張映雄

(云南省紅河州蒙自市第一高級(jí)中學(xué) 661199)

齊次式在高中階段是比較常見(jiàn)的一種結(jié)構(gòu)，也是高考?？嫉囊环N結(jié)構(gòu).但是齊次式的用法比較零散，很多學(xué)生都是在解題過(guò)程中斷斷續(xù)續(xù)地學(xué)過(guò)用過(guò)，但是可能連自己都沒(méi)意識(shí)到自己用的就是齊次式.本文將齊次式在高中階段的用法做一些歸納整理，希望對(duì)各位讀者有所啟發(fā).

在實(shí)際應(yīng)用中，齊次式經(jīng)常會(huì)與三角公式、正弦定理、等比數(shù)列、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、離心率、斜率等知識(shí)相結(jié)合，形式多種多樣.下面將列舉一部分齊次式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

一、齊次式在三角函數(shù)中的應(yīng)用

解2sin2α=cos2α+1是隱藏的齊二次方程.

小試牛刀【2015廣東 文】已知tanα=2.

二、齊次式在解三角形中的應(yīng)用

例2(2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù))△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A；

由于0°

小試牛刀(2018全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ文)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，則△ABC的面積為_(kāi)___.

三、齊次式在均值不等式中的應(yīng)用

小試牛刀(2012浙江)若正數(shù)x,y滿(mǎn)足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是( ).

四、齊次式在等比數(shù)列中的應(yīng)用

例4(2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù))已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5=3a3+4a1，則a3=( ).

A.16 B.8 C.4 D.2

小試牛刀(2015年新課標(biāo)2理科)等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=3，a1+a3+a5=21，則a3+a5+a7=( ).

A.21 B.42 C.63 D.84

五、齊次式在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

當(dāng)在出現(xiàn)二元變量時(shí)，若存在齊次式，可以通過(guò)乘除的方式，將二元變量降為一元變量，從而構(gòu)造函數(shù)求解.

因?yàn)閤>1時(shí)，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，故f(x)

因?yàn)閤>1時(shí)，g′(x)>0，所以函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，故g(x)

(1)求實(shí)數(shù)a的值，并判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)=m有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，且x11.

方法二：齊次式消元.

小試牛刀(2018屆四川省廣元市高第二次統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)的圖象在x=1處的切線方程；

六、齊次式在圓錐曲線中的應(yīng)用

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過(guò)定點(diǎn).

解(1)由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn).

牛刀小試(黑龍江省大慶市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第四次模擬(最后一卷)考試數(shù)學(xué)試題)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P，與拋物線C的交點(diǎn)為Q，且|QF|=2|PQ|.

(1)求p的值；