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        幾道2020年導(dǎo)數(shù)試題的新解法

        2020-10-19 09:21:16劉士香劉才華
        數(shù)理化解題研究 2020年28期
        關(guān)鍵詞:寧陽綜上泰安市

        劉士香 劉才華

        (1.山東省泰安市寧陽第一小學(xué) 271400;2.山東省泰安市寧陽第一中學(xué) 271400)

        例1(2020全國卷1文科20題)已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).

        (1)當(dāng)a=1時,討論f(x)的單調(diào)性;

        (2)若f(x)有兩個零點(diǎn),求a的取值范圍.

        解(1)f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減,在(0,+)上單調(diào)遞增(過程從略).

        當(dāng)x∈(-,-1)時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(-1,+)時,g(x)單調(diào)遞減,于是gmax(x)=g(-1)=e.又從而f(x)有兩個零點(diǎn)的充要條件為則的取值范圍為).

        例2(2020年全國卷1理科21題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

        (1)當(dāng)a=1時,討論f(x)的單調(diào)性;

        解(1)f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減,在(0,+)上單調(diào)遞增(過程從略).

        設(shè)h(x)=x2+2x+2-2ex(x>0),則h′(x)=2(x+1-ex).由熟悉的不等式ex≥x+1得h′(x)<0,所以h(x)在(0,+)上單調(diào)遞減,則h(x)0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(2,+)時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,從而

        例3(2020年全國2卷理科21題)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.

        (1)討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性;

        解(1)由f(x)=sin2xsin2x=2sin3xcosx得

        解法2由f(x)=sin2xsin2x=2sin3xcosx

        得|f(x)|=2|sinx||sinx||sinx||cosx|.

        將上述n個式子相乘得

        由|sinxsin22nx|≤1得

        |sin3xsin32xsin34xsin32n-1xsin32nx|

        (1)求b;

        (2)若f(x)有一個絕對值不大于1的零點(diǎn),證明:f(x)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.

        綜上,結(jié)論得證.

        例5(2020年高考山東卷第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

        (1)當(dāng)a=e時,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

        (2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

        (2)由題意知x>0且a>0.

        當(dāng)a≥1時,設(shè)F(a)=aex-1-lnx+lna,則F(a)在a∈[1,+)上單調(diào)遞增,則由熟悉的不等式ex≥x+1和lnx≤x-1得F(a)≥F(1)=ex-1-lnx≥x-lnx≥1,即當(dāng)a≥1時,有f(x)≥1;

        當(dāng)0

        綜上知a的取值范圍為a≥1.

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