廖永福

(福建省廈門第二中學(xué) 361009)

一、定義法

利用圓錐曲線的定義解題.

圖1

例1 如圖，已知動點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面ADD1A1及其邊界上運(yùn)動，若該動點(diǎn)P到棱A1D1與CD的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡是( ).

A．一條線段 B．一段圓弧

C．一段拋物線弧 D．一段橢圓弧

分析依題意，先把空間中“動點(diǎn)P到線A1D1與CD的距離相等”轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)“動點(diǎn)P到棱A1D1與到點(diǎn)D的距離相等”，再根據(jù)拋物線的定義，即可得出結(jié)論．

解答∵動點(diǎn)P到棱A1D1與CD的距離相等，P到CD的距離為PD，∴動點(diǎn)P到線A1D1與到點(diǎn)D的距離相等.

∴動點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)D為焦點(diǎn)，A1D1為準(zhǔn)線的拋物線.

又∵動點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面ADD1A1及其邊界上運(yùn)動，∴動點(diǎn)P的軌跡是一段拋物線.故選C．

點(diǎn)評本題考查立體幾何中的軌跡問題的解法，考查空間中點(diǎn)到直線的距離，正確運(yùn)用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．

例2 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是正方體棱上的一點(diǎn)(不包括棱的端點(diǎn))，若滿足|PA|+|PC1|=m的點(diǎn)P的個數(shù)為6，則m的取值范圍是____.

圖2

∵正方體有12條棱，點(diǎn)P的個數(shù)為6，∴這些橢圓與棱AB、AD、AA1、C1C、C1B1、C1D1各有一個交點(diǎn)，與其余6條棱無交點(diǎn).

點(diǎn)評本題以正方體為載體，考查橢圓的定義和性質(zhì)，直線與橢圓相交的條件，考查邏輯推理能力和空間想象能力等.正確運(yùn)用橢圓的定義是解題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題．

二、定理法

利用軌跡的基本定理解題.

例3 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BB1，A1B1的中點(diǎn)．點(diǎn)P在該正方體的表面上運(yùn)動，則總能使MP與BN垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡的周長等于( ).

分析我們知道，“過已知點(diǎn)且垂直于已知直線的動直線的軌跡是過已知點(diǎn)且與已知直線垂直的平面”.根據(jù)題意，動線段MP的軌跡是正方體過點(diǎn)M且垂直于BN的截面，動點(diǎn)P的軌跡是截面與正方體的交線(不含點(diǎn)M)，畫出交線，問題可解．

圖3

解答如圖，取CC1的中點(diǎn)G，連接DG、GM、MA，則MG∥BC.

∵BC⊥平面ABB1A1，∴MG⊥平面ABB1A1.

∵BN?平面ABA1B1，∴BN⊥MG.

∵四邊形ABB1A1是正方形，M，N分別是BB1，A1B1的中點(diǎn)，∴BN⊥AM.

又∵M(jìn)G∩AM=M，∴BN⊥平面ADGM.

∴使MP與BN垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡為矩形ADGM(不含點(diǎn)M).

點(diǎn)評本題主要考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間軌跡的基本定理，考查推理能力和空間想象能力等.確定動線段MP的軌跡是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

圖4

解答依題意，動點(diǎn)P的軌跡是以A為球心，PA=x為半徑的球面與正方體表面的交線．

點(diǎn)評本題主要考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查球的截面的性質(zhì)，考查函數(shù)圖象的識別和判斷.應(yīng)用“到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為球心，定長為半徑的球面”，確定點(diǎn)P的軌跡是解題的關(guān)鍵.綜合性強(qiáng)，屬于中檔題.

三、截面法

利用圓柱或圓錐的截面的性質(zhì)解題.

例5 如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動，使得△ABP的面積為定值，則動點(diǎn)P的軌跡是( )

A．圓 B．橢圓 C．一條直線 D．兩條平行直線

圖5

分析由△ABP的面積是定值，可得動點(diǎn)P到直線AB的距離也是定值，從而動點(diǎn)P的軌跡是以AB為軸的圓柱面與平面α的交線，根據(jù)圓柱的軸與平面α的位置關(guān)系可得答案．

解答∵△ABP的面積為定值，底邊AB的長一定，∴動點(diǎn)P到直線AB的距離為定值，∴點(diǎn)P在以AB為軸的圓柱的側(cè)面上.

∵點(diǎn)P也在平面α內(nèi)，∴點(diǎn)P在以AB為軸的圓柱側(cè)面與平面α的交線上.

∵平面α與圓柱的軸AB斜交，∴點(diǎn)P的軌跡為橢圓.故選B．

點(diǎn)評本題考查立體幾何中軌跡問題的解法，考查空間線面之間的位置關(guān)系等.利用圓柱的截面的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，注意圓柱的軸與截面所成的角不同時，得到的截面形狀也不同．屬基礎(chǔ)題.

四、坐標(biāo)法

建立直角坐標(biāo)系解題.

例6 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)P是平面AC內(nèi)的動點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線A1D1的距離等于點(diǎn)P到直線CD的距離，則動點(diǎn)P的軌跡是( ).

A.拋物線 B.雙曲線 C.橢圓 D.直線

圖6

分析因?yàn)辄c(diǎn)P是平面AC內(nèi)的動點(diǎn)，在平面AC內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P滿足的方程，即可知道動點(diǎn)P的軌跡.

解答建立平面直角坐標(biāo)系如圖，作PE⊥AD于E、EF⊥AD交A1D1于F，連結(jié)PF.則PE⊥EF，PF是點(diǎn)P到直線A1D1的距離.

設(shè)P(x,y)，則 |PF|2=|PE|2+|EF|2=x2+1.

作PN⊥CD于N，則|PN|=|1-y|.

故動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，選B.

點(diǎn)評本題將立體幾何中的動點(diǎn)與解析幾何中的圓錐曲線巧妙地整合在一起，相互交匯和滲透，有利于考查學(xué)生運(yùn)用多學(xué)科知識解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題.

五、向量法

利用向量的性質(zhì)解題

例7 與正方體ABCD-A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn)( ).

A．有且只有1個 B．有且只有2個

C．有且只有3個 D．有無數(shù)個

分析顯然點(diǎn)D、B1滿足題設(shè)要求，猜想B1D上任一點(diǎn)都滿足要求，并證明之．

圖7

∴B1D上任一點(diǎn)到這個正方體的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離都相等．故選D．

點(diǎn)評本題主要考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間中點(diǎn)到直線的距離的求法，考查合情推理的能力和綜合運(yùn)用多學(xué)科知識解決問題的能力.綜合性較強(qiáng)，屬中檔題.

掌握了上述五種方法，就不難解答本文開頭引入的高考真題了，你能用幾種方法解答這道題呢？

從上述實(shí)例可以看出，解答立體幾何中的軌跡問題關(guān)鍵要抓住兩個轉(zhuǎn)化：一是空間問題平面化；二是幾何問題代數(shù)化.根據(jù)題型特點(diǎn)，選擇合適的方法，再利用平面幾何、解析幾何和空間向量等知識來實(shí)現(xiàn)問題的順利解決.