動和負(fù)載慣量不確定的影響，將機(jī)械臂末端的力控制和位置控制解耦到正交空間下，采用比例-積分加接觸力前饋控制方法和一種基于隱式Lyapunov函數(shù)的控制算法分別進(jìn)行力控制和位置控制，設(shè)計一種用于連續(xù)時變反饋機(jī)械臂位置控制的力位混合控制器。

(2)所設(shè)計的力位混合控制器能夠抑制基礎(chǔ)振動和不確定慣量的影響，實(shí)現(xiàn)了基礎(chǔ)振動與慣量不確定情況下接觸力和位置的同時控制。

(3)與傳統(tǒng)的力位混合控制器相比，所設(shè)計的力位混合控制器在控制速度、控制精度和穩(wěn)定性等方面性能均有明顯提升，具有良好的魯棒性。