王詠芳

(蘇州健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 太倉(cāng) 215411)

1 極限概念的引入

引例1：莊子(前369年—前286年，戰(zhàn)國(guó))曾寫道：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！碑?dāng)n越來越大時(shí)，棰越來越短，逐漸趨于0，這里從直觀上體現(xiàn)了極限思想。

引例2：劉徽(約公元225-295年，魏晉時(shí)代人)創(chuàng)造了用“割圓術(shù)”來計(jì)算圓周率的方法，從而開創(chuàng)了我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展中圓周率研究的新紀(jì)元。他從圓內(nèi)接正六邊形算起，依次將邊數(shù)加倍，以致算到內(nèi)接正3 072邊形的面積，從而得到圓周率π的近似值3.1416，后人為了紀(jì)念劉徽，稱這個(gè)數(shù)值為“徽率”。這里他已經(jīng)把極限的思想應(yīng)用于近似計(jì)算，這種方法比歐洲早了1 000多年。

利用兩個(gè)引例，以數(shù)學(xué)文化為背景，借助科學(xué)家們的真實(shí)事跡，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察，善于思考，善于總結(jié)。

2 極限概念的分析與解讀

2.1 數(shù)列極限

數(shù)列極限的(描述性)定義：在數(shù)列{xn}中，如果當(dāng)n無限增大時(shí)，xn無限地接近于確定的常數(shù)a，則稱當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，數(shù)列{xn}的極限為a，也叫做數(shù)列收斂于a；否則就稱數(shù)列是發(fā)散的。

解讀1 “n無限增大”：就是要求數(shù)列必須是無窮數(shù)列，也就是說極限問題中的數(shù)列必須是無窮數(shù)列。

解讀2 “確定的常數(shù)a”：是指唯一的常數(shù)，而后面的“否則”是指a的不唯一或不確定。

解讀3 數(shù)列的極限只有收斂或發(fā)散，二者只居其一也必居其一。發(fā)散的數(shù)列也可以叫做不收斂的、沒有極限的，還可以叫做數(shù)列極限不存在。

解讀4 “無限地接近于”、“趨向(于)”：這是兩個(gè)相同意義的文字描述，也是描述性定義的缺陷和不精準(zhǔn)所在。用下面兩個(gè)收斂數(shù)列解說：

解讀5 既然是總體的變化趨勢(shì)，那么數(shù)列的前有限項(xiàng)的變化：變項(xiàng)值、去除、添加等，對(duì)數(shù)列的極限不產(chǎn)生影響，即可以有下面的定理：

定理 數(shù)列中去除、添加有限項(xiàng)后的新數(shù)列，其斂散性不變。

試想一下：{xn}與{kxn}(k≠0)的斂散性有變化嗎？

解讀6 數(shù)列的無窮多項(xiàng)的變化，將導(dǎo)致斂散性發(fā)生變化。

數(shù)列3a,a,a,…；

當(dāng)a=0時(shí)，數(shù)列3和數(shù)列4是數(shù)列2的兩個(gè)子數(shù)列，分別為奇數(shù)項(xiàng)子數(shù)列和偶數(shù)項(xiàng)子數(shù)列，也可以說是數(shù)列2去除無窮多項(xiàng)后的數(shù)列，因?yàn)閿?shù)列2是收斂的，所以數(shù)列3和數(shù)列4都是收斂的。

當(dāng)a=2時(shí)，數(shù)列3和數(shù)列4仍都是收斂的，若仍分別為奇數(shù)項(xiàng)子數(shù)列和偶數(shù)項(xiàng)子數(shù)列，則原數(shù)列是發(fā)散的。

2.2 函數(shù)極限

2.2.1 當(dāng)x→∞時(shí)的情形

類似地，可定義函數(shù)f(x)在x→-∞時(shí)或在x→∞時(shí)的極限。

解讀1 在描述性定義中，自變量趨于無窮(x→∞)時(shí)的函數(shù)極限與數(shù)列極限是相似的，主要區(qū)別是：函數(shù)中自變量可以不是正整數(shù)，是實(shí)數(shù)范圍；自變量的變化不要求單調(diào)的。

解讀2 記號(hào)“x→∞”稱為“x趨向于無窮(大)”，而實(shí)際上它細(xì)分為3種情形：x取正值無限增大，記作x→+∞，稱為“趨向于正無窮”；x取負(fù)值而無限增大，記作x→-∞，稱為“趨向于負(fù)無窮”；x可取正值也可取負(fù)值，而|x|無限增大，記作x→∞，稱為“趨向于無窮”。

2.2.2 當(dāng)x→x0時(shí)的情形

解讀1 自變量趨向于有限數(shù)(x→x0)是指自變量x并不要求等于(取到)x0，即：函數(shù)值f(x0)的有無或大小并不影響極限存在與否。

3 極限符號(hào)的書寫

總之，極限的概念是有眾多可以推敲的地方，是體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的場(chǎng)所，是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的練兵場(chǎng)。在教學(xué)過程中恰到好處地融入一些教育元素，使學(xué)科教育與思政教育做到和諧統(tǒng)一，更好地實(shí)現(xiàn)既教書又育人。