徐 冬，葉小彩，黃敏杰，邱克娥

(貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 貴陽 550018)

0 引言

1 預(yù)備知識

記I為實數(shù)集R上的一個子集，I0為I的內(nèi)部，Rα為分形空間上的實數(shù)集合，若aα,bα,cα∈Rα(0<α≤1)，則在Rα中代數(shù)運算[5,6]滿足：

(1)aα+bα∈Rα，aαbα∈Rα；

(4)aαbα=bαaα=(ab)α=(ba)α；

(5)aα(bαcα)=(aαbα)cα；

(6)aα(bα+cα)=aαbα+aαcα；

(7)aα+0α=0α+aα=aα，且aα1α=1αaα=aα.

定義1[5,6]設(shè)g:R→Rα,x→g(x)是一個不可微函數(shù)，如果對任意的ρ>0，總存在σ>0(其中ρ，σ∈R)，使得當(dāng)|x-x1|<σ時，有|g(x)-g(x1)|<ρα，則稱不可微函數(shù)g(x)在x1處局部分?jǐn)?shù)階連續(xù)。如果g(x)在區(qū)間(c,d)上局部分?jǐn)?shù)階連續(xù)，則記為g(x)∈Cα(a,b).

定義3[5,6]g(x)∈Cα(a,b),a=t0

定義4[7]設(shè)R+=[0,+∞]，函數(shù)g:R+→Rα，對任意的x,y∈R+,t>0，有不等式g(tx+m(1-t))y≤tαg(x)+m(1-tα)g(y)成立，則稱g為定義在R+上的廣義m-凸函數(shù)(0

x(k-1) α；

引理4[4]設(shè)a

(1)

2 主要結(jié)果及其證明

(2)

證明：對(1)式用冪均值不等式有

(3)

(4)

由引理2可知

(5)

(6)

同理可得：

(7)

(8)

(9)

將(5)～(9)代入(4)式，并注意到

(10)

經(jīng)計算簡式可得(2)式，證畢。

(11)

(12)

同理：

(13)

(14)

(15)

將定理1的(4)、(10)以及(12)、(13)、(14)代入定理(9)式，經(jīng)計算簡式可得(11)式，證畢。

則下列帶有局部函數(shù)積分的不等式成立：

(16)

證明：對(3)式

(17)

再由引理2可得

所以

(18)

同理有

(19)

(20)

(21)

將(18)～(21)代入(17)中，通過計算化簡可知(16)式成立，證畢。