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        向量與條件交匯 破解與探究共存
        ——2019年北京卷理第7題

        2020-10-19 09:20:50汪浩淼
        數(shù)理化解題研究 2020年28期
        關(guān)鍵詞:充分條件余弦定理真題

        汪浩淼

        (安徽省馬鞍山市和縣第三中學(xué) 238200)

        一、真題在線

        A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

        C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

        本題把平面向量與充要條件的判斷加以合理組合,以充要條件的判斷為“脈”,同時以平面向量的夾角與模的大小關(guān)系為“絡(luò)”,組成一個網(wǎng)絡(luò)體系,加以合理邏輯推理及其應(yīng)用.并在此基礎(chǔ)上改變平面向量的夾角條件與模的大小關(guān)系加以進(jìn)一步探究與拓展,深入理解與掌握,提升能力與素養(yǎng).

        二、真題解析

        方法1:(余弦定理法)

        點評通過平面向量所對應(yīng)的余弦定理法,根據(jù)充要條件的判斷,從兩個角度加以分類討論,結(jié)合平面向量的線性運算與模的平方運算轉(zhuǎn)化為平面向量的數(shù)量積的正負(fù)情況,與對應(yīng)的平面向量的夾角情況對比,得以正確判斷.

        方法2:(平方轉(zhuǎn)化法)

        點評結(jié)合平面向量的線性運算,通過平面向量的模的平方運算加以等價轉(zhuǎn)化,得以確定對應(yīng)的平面向量的數(shù)量積的正負(fù)取值情況,結(jié)合平面向量的夾角的性質(zhì)與數(shù)量積的關(guān)系,即可得以正確判斷.

        方法3:(平面幾何法)

        點評結(jié)合以BC為直徑的圓O的直觀圖形,結(jié)合平面向量加法的幾何意義以及圓的性質(zhì)加以直觀分類討論,進(jìn)而得以正確判斷.從而也為點A在以BC為直徑的圓O外、上、內(nèi)三個不同的位置關(guān)系中以探究與拓展提供圖形,進(jìn)而得以有效類比與推廣.

        三、變式拓展

        A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

        C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

        A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

        C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

        例題(2017·全國Ⅱ文·4)設(shè)非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則( ).

        A.a(chǎn)⊥bB.|a|=|b| C.a(chǎn)∥bD.|a|>|b|

        解析由|a+b|=|a-b|可得|a+b|2=|a-b|2,則有a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,即4a·b=0,則有a⊥b,故選擇答案:A.

        四、規(guī)律總結(jié)

        涉及平面向量的夾角問題,特別與之對應(yīng)的平面向量的數(shù)量積的正負(fù)取值問題,還要注意兩平面向量平行的情況,當(dāng)中涉及兩平面向量方向相同與方向相反問題,對應(yīng)夾角為零角與平角.特殊在一些夾角的判斷的求解過程中,容易出現(xiàn)遺漏或混淆而導(dǎo)致錯誤,要引起高度的重視.

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