郭新克

摘要：符號(hào)意識(shí)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的十個(gè)核心概念之一，主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用，是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。符號(hào)意識(shí)是學(xué)生在感知、認(rèn)識(shí)、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)方面做出的主動(dòng)性反應(yīng)。教學(xué)中，要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和生活實(shí)際，喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)符號(hào)應(yīng)用的廣泛性，感受數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔性和表達(dá)的多樣性，探索符號(hào)推理的一般性，不斷發(fā)展數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)符號(hào);符號(hào)特質(zhì);符號(hào)意識(shí)

符號(hào)意識(shí)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的十個(gè)核心概念之一，主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性;建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。符號(hào)意識(shí)是學(xué)生在感知、認(rèn)識(shí)、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)方面所做出的一種主動(dòng)性反應(yīng)，它是一種積極的心理傾向。數(shù)學(xué)符號(hào)具有廣泛性、簡(jiǎn)潔性、多樣性和一般性等特質(zhì)。在教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)符號(hào)的特質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)符號(hào)的價(jià)值與魅力，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

一、喚醒生活經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)符號(hào)應(yīng)用的廣泛性

語(yǔ)言學(xué)家皮埃爾·吉羅說(shuō)：“我們生活在符號(hào)之間?！睂W(xué)生在日常生活與學(xué)習(xí)過(guò)程中已經(jīng)認(rèn)識(shí)了很多不同類型的符號(hào)，并積累了豐富的符號(hào)使用經(jīng)驗(yàn)。如現(xiàn)實(shí)生活中，醫(yī)院的紅“+”字標(biāo)記、“SOS”國(guó)際求救信號(hào)、“119”火警電話、公路上的各種交通標(biāo)志、酒店的逃生標(biāo)志，等等。各種符號(hào)與我們的生活緊密聯(lián)系，從某種意義上說(shuō)，我們已經(jīng)進(jìn)入了一個(gè)高度符號(hào)化的時(shí)代，豐富的生活經(jīng)驗(yàn)也讓學(xué)生對(duì)符號(hào)使用的廣泛性有了體驗(yàn)。如一看到“KFC”的商標(biāo)，就能想到是肯德基;一看到“WC”，就知道是衛(wèi)生間的標(biāo)志;一進(jìn)入電梯，就能找到自己所要到達(dá)樓層的按鈕……

符號(hào)既是數(shù)學(xué)語(yǔ)言，又是數(shù)學(xué)工具，理解并學(xué)會(huì)使用各種數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，也是發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)的重要途徑。學(xué)生在入學(xué)前已經(jīng)有了初步的符號(hào)化經(jīng)驗(yàn)積累，如知道用“1”可以表示一個(gè)人、一只小狗或一支筆等，能初步把握事物有關(guān)數(shù)量的本質(zhì)，能把一些簡(jiǎn)單化的問(wèn)題用數(shù)字符號(hào)表達(dá)出來(lái)。在教學(xué)時(shí)，我們要喚醒學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)他們體驗(yàn)符號(hào)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的廣泛用途。

在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》一年級(jí)上冊(cè)“1～5的認(rèn)識(shí)”時(shí)，主題圖是一個(gè)農(nóng)家小院，里面包含有1～5的各種數(shù)量，而且每種數(shù)量的事物不止一種。教學(xué)時(shí)，每種數(shù)量可以多數(shù)出幾種，在認(rèn)識(shí)4和5時(shí)，可以先讓學(xué)生數(shù)出主題圖中的小雞有4只，南瓜有5個(gè)。（如圖1）

然后，可以利用圖形的一般性來(lái)表示數(shù)量的多少，如用小棒一一對(duì)應(yīng)表示，也可以用下面的對(duì)應(yīng)方法：

○○○○? ? ?→ 4

○○○○○? ?→ 5

最后，要對(duì)小圓的數(shù)量進(jìn)行命名。命名的方法可以是不同的，如用漢語(yǔ)分別稱為“四”和“五”，英語(yǔ)則稱為“four”和“five”。但是，用數(shù)字符號(hào)“4”和“5”表示，卻實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)表達(dá)的統(tǒng)一，這就體現(xiàn)了符號(hào)表達(dá)的功能。這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，能喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，使他們體驗(yàn)到符號(hào)使用的廣泛性和重要性，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

二、用符號(hào)表示數(shù)，感受數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔性

發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)的過(guò)程，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的一個(gè)重要過(guò)程。在這過(guò)程中，需要舍去事物的物理屬性，去掉具體內(nèi)容，而利用符號(hào)和關(guān)系術(shù)語(yǔ)進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)。在教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的對(duì)比與轉(zhuǎn)化過(guò)程，感受數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)和思考的簡(jiǎn)潔性與簡(jiǎn)單美。

在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)第二單元“確定位置”時(shí)，可以讓學(xué)生小組合作，用自己的語(yǔ)言描述各自在班級(jí)里的位置。這時(shí)候，學(xué)生的答案是不一樣的：有的說(shuō)是第幾組第幾個(gè);有的說(shuō)是第幾個(gè)第幾排;有的說(shuō)是第幾行第幾組;有的甚至還會(huì)說(shuō)從門口方向數(shù)第幾列第幾個(gè)……教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察總結(jié)，不管用什么方法描述，其實(shí)都用了兩個(gè)數(shù)字來(lái)確定各自在班級(jí)中的位置。再適時(shí)引出列與行的概念，使學(xué)生感受到數(shù)對(duì)（a，b）的產(chǎn)生過(guò)程。通過(guò)學(xué)生的自主探究，他們經(jīng)歷了觀察、比較、交流、總結(jié)等學(xué)習(xí)過(guò)程，在比較中感受了應(yīng)用數(shù)字符號(hào)表示位置的簡(jiǎn)潔性，這樣有助于形成使用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)數(shù)量關(guān)系的自覺(jué)性。

學(xué)生在解決數(shù)量關(guān)系稍復(fù)雜一些的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解可能會(huì)存在困難。這時(shí)，借助圖形符號(hào)——線段圖的幫助，可以讓數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)潔明了。如學(xué)生問(wèn)教師的年齡時(shí)，教師說(shuō)：“當(dāng)我是你這么大時(shí)，你才3歲，當(dāng)你到我這么大時(shí)，我已經(jīng)39歲了。請(qǐng)問(wèn)老師今年多少歲？”對(duì)于沒(méi)經(jīng)過(guò)此類問(wèn)題專門訓(xùn)練的學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解年齡問(wèn)題中抽象的數(shù)量關(guān)系確實(shí)存在一定的難度。但是，通過(guò)線段圖的幫助，如圖2，學(xué)生很容易能看出：師生的年齡差×3+3=39歲，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過(guò)不同數(shù)學(xué)符號(hào)的切換表達(dá)變得簡(jiǎn)單易懂，既充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號(hào)在解決實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)越性，又能促使學(xué)生自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)去解決實(shí)際問(wèn)題。

三、自主合作探究，體驗(yàn)符號(hào)表達(dá)的多樣性

符號(hào)是針對(duì)具體事物對(duì)象而抽象概括出來(lái)的一種簡(jiǎn)略的記號(hào)或代號(hào)。數(shù)字、字母、圖形、關(guān)系式等構(gòu)成了數(shù)學(xué)的符號(hào)系統(tǒng)。嚴(yán)格意義上來(lái)說(shuō)，漢字是從象形文字演化過(guò)來(lái)的，也是一種符號(hào)表達(dá)。東北師范大學(xué)史寧中教授指出：“無(wú)論在哪個(gè)學(xué)段，都應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生用自己獨(dú)特的方式表示具體情境中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，這是發(fā)展學(xué)生符號(hào)感的決定性因素?！币?yàn)槊總€(gè)學(xué)生積累的數(shù)學(xué)符號(hào)經(jīng)驗(yàn)是不一樣的，因此他們經(jīng)常用自己獨(dú)特的、富有個(gè)性化的符號(hào)表示具體情境中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。如在“乘法分配律”的教學(xué)中，我讓學(xué)生用自己喜歡的符號(hào)把乘法分配律表示出來(lái)。學(xué)生中很多有創(chuàng)意、個(gè)性化的方法就展現(xiàn)了出來(lái)。

生：（5+4）×3=5×3+4×3。

生：（甲數(shù)+乙數(shù)）×丙數(shù)=甲數(shù)×乙數(shù)+甲數(shù)×丙數(shù)。

生：△×（□+○）=△×□+△×○。

生：（a+b）×c=a×b+a×c。

在小組合作交流的過(guò)程中，學(xué)生充分感受到了符號(hào)表達(dá)的多樣性，喚醒了潛藏的符號(hào)意識(shí)，激發(fā)了符號(hào)創(chuàng)作的潛力和欲望。

當(dāng)然，創(chuàng)造出有個(gè)性化的數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)還是有難度的，而且很多數(shù)學(xué)符號(hào)經(jīng)過(guò)歷史演變，已經(jīng)具有了其特定的含義。如“+、-、×、÷”分別表示特定的運(yùn)算意義，“=、≈、<、>”則表示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的某種關(guān)系等。我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中要讓學(xué)生多了解一些數(shù)學(xué)符號(hào)的演變過(guò)程，在對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)史教育的同時(shí)保護(hù)和鼓勵(lì)他們符號(hào)創(chuàng)造的積極性，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解符號(hào)的明確性和規(guī)定性。

四、探索變化規(guī)律，了解符號(hào)推理的一般性

當(dāng)學(xué)生初步掌握了利用符號(hào)和關(guān)系術(shù)語(yǔ)來(lái)表達(dá)已經(jīng)簡(jiǎn)約化的事物之后，就要引導(dǎo)學(xué)生能從具體的數(shù)學(xué)情境中抽象出簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號(hào)表達(dá)出來(lái)。要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)假設(shè)和推理建立數(shù)學(xué)模型，在一般意義上描述一類事物的特征或規(guī)律，進(jìn)而凸顯符號(hào)推理的一般性。

在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)第62頁(yè)第13題時(shí)，可以先讓學(xué)生分組合作，用學(xué)具擺一擺，用筆畫一畫，再讓學(xué)生利用交互式電子白板的幾何畫板功能和復(fù)制、拖拽等功能，在白板上把各小組的探究結(jié)果進(jìn)行交流匯報(bào)。

在探索過(guò)程中，要讓學(xué)生初步體會(huì)建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，即從具體到抽象，從特殊到一般，逐步揭示小棒的根數(shù)與擺成圖形的內(nèi)在聯(lián)系，最終引導(dǎo)學(xué)生用含有字母的代數(shù)式3n+1表示“擺n個(gè)正方形需要3n+1根小棒”的變化規(guī)律，從而把學(xué)生的思維和推理提高到一個(gè)更高的層次。同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生利用抽象出來(lái)的規(guī)律解決擺21個(gè)正方形（當(dāng)n=21時(shí)）需要的小棒數(shù)量，也可以適當(dāng)拓展，引導(dǎo)學(xué)生利用規(guī)律解決用76根小棒能擺出多少個(gè)正方形的問(wèn)題。在探索變化規(guī)律的過(guò)程中，要幫助學(xué)生積累從特殊到一般尋找規(guī)律的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，找到探索規(guī)律的方法，體會(huì)探索規(guī)律過(guò)程中的深度體驗(yàn)。要引導(dǎo)學(xué)生把握問(wèn)題的共性，體驗(yàn)符號(hào)推理的一般性，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言正確地表達(dá)其所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

符號(hào)意識(shí)更多地表現(xiàn)為以學(xué)生為主體的一種主動(dòng)使用符號(hào)的想法，其發(fā)展僅靠單純的訓(xùn)練和模仿難以達(dá)到應(yīng)有的效果。教學(xué)中要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生在感受數(shù)學(xué)符號(hào)特質(zhì)的同時(shí)形成積極的情感體驗(yàn)，把使用數(shù)學(xué)符號(hào)內(nèi)化為學(xué)習(xí)過(guò)程中的自覺(jué)行為，在不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)中發(fā)展符號(hào)意識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭毓信.“數(shù)感”“符號(hào)感”與其他—課程標(biāo)準(zhǔn)大家談[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002.

[2]史寧中.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2017.

[4]吉姆·奈特.高效教學(xué)：框架、策略與實(shí)踐[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2017.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）