彭嶼雯　肖琴

摘要：“同心協(xié)力”（又稱“同心鼓”）是一項(xiàng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力拓展項(xiàng)目，本文結(jié)合相關(guān)基本物理力學(xué)知識——沖量定理、力向一點(diǎn)平移定理、剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程和碰撞的恢復(fù)系數(shù)公式等，建立了排球與鼓面碰撞的碰撞數(shù)學(xué)模型和鼓面傾斜角度數(shù)學(xué)模型。

關(guān)鍵詞：沖量定律;碰撞的恢復(fù)系數(shù);差分法;剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程

中圖分類號：G634.7文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1672-9129（2020）06-0185-02

Abstract："gungho"（alsoknownasthe"concentricdrums"）isateamcooperationabilitydevelopmentproject，thispapercombinedwiththebasicphysicalandmechanicalknowledge-impulsetheorem，forcetoalittletranslationtheorem，thedifferentialequationofrigidbodyfixedaxisrotationandrecoverycoefficientformulaofcollision，volleyballcollisionswithraisedcollisionmathematicalmodelisestablishedandtheraisedAnglemathematicalmodel.

Keywords：thelawofimpulse;recoverycoefficientofcollision;differencemethod;differentialequationofrigidbodyrotationwithfixedaxis

1問題的提出

“同心協(xié)力”項(xiàng)目的道具是牛皮雙面鼓，鼓身中間固定多根繩子，繩子在鼓身上的固定點(diǎn)沿圓周呈均勻分布，每根繩子長度相同。團(tuán)隊(duì)成員每人牽拉一根繩子，使鼓面保持水平。項(xiàng)目開始，球從鼓面中心上方豎直落下，隊(duì)員同心協(xié)力將球顛起，使其有節(jié)奏地在鼓面上跳動。顛球過程中，隊(duì)員只能抓握繩子的末端，不能接觸其他位置。項(xiàng)目所用排球270g。鼓面直徑40cm，鼓身高度22cm，鼓重3.6kg。隊(duì)員不少于8人，隊(duì)員之間距離不小于60cm。項(xiàng)目開始時，球從鼓面中心上方40cm處豎直落下，球被顛起的高度應(yīng)離開鼓面40cm以上，如低于40cm，項(xiàng)目停止。需使連續(xù)顛球的次數(shù)盡可能多。

建立數(shù)學(xué)模型解決問題：

（1）理想狀態(tài)，每個人都可以精確控制用力方向、時機(jī)和力度，試討論這種情形下團(tuán)隊(duì)的最佳協(xié)作策略，給出該策略下的顛球高度。

（2）在現(xiàn)實(shí)情形中，隊(duì)員發(fā)力時機(jī)和力度不可能做到精確控制，存在一定誤差，于是鼓面可能出現(xiàn)傾斜。建立模型描述隊(duì)員的發(fā)力時機(jī)和力度與某一特定時刻的鼓面傾斜角度的關(guān)系。設(shè)隊(duì)員人數(shù)為8，繩長為1.7m，鼓面初始時刻是水平靜止的，初始位置較繩子水平時下降11cm，表1中給出了隊(duì)員們的不同發(fā)力時機(jī)和力度，求0.1s時鼓面的傾斜角度。

（3）在現(xiàn)實(shí)情形中，根據(jù)問題2的模型，在問題1中給出的策略是否需要調(diào)整？如果需要，如何調(diào)整？

2模型假設(shè)

（1）每名隊(duì)員只控制一根繩;

（2）鼓與球之間的碰撞彈力遠(yuǎn)大于摩擦力和重力，對球的影響忽略不計;

（3）鼓的質(zhì)量遠(yuǎn)大于球的質(zhì)量，碰撞力的大小完全由鼓的質(zhì)量、大小和初速度決定;

（4）假設(shè)排球與鼓面碰撞的恢復(fù)系數(shù)與人造革PVC材料的恢復(fù)系數(shù)一致;

3符號說明

4模型的建立與求解

4.1問題一。由題意，牛皮鼓質(zhì)量mD遠(yuǎn)大于排球質(zhì)量mB，由動量定理，鼓面在碰撞結(jié)束后的vDO=0，本文將牛皮雙面鼓與排球碰撞過程看作排球從高處自由落體到鼓面，得到排球與鼓面的碰撞時間為△τ[1]

注：查資料知，鼓面與排球碰撞的恢復(fù)系數(shù)e和人造革PVC材料的恢復(fù)系數(shù)相近，取e=0.86[3]

針對排球碰撞鼓面前的運(yùn)動過程，使用速度位移公式

存在排球與鼓面碰撞的恢復(fù)系數(shù)計算公式[2]：

計算可得速度vDI

為節(jié)省人手，我們由8人拉鼓，結(jié)合動量定律，可以得到鼓與排球碰撞時的鼓面與排球之間的接觸力FN，初狀態(tài)隊(duì)員們對繩的拉力FT與繩和水平面的夾角θ0之間關(guān)系。建立模型：

編程求解，可得在給定顛球高度，發(fā)力方向和發(fā)力角度的對應(yīng)值。

4.2問題二。

對隊(duì)員進(jìn)行編號，并得到初始位置各隊(duì)員的拉力T0，繩與水平面角度θ0。

本題建模以剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程為中心，求解在表中各情況下的0.1s后，鼓的傾斜角度θ。

（1）無隊(duì)員提前用力：

將0.1s分為十等份，每份0.01s，第k份時的鼓面傾角為θk，0.1s時的鼓面傾角θ=θ10：

用以上公式聯(lián)立求解。

（2）有隊(duì)員提前用力：

該模型建立需要分步完成過程中的鼓傾角變化。

第一步：部分隊(duì)員提前0.1s過程中拉繩，鼓傾斜角為θa。

根據(jù)公式

可以求得θa。

第二步：全部隊(duì)員一起用力作用于鼓的0.1s中，令θ01=θa+θ0，F(xiàn)r21，F(xiàn)r1分別為這0.1s內(nèi)的兩個方向的合力，該過程鼓傾角為θ：

4.3問題三。

建立模型：

情況1：鼓處于水平，球豎直下落，假設(shè)的鼓一直處于水平，則球反數(shù)值下落，利用問題1

情況2：鼓因發(fā)力時機(jī)等原因出現(xiàn)傾斜，前后的過程合力方向沿一條直線，利用問題2

情況3：鼓因發(fā)力時機(jī)等原因出現(xiàn)傾斜，前后過程合力方向不沿一條直線，則建立一個下x，y，z軸的三維空間立體模型，θ與情況2相同，可得θ。

鼓在三維空間立體模型中，沿垂直于X軸的方向的轉(zhuǎn)動慣量J2[2]為：

由剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程[2]可得下式：

通過模型求解結(jié)果來看，本文建立模型忽略摩擦力，空氣阻力等的影響，現(xiàn)實(shí)中，空氣阻力等諸多要素都應(yīng)考慮。但是可以通過多次實(shí)驗(yàn)測得實(shí)際情況，將實(shí)驗(yàn)值與模型求解理論值進(jìn)行比較，并作誤差分析，改進(jìn)模型。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭煥武.自由落體與地面之間作用力公式的推導(dǎo).出版地：西昌學(xué)院學(xué)報·自然科學(xué)版，200703

[2]范欽珊主編.理論力學(xué).出版地：清華大學(xué)出版社，2004

[3]百度文庫.各材料的恢復(fù)系數(shù).