張森森，王新海，丁繼才，陳祖瑞，胡軍華

(1.海軍裝備部駐葫蘆島地區(qū)軍事代表室，遼寧 葫蘆島125004；2.上海船舶設備研究所，上海200031；3.武漢第二船舶設計所，湖北 武漢430064)

0 引 言

摩擦、間隙、剛度、表面粗糙度等因素對機械傳動裝置振動噪聲均有影響。由于影響因素眾多，參數(shù)分布具有隨機性和不確定性，且一些因素相互交織，相互耦合影響，使得機械傳動裝置振動噪聲發(fā)生機理復雜，采用傳統(tǒng)的方法難以開展機械傳動裝置的低噪聲設計。針對上述問題，本文提出一種基于優(yōu)化設計理論的機械傳動裝置低噪聲穩(wěn)健性設計方法。

1 優(yōu)化方法

本文基于離散元方法構(gòu)建機械傳動裝置的動力學模型，將含有間隙的運動副之間的約束關(guān)系模擬成接近軸承真實狀態(tài)的“廣義力”，且由于廣義力模型可以根據(jù)真實物理實驗臺架測得的實驗結(jié)果進行定義。在此基礎(chǔ)上進行DOE 試驗設計，建立各響應變量跟設計變量之間的關(guān)系，獲得響應曲面，然后再采用優(yōu)化算法進行機械傳動裝置的多目標穩(wěn)健性參數(shù)優(yōu)化，具體步驟如下：

1）建立機械傳動裝置系統(tǒng)動力學模型；

2）基于所建立的動力學模型，進行DOE 試驗設計；

3）根據(jù)DOE 仿真結(jié)果，建立設計變量和響應之間的響應面；

4）判斷響應面精度是否滿足要求；

5）若滿足，用響應面代替動力學模型，并在其基礎(chǔ)上進行穩(wěn)健性參數(shù)優(yōu)化；

6）優(yōu)化結(jié)果驗證。

2 優(yōu)化模型

1）數(shù)學模型

本文以某點附近微小范圍內(nèi)響應值的極差，來衡量該點的穩(wěn)健性。在每個設計點微小范圍內(nèi)利用Latin hypercube sampling 均勻生成一定數(shù)量的樣本點，以這些樣本點響應的最大值max與最小值min之差來近似表示響應極差，如下式：

本文分別引入一個評價優(yōu)化性設計的優(yōu)化滿意度函數(shù)和評價穩(wěn)健性設計的穩(wěn)健滿意度函數(shù)。優(yōu)化滿意度函數(shù)如下式：

機械傳動裝置響應變量符合望小特性，即響應值越小越好。其中，U 為響應變量上限，T 為響應變量的目標值。當y 超出響應上限U 時，滿意度為0；y 變小時滿意度增大，當小于目標值時，滿意度達到1。

穩(wěn)健滿意度函數(shù)如下式：

式（2）和式（3）中的t 和s 為響應相對于目標的重要程度，根據(jù)機械傳動裝置的特點，本文取s=t=1。通常情況下，最優(yōu)性和穩(wěn)健性往往是不能共存的，達到了最優(yōu)解的響應點其穩(wěn)健性可能很差。為解決優(yōu)化性設計和穩(wěn)健性設計的權(quán)衡問題，本文運用幾何加權(quán)法構(gòu)建穩(wěn)健優(yōu)化滿意度函數(shù)，如下式：

其中：D 為穩(wěn)健優(yōu)化滿意度；ω1和ω2分別為優(yōu)化性滿意度和穩(wěn)健性滿意度的權(quán)重，針對機械傳統(tǒng)裝置的特性，本文取ω1=ω2=0.5。

設 x2,x3分別為徑向間隙和摩擦系數(shù)，設計變量：

優(yōu)化目標：

約束條件：

其中，DaR，Daa，DFRMS，DFamp，DMRMS，DMamp分別為響應變量 aR（機械傳動裝置特征測點徑向加速度），aa（機械傳動裝置特征測點軸向加速度），F(xiàn)RMS（傳動軸測點動態(tài)約束力的均值），F(xiàn)amp（傳動軸測點動態(tài)約束力的幅值），MRMS（傳動軸測點動態(tài)約束力矩的均值），Mamp（傳動軸測點動態(tài)約束力矩的幅值）對應的穩(wěn)健優(yōu)化滿意度。yi，Ui為各響應變量及其對應的響應上限。

2）響應面模型

本文選用均勻設計試驗法生成100 個初始樣本點，各個樣本點所對應的響應值通過前面所述的機械傳動裝置動力學模型計算處理得出。將正交試驗獲得的數(shù)據(jù)優(yōu)化設計模塊中，構(gòu)造響應面得到6 個目標的響應面，如圖1 所示。

3）優(yōu)化模型

本文選取NSGA-II（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II）作為優(yōu)化算法。NSGA-II 是對常規(guī)遺傳算法的改進算法，通過引入快速非支配排序算子設計、個體擁擠距離算子設計和精英策略選擇算子設計，較好解決了常規(guī)遺產(chǎn)算法參數(shù)選取困難和計算效率低等問題，提高了算法的運算速度和魯棒性。根據(jù)本文研究情況，初始種群數(shù)量為100，選取20 代作為進化代數(shù)，雜交率設為0.9。

3 優(yōu)化結(jié)果

在20 代進化代數(shù)后，總共生成2 000 個設計點，其中包括1 403 個可行解與55 個最優(yōu)解。圖2 為各個設計目標的歷史迭代圖，圖中高亮顯示的設計點是此次優(yōu)化結(jié)果的最優(yōu)前沿點。可以看出隨著優(yōu)化迭代的進行，設計點逐漸向最優(yōu)前沿聚集。

當優(yōu)化目標是2 個以上時，最優(yōu)前沿不再是一條曲線，變成了一個三維或者更高維度的曲面或超曲面。本文研究總共存在6 個優(yōu)化目標，最優(yōu)前沿是一個六維的超曲面。為了將這個抽象的六維超曲面表示出來，將6 個優(yōu)化目標拆分出來，用1 個 DaR和 Daa之間的2D 散點圖（見圖3 和圖4）以及 DFR1，DFa1和DFa2，DFR2之間的4D 氣泡（見圖4）表示優(yōu)化目標的最優(yōu)前沿。

圖5 為所有設計點在設計空間內(nèi)的3D 散點圖，高亮顯示的是最優(yōu)前沿點?？梢钥闯?，隨著優(yōu)化迭代的進行，大量最優(yōu)設計點在聚集在區(qū)域A 中，少量最優(yōu)設計點分別散布在區(qū)域B 和區(qū)域C 內(nèi)。在機械的設計階段，根據(jù)實際條件，間隙參數(shù)應盡量在A，B，C 三個設計空間內(nèi)選擇。

圖1 各響應變量對應的響應曲面Fig.1 Response surface corresponding to each response variable

圖2 各設計目標的歷史迭代圖Fig.2 Historical iteration diagram of each design objective

圖3 D aR 和 Daa的2D 散點圖Fig.3 2D scatter of DaR andDaa

圖4 和（用深淺表示），（用直徑表示）的4D 氣泡圖Fig.4 4D bubble chart for D FR2 (in diameter),for(in color)

4 結(jié)果驗證

為了驗證優(yōu)化結(jié)果，在區(qū)域A，B，C 內(nèi)任選一個最優(yōu)設計點，將其響應曲面擬合的響應值與有限元模型的仿真值相比進行誤差分析，以驗證優(yōu)化精度。將優(yōu)化點動力學模型的響應仿真值與原始點的響應仿真值進行對比以驗證優(yōu)化效果。

由表1～表5 可知，優(yōu)化點響應曲面的擬合值與仿真模型的真實值的相對誤差在5%以內(nèi)，優(yōu)化結(jié)果可靠。與原始設計點相比，優(yōu)化點的各個響應值均有不同幅度的下降，優(yōu)化后的機構(gòu)振動特性明顯優(yōu)于原始機構(gòu)。

圖5 3D 散點圖Fig.5 3D scatter

表1 優(yōu)化點與原始點設計變量參數(shù)Tab.1 Design variable parameters of optimization point and original point

表2 FR1 和Fa1 擬合模型相對誤差Tab.2 Relative error of fitting models of FR1 and Fa1

表3 FR2 和Fa2 擬合模型相對誤差Tab.3 Relative error of fitting models of FR2 and Fa2

表4 aR 和aa 擬合模型相對誤差Tab.4 Relative error of fitting models of aR and aa

表5 原始點與優(yōu)化點響應變量對比Tab.5 Comparison of response variables between original point and optimized point

5 結(jié) 語

本文提出一種基于優(yōu)化設計理論的機械傳統(tǒng)裝置低噪聲穩(wěn)健性設計方法，建立了包括建模、仿真、分析、優(yōu)化設計的系統(tǒng)性流程和方法。所采用的基于“離散元”和“基于響應面的穩(wěn)健性優(yōu)化”的方法，能夠快速地獲得實際設計參數(shù)與振動響應之間的內(nèi)在數(shù)值聯(lián)系，使得在工程上開展優(yōu)化設計成為可能。通過一個機械傳動裝置的設計實例，獲得了工程上可實現(xiàn)的優(yōu)化設計結(jié)果。在軸承的徑向間隙取在0.018 mm，摩擦系數(shù)為0.085 時，可以明顯改善機械傳動裝置的振動，同時保證低噪聲設計的穩(wěn)健性。