董洋洋，左堃罡，韓少杰，張子建

(南京航空航天大學航天學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

雙輪式拋投機器人因其體積小、結構緊湊、運動能力強等特性，廣泛應用于探測與救援領域，然而由于工況需要常導致其輪轂發(fā)生高沖擊過載。常見的拋投式雙輪機器人輪轂形式為輪輻式、整球殼式及條幅式等，卡內基梅隆大學的Halloran等[1]設計了一種能承受高沖擊載荷的兩輪移動機器人 ，采用輪輻式輪轂形式，結構簡單、成本低，同時配備懸架系統(tǒng)能夠有效吸收沖擊的能量；Teeranoot等[2]設計并開發(fā)了一種基于柔性件的條幅式輪轂減震機器人，腿的剛度不僅是滿足行走需求，同時具有一定的緩沖效果，減小沖擊過程中的沖擊載荷；北航研發(fā)了一種新型的可變結構微型拋擲機器人的機械設計方案[3-4]，其輪轂形式采用整球殼式結構，當機器人下落時候保持球形，保證良好的沖擊狀態(tài)；北京理工大學設計了一種雙輪式拋擲式半自主偵察機器人[5-6]，在與地面沖擊時利用橡膠輪胎的彈性形變進行緩沖吸能，并通過有限元仿真分析和沖擊實驗證明該機器人具有良好的抗沖擊能力。

雙輪式拋投機器人輪轂的承載能力對于機器人的安全性十分重要，由于拋投機器人在拋投墜落過程中無姿態(tài)控制，因此與地面碰撞方向存在隨機性，采用球形輪轂以確保與地面撞擊接觸時各向的同一；拋投機器人的接觸力大小與撞擊速度以及機器人整體質量有關，因此輪轂的設計采用多孔結構可以有效降低輪轂質量及剛度，在沖擊過程中輪轂具有較大形變能力，增大沖擊緩沖距離以得到更好的緩沖性能。C60分子是一種由60個碳原子構成的分子，具有較好的力學性能及空間穩(wěn)定性[7]，它為本文新型雙輪式拋投機器人輪轂設計提供了思路。

本文基于C60結構的承載優(yōu)勢，設計雙輪式拋投機器人的輪轂結構的最優(yōu)參數(shù)，同時根據(jù)結構載荷分布情況，以張拉結構為載荷分布優(yōu)化單元對C60結構載荷分布進行優(yōu)化，在實現(xiàn)雙輪式拋投機器人的輪轂結構功能的基礎上改善其力學性能，提高結構強度和穩(wěn)定性。

1 C60模型建立

C60分子具有較好的力學性能及空間穩(wěn)定性，根據(jù)C60的空間In對稱性可對C60分子結構進行數(shù)學建模[8]。

取正二十面體體心為坐標原點O，坐標軸z為正二十面體的一個五重軸，且過點F及F1；取與F和F1相鄰的頂點分別為A、B、C、D、E和A1、B1、C1、D1、E1；取x軸與AF棱在同一平面，即AF棱在xOz平面上，同時取A點坐標為[a，0，c]；并根據(jù)x軸和z軸確定y軸方向，坐標系如圖1所示。

根據(jù)正二十面體與C60的幾何特點可得到

(1)

圖1 C60分子個點坐標計算示意

R為正二十面體外包絡球半徑，由于z軸是正二十面體的五重軸，因此繞z軸對A進行旋轉操作On，可得與A等價的4個點B，C，D，E的坐標值為：

(2)

(3)

根據(jù)正二十面體的結構特點，利用空間反演法得到

(4)

劉紅等[9-10]在C60分子中原子坐標的計算中引入調節(jié)參數(shù)λ并定義λ=截去棱長/原棱長。截去A、F、B3個角，在AF棱上得到2個頂點，在AB棱上得到2個頂點，AD1和BD1上各得到1個點，其坐標向量表示為

(5)

繞z軸按On進行旋轉，則可得到30個節(jié)點坐標，剩余30個點坐標根據(jù)空間反演法獲得。同時根據(jù)C60結構形式，將棱按其幾何特征按已定坐標系由上至下分為13層進行表示，以xOz平面為基準面，逆時針標定棱長標號分別為1，2，3，…，n，則可得到13層桿件編號。

2 C60框架結構靜力學分析

2.1 C60框架剛度矩陣建立

C60框架結構的結構強度及整體剛度與其調節(jié)參數(shù)λ有關，為了得到其強度及剛度與調節(jié)參數(shù)λ的關系，將C60框架結構模型看作是一種剛架結構，利用剛度及陣法計算各桿件的最大等效力及整體結構的力-位移曲線。本文對C60框架結構性能的研究針對外載荷指向結構幾何中心，分別作用于五邊形節(jié)點和六邊形節(jié)點2種情況下進行，如圖2所示?？臻g剛架單元每個節(jié)點具有6個自由度(ux,uy,uz,θx,θy,θz)，對于有n個節(jié)點的剛架結構，則其整體剛度矩陣K為6n×6n的矩陣。由圖2可知，C60框架結構具有60個節(jié)點，因此該結構的整體剛度矩陣K為360×360。

圖2 C60剛架結構模型及約束

2.1.1 單元剛度矩陣建立

(6)

坐標轉換矩陣為：

(7)

(8)

矩陣r的9個元素分別為局部坐標系坐標軸與整體坐標系坐標軸之間的夾角余弦值[12]。利用坐標轉換，則可將桿單元在局部坐標系下的單元剛度矩陣轉化為整體坐標系下的單元剛度矩陣，即

(9)

2.1.2 C60框架整體剛度矩陣構造

(10)

由式(10)C60結構的整體剛度矩陣，計算節(jié)點受力與節(jié)點位移之間的關系為

K360×360Δ360×1=P360×1

(11)

Δ360×1為節(jié)點位移；P360×1為節(jié)點外力矩陣。K360×360一般為奇異矩陣，考慮剛體模型實際約束情況，對于編號為i的固定支座約束，采用主對角元置1法，同時將總剛度矩陣K360×360中第6i～6i-5行及列的元素置0[16]。

2.2 桿的內力分析

對C60框架中桿件內力及節(jié)點受力進行分析為

(12)

其中uij中的向量參數(shù)可由式(11)解得Δ中的參數(shù)取得，從而得到節(jié)點受力的大小。根據(jù)Von.Mises準則，假設C60剛架結構中所有桿件單元均為理想單元，當忽略桿件單元的彎曲及扭轉影響時，對于節(jié)點等效應力則確定為

(13)

σ和τ分別為桿件所受拉應力及剪應力，同時根據(jù)之前假設，其桿件單元為理想桿件，桿件截面處應力處處相等，則對式(13)左右兩端同乘單元截面積則可得到桿單元節(jié)點等效力表達式為

(14)

3 結構載荷優(yōu)化及仿真

3.1 最優(yōu)截取比例λ

由于截取比例對C60剛架結構的整體受力影響較大，因此針對正二十面體截取比例λ對C60剛架結構的承載能力影響進行分析，以HP3DHR-PA12尼龍為例，建立C60剛架結構的MATLAB數(shù)學模型，設置材料參數(shù)：E=1 800 MPa;G=643 MPa;μ=0.4;ρ=1.15 g/cm3;正二十面體外接球半徑R=200 mm;桿件單元截面為圓，截面半徑r=3 mm;載荷P=30 N，指向結構幾何中心。仿真分析結果如圖3所示，在上述仿真條件的基礎上同時分析研究C60剛架結構剛度與截取比例之間的關系，如圖4所示。

圖3 λ對整體結構受等效力最大值Fmax影響

由圖3可知：C60在五邊形受力時，桿件單元等效力隨λ增大逐漸減小，而六邊形受力時桿件單元等效力隨λ先減后增，當λ在0.100至0.350之間幾乎恒定，且2條曲線相交于λ=0.395。

圖4 截取比例λ對F-s曲線影響

由圖4可看出：當五邊形受力時，C60剛架結構的F-s曲線在λ=0.300處整體剛度最?。涣呅问芰r，C60剛架結構的F-s曲線在λ=0.350處整體剛度最小。由于C60剛架整體剛度近似呈定剛度趨勢，因此在計算中可由K=F/s近似計算C60剛架整體剛度。截取比例λ對結構整體剛度影響情況如圖5所示。

圖5 截取比例λ對結構整體剛度影響

由圖5可分析，當截取比例λ取0～0.150時，C60剛架結構整體剛度呈指數(shù)級遞減，λ變化對結構整體剛度影響較大；當截取比例λ取0.150～0.450時，其對結構整體剛度幾乎無影響；而當截取比例λ取0.450～0.500時，其剛度呈遞增趨勢。根據(jù)結構功能要求，拋投機器人在沖擊過程中其輪轂需具有較高強度，同時還需滿足較小剛度，對比分析圖3～圖5，當截取比例λ=0.395時，其C60鋼架結構的整體承載能力最好，同時整體結構剛度較低。

3.2 C60框架外載荷分布優(yōu)化

拋投機器人在與地面發(fā)生撞擊時，其輪轂與輪胎之間的接觸方式一般有3種情況：輪轂某一節(jié)點與輪胎之間接觸擠壓；輪轂某條棱(某兩節(jié)點)與輪胎之間接觸擠壓；輪轂某一多邊形所有棱(所有節(jié)點)與輪胎之間擠壓接觸。在最優(yōu)λ取值下，對以上3種情況進行分析。當截取比例λ=0.395時，對五邊形和六邊形輪轂與輪胎之間的3種接觸方式不同截荷分布條件下C60剛架受力散點情況如圖6所示。

圖6 最優(yōu)截取比例下不同載荷分布條件下

對比圖6a、圖6b和圖6c可知，當載荷分布于五邊形單個節(jié)點時，其桿件單元等效力最大值為22.7 N，載荷分布于五邊形某2個節(jié)點時，桿件單元等效力最大值為15.2 N，載荷均布于五邊形5個節(jié)點時，其載荷最大值為8 N，同時載荷均布于五邊形5個節(jié)點時相對于其他兩種情況，各桿件單元等效力分布較為均勻，因此結構整體承載能力較前兩者有較大提升；對比圖6d、圖6e和圖6f，其載荷分布狀況與五邊形承載相似，當載荷均布于六邊形6個節(jié)點時,其桿件單元最大值為9.4 N，相對于其他2種承載方式，桿件單元等效力最大值較小，同時各桿件單元等效力分布均勻，具有較好的承載能力。

根據(jù)圖7所示的ABAQUS仿真應力云圖可知，較單點或2點受力情況，載荷均布于五邊形或六邊形所有節(jié)點的應力云圖具有較好的對稱性，受力均勻，結構穩(wěn)定性好，同時根據(jù)圖8對比最優(yōu)截取比例下C60剛架結構ABAQUS與MATLAB仿真結果基本一致，可證明理論計算的可靠性與正確性，由于MATLAB與ABAQUS仿真在節(jié)點處理方式上有所不同，MATLAB中節(jié)點為理想剛性節(jié)點，不具備材料參數(shù)，而ABAQUS建模中對節(jié)點進行材料填充，致使兩者F-s圖之間存在微小誤差。

圖7 最優(yōu)截取比例下不同載荷分布條件下C60剛架ABAQUS仿真應力云圖

圖8 C60剛架結構ABAQUS與MATLAB仿真F-s對比

3.3 C60張拉輪轂橫向對比仿真分析

為了改善富勒烯框架結構的受力條件，同時根據(jù)圖7及圖8的仿真結果，本文提出在輪轂框架結構孔洞處設計張拉結構，結構簡單，其張拉形式具有較好的承載與散力性能，同時在張拉中心節(jié)點上可放置阻尼塊，將輪轂與輪胎之間的擠壓力轉換為沿張拉繩方向的拉伸力，可將作用于阻尼塊上的作用力有效地均勻分配在C60框架多邊形節(jié)點上，其結構示意如圖9所示。

圖9 張拉結構承載示意

本文對比同外輪廓體積、同質量、不同形式的輪轂，并進行力學仿真分析，仿真模型如圖10所示。仿真條件：外輪廓直徑D=350 mm；輪轂材料為HP3DHR-PA12高性能尼龍；輪轂質量m=135 g；載荷大小P=30 N，載荷方向取輪轂軸向及側向。

圖10 不同輪轂形式相同條件下模型對比

不同輪轂形式軸向承載ABAQUS仿真應力云圖如圖11所示。不同輪轂形式軸向承載F-s曲線如圖12所示。

由圖11及圖12可知:輪輻式輪轂結構軸向剛度小，變形量大，對沖擊方向性要求較高；條幅式輪轂，具有較好的軸向承載性能，受力易變形，有利于沖擊過程中的變形緩沖，但在受側向力作用時由于結構限制，整體穩(wěn)定性較差；球殼式輪轂整體承載能力相對較差，應力較為集中，不利于結構的整體承載，同時其剛度相對于其他3種較大，易使得沖擊過程中拋投機器人內部機械結構及電子器件過載過大而失效； 相對于上述3種輪轂承載的力學特點，本文提出的仿C60張拉結構輪轂具有較好的強度及剛度特性，整體承載性能較優(yōu)，軸向承載最大等效應力σa,max=6.23 MPa，側向承載最大等效應力σl,max=8.68 MPa，張拉形式具有較好的承載與散力特性，應力分布較為均勻，同時具有較好的承載全向性，結構受力整體性好且不易失穩(wěn)。綜合考慮剛度及強度要求，本文提出的仿C60張拉結構輪轂具有較好的實用性。

圖11 不同輪轂形式軸向承載ABAQUS仿真應力云圖

圖12 不同輪轂形式軸向承載F-s曲線

4 結束語

本文基于C60模型提出了一種以多邊形張拉結構為載荷分布優(yōu)化單元的雙輪式拋投機器人仿富勒烯張拉結構輪轂，通過理論及仿真分析，表明該輪轂具有較好的剛度特性與承載特性，其力學性能優(yōu)于傳統(tǒng)雙輪式拋投機器人輪轂。