徐 鵬

（上海交通大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院，上海200240）

0 引言

現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)方法（Modern Design of Experi-ment，MDOE）基于隨機(jī)實(shí)驗(yàn)法和正交實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)模型等方法。Ronald Fisher 基于傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)方法發(fā)現(xiàn)采用隨機(jī)實(shí)驗(yàn)法（即不按原有實(shí)驗(yàn)順序）可以有助于發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差來提高實(shí)驗(yàn)精度。這一發(fā)現(xiàn)被認(rèn)為是傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)方法與現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)方法的分水嶺［1］。而當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)太多時，可以從全部實(shí)驗(yàn)中挑選出一部分有代表性的水平組合進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并對結(jié)果進(jìn)行分析找出最優(yōu)組合，這就是正交實(shí)驗(yàn)法的核心思想。與傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)方法相比，現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)方法通過隨機(jī)實(shí)驗(yàn)識別系統(tǒng)誤差，提高實(shí)驗(yàn)精度。采用正交系統(tǒng)模型的思想能避免資源浪費(fèi)，提高實(shí)驗(yàn)效率，目前廣泛應(yīng)用于生物、數(shù)學(xué)和物理等領(lǐng)域。

現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)一般包括以下5 種類型：（1）篩選設(shè)計(jì)，當(dāng)研究因子個數(shù)在6～15個時，需要用篩選設(shè)計(jì)來確定對響應(yīng)影響最大的2～5 個關(guān)鍵因子。這往往在對當(dāng)前過程知識掌握程度較低時發(fā)生，一般通過篩選設(shè)計(jì)及實(shí)驗(yàn)后，還需進(jìn)行過全因子或者半因子實(shí)驗(yàn)來確定關(guān)鍵因子。（2）因子設(shè)計(jì)，為了考察因素的主效應(yīng)和感興趣的交互作用，用各因素的全部或者部分處理進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，使得需要考慮的效應(yīng)不被混雜的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。因子設(shè)計(jì)包括單因子設(shè)計(jì)、全因子設(shè)計(jì)和部分因子設(shè)計(jì)。一般因子設(shè)計(jì)的因子為2～5 個。而部分因子設(shè)計(jì)中往往采用正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，通過挑選出部分有代表性的組合進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，這些有代表的點(diǎn)具有均勻性和整齊性。（3）響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)，利用多元二次回歸方程來擬合因素與響應(yīng)值之間的函數(shù)關(guān)系，通過對回歸方程的分析來尋求最優(yōu)工藝參數(shù)，解決多變量問題的方法。一般響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)的因子為2～7個。（4）混料設(shè)計(jì)，調(diào)查的產(chǎn)品由多組分組成。例如，開發(fā)混合4 種化學(xué)成分的殺蟲劑。在最簡單的混料實(shí)驗(yàn)中，響應(yīng)取決于這些成分的相對比例。相比較而言，因子設(shè)計(jì)中的響應(yīng)則隨每個因子的數(shù)量而變化。（5）田口設(shè)計(jì)，其宗旨是從產(chǎn)品的設(shè)計(jì)到制造過程中，通過控制源頭的質(zhì)量來抵御下游生產(chǎn)工藝波動或其他不可控因素的干擾，例如溫濕度、材料老化及制造誤差等。其設(shè)計(jì)重點(diǎn)在于最小化過程變異，或者使產(chǎn)品或過程對環(huán)境變化最不敏感［2］。

1 實(shí)際案例

1.1 主因篩選及水平確定

某線材公司生產(chǎn)用校直器軸承經(jīng)常發(fā)生提前失效，導(dǎo)致產(chǎn)品缺陷率居高不下。針對該現(xiàn)象公司頭腦風(fēng)暴討論列出以下8種潛在影響軸承失效的因素：軸承材料、潤滑脂初始填充量、補(bǔ)充潤滑周期、補(bǔ)充潤滑脂填充量、潤滑脂類型、載荷、軸承轉(zhuǎn)速及軸承密封性。最終通過評估這些因素是否可以量化控制、控制難易度和控制方法篩選出主要因素為：潤滑脂初始填充量（A）、補(bǔ)充潤滑周期（B）、補(bǔ)充潤滑填充量（C）和潤滑脂類型（D）。主要因素的水平取值范圍選擇過程如下。

潤滑脂初始填充量（A）：本例中潤滑脂填充為在軸承側(cè)填充，按經(jīng)驗(yàn)公式在正常清潔狀況下，潤滑脂初始填充量為軸承座自由空間體積的40%。而在軸承工作轉(zhuǎn)速低，且需要對污染進(jìn)行有效防護(hù)時，需要填充100%軸承內(nèi)自由空間體積的潤滑脂。軸承內(nèi)的自由空間體積計(jì)算公式如下。

其中V為軸承內(nèi)自由空間體積，B為軸承寬度，D為外徑，d為內(nèi)徑，M為軸承質(zhì)量。將軸承參數(shù)代入計(jì)算得出本例潤滑脂初始填充量水平取值范圍為2.7～3.0 g。

補(bǔ)充潤滑周期（B）：SKF 為清潔工況下補(bǔ)充潤滑周期提供經(jīng)驗(yàn)查詢表，在較嚴(yán)重的外界污染物下，SKF還給出對加脂周期tf的修正建議。計(jì)算方法為根據(jù)n·dm·bf及載荷比C/P值在經(jīng)驗(yàn)圖表中查詢。其中，tf為補(bǔ)充潤滑周期，n為軸承轉(zhuǎn)速，dm為平均直徑，bf取決于軸承類型和載荷條件的軸承系數(shù)，C/P 為載荷比。另外，SKF還建議了n·dm的限制值來提供最短的加脂周期建議。將本例軸承參數(shù)代入公式計(jì)算得出補(bǔ)充潤滑周期的水平取值范圍為2～7周。

補(bǔ)充潤滑填充量（C）：補(bǔ)充潤滑填充量公式如下。

其中Gp為補(bǔ)充潤滑脂量，D 為軸承外徑，B 為軸承寬度。將軸承參數(shù)代入計(jì)算得出補(bǔ)充潤滑填充量為Gp=0.6 g。結(jié)合本例中加油槍的最小加脂量為0.2 g，補(bǔ)充潤滑填充量的水平取值范圍定為：0.2～1.0 g。

潤滑脂類型（D）：潤滑脂的選用需要考慮與軸承的實(shí)際運(yùn)行速度相適應(yīng)。從潤滑脂選用建議手冊中查詢得知：通用型潤滑脂D2 是符合要求的。而從公司實(shí)際出發(fā)，當(dāng)前使用的潤滑脂D1 為軸承的專用潤滑脂，其價格比潤滑脂D2 低近25%，如果D1 能夠滿足軸承潤滑要求，為了便于潤滑脂管理及減少維修成本，公司無須新增D2 型潤滑脂。所以潤滑脂類型水平為D1型和D2型。

1.2 選擇正交表及正交表表頭設(shè)計(jì)

常見的正交表有L4（23），L8（27），L16（215），L9（34），L27（313），L16（45）等。以L8（27）為例：L代表正交表，L下角的數(shù)字8表示有8橫行，即需要做8次實(shí)驗(yàn)，括號內(nèi)的數(shù)字2 表示因素有兩個水平，括號內(nèi)的數(shù)字7 表示有7 縱列，即最多允許安排的因素為7 個。本例中除了考察因素A、B、C、D 的影響外，還需考慮A 與B、A與C 的交互作用A×B，A×C。每個因素有兩個水平，共4 個因素，每個因素的自由度為1。實(shí)驗(yàn)考慮兩個交互作用，每個交互作用的自由度為1，所以總自由度為6，而根據(jù)正交表自由度大于等于各因素自由度和交互作用自由度之和，及選用最小號正交表的原則［3］，最終選擇L8（27）正交表進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?？梢钥闯稣槐碛幸韵聝蓚€特點(diǎn)：（1）每一列中，每一個因素的每個水平在實(shí)驗(yàn)總次數(shù)中出現(xiàn)的次數(shù)相等。（2）任意兩個因子列的不同水平搭配出現(xiàn)的有序數(shù)列，每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相等。所以正交表中的各因素水平組合在所有水平組合中的分布是均衡分散和整齊可比的。正交表表頭設(shè)計(jì)中，對交互作用的分配需要按交互作用表進(jìn)行分配，具體分配方式在論文中詳細(xì)提及［3］。將各因素水平代碼替換成具體的水平設(shè)定開始實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)安排及順序如表1所示，實(shí)驗(yàn)結(jié)束將軸承失效個數(shù)填入表1中的結(jié)果列。

1.3 結(jié)果分析

對于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的處理分析通常有兩種方法，一是直觀分析法，又叫極差分析法；另一種是方差分析法。下面用兩種方法對比分析正交實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

1.3.1 極差分析法

極差分析法的分析步驟如下：首先對每次實(shí)驗(yàn)各因素的水平一的實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算出和的平均值k1。然后對每次實(shí)驗(yàn)各因素的水平二結(jié)果計(jì)算出和的平均值k2。再求出兩水平和的平均值k1 與k2 的極差R，最后將R 由大到小排序以判斷因素影響程度。極差分析結(jié)果如表1 所示。極差分析的判斷原則為：極差越大，所對應(yīng)的因素影響越重要。所以由上述極差排序可知各因素影響程度為B>C>A>D。另外，根據(jù)各因素水平所對應(yīng)結(jié)果的平均值大小可以確定各因素的最優(yōu)水平取值。如果指標(biāo)期望越大越好，則取平均值越大的水平；如果期望指標(biāo)越小越好，則取平均值越小的水平。由此可知，本例中的要求指標(biāo)為越小越好，所以按極差分析法得出的最優(yōu)水平為A2B1C2D2。

1.3.2 方差分析法

方差分析是用于區(qū)分所考察因子由于水平不同對應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差異是由于水平改變引起的還是由于實(shí)驗(yàn)誤差引起的，以便進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)男┮蜃訉Y(jié)果有影響，哪些沒有影響，并區(qū)分哪些是主要因素，哪些是次要因素。方差分析法的分析步驟如下：首先列出各因子的自由度、交互作用的自由度、誤差自由度和總自由度。然后求出上述各項(xiàng)對應(yīng)的偏差平方和再通過偏差平方和除以自由度，求出各項(xiàng)對應(yīng)的平均偏差平方和。然后根據(jù)平均偏差平方和除以誤差的平均偏差平方和，求出各項(xiàng)對應(yīng)的F值。最后通過F分布臨界值表F（αf1，f2）查詢得出對應(yīng)各項(xiàng)的P值。其中，F(xiàn)分布臨界值表中的橫行f1代表各項(xiàng)因子的自由度fA，豎行f2代表誤差的自由度f誤。查到的臨界值記作Fα，這里的α是預(yù)先給定的顯著性水平，若因子的F值≥Fα，那么就有（1-α）的把握說明因子的水平改變對結(jié)果有顯著性影響。一般常用的α值有α=0.01，α=0.05，α=0.10。當(dāng)FA大于F0.01（f1，f2）時，說明該因子水平的改變對實(shí)驗(yàn)結(jié)果有高度顯著影響，記作“***”；當(dāng)FA值介于F0.01（f1，f2）與F0.05（f1，f2）之間時，說明該因子水平的改變對實(shí)驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，記作“**”；當(dāng)FA值介于F0.10（f1，f2）與F0.05（f1，f2）之間時，說明該因子水平的改變對實(shí)驗(yàn)結(jié)果有一定影響，記作“*”。另外，對于影響不顯著的交互作用，需要依次去掉（F值最小的）并入誤差計(jì)算，然后再次進(jìn)行方差分析，得出最終分析結(jié)果。正交實(shí)驗(yàn)的方差分析結(jié)果如表2所示。

表1 L8（27）正交實(shí)驗(yàn)表及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表2 正交實(shí)驗(yàn)的方差分析

根據(jù)方差分析法的結(jié)果可知，因素B的水平改變對實(shí)驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，因素C的水平改變對實(shí)驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，因素A的水平改變對實(shí)驗(yàn)結(jié)果有一定影響，因素D 的水平改變對實(shí)驗(yàn)結(jié)果沒有影響，各因素影響程度為B>C>A>D。這樣，直觀分析法和極差分析法基本統(tǒng)一一致。

2 結(jié)語

在實(shí)際工作中會遇到很多參數(shù)優(yōu)化的項(xiàng)目，如果用傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)方法必將導(dǎo)致資源浪費(fèi)，效率低下。而通過現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)并且結(jié)合極差分析法與方差分析法來優(yōu)化分析，能有效提高實(shí)驗(yàn)效率，節(jié)約成本。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析是現(xiàn)代科學(xué)研究、產(chǎn)品質(zhì)量優(yōu)化中必不可少的一部分，所以掌握實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與相關(guān)分析方法至關(guān)重要。