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        高溫作業(yè)專用服裝設(shè)計探析

        2019-10-06 14:58:35歐偉銘皇甫曉相
        現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè) 2019年27期
        關(guān)鍵詞:差分法

        歐偉銘 皇甫曉相

        摘 要:借2018年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽A題的背景與數(shù)據(jù),探討了高溫作業(yè)專用服裝設(shè)計問題,對于人體與外界對流換熱的情況,導(dǎo)出對應(yīng)熱傳導(dǎo)方程及其初邊值條件并利用差分法進(jìn)行數(shù)值求解,分別得出熱防護(hù)服內(nèi)部溫度隨時間和空間的分布。從減輕防護(hù)服重量角度出發(fā),解得在相關(guān)約束下熱防護(hù)服各層的最優(yōu)厚度。

        關(guān)鍵詞:熱傳導(dǎo)方程;差分法;廣度優(yōu)先;窮舉法;初邊值問題

        中圖分類號:TB 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:Adoi:10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.27.107

        1 問題重述

        (1)根據(jù)已知條件建立數(shù)學(xué)模型,計算溫度分布。

        (2)在環(huán)境溫度、IV層厚度、工作時間確定,皮膚外側(cè)的溫度低于47℃,且高于44℃的時間不超過 5 分鐘時,求II層最優(yōu)厚度。

        2 模型的建立與求解

        2.1 問題一模型的建立與求解

        問題一已知各層織物的厚度、環(huán)境溫度、工作時間及皮膚外側(cè)的測量溫 度,要求計算溫度分布。求解步驟如下:

        (1)以熱防護(hù)服 I 層與外界環(huán)境的邊界為原點,熱量傳遞方向為 x 軸建立坐標(biāo)系。

        (2)根據(jù)熱傳導(dǎo)方程建立各層織物的非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程并確定各層織物的邊界條件建立溫度分布模型。

        (3)通過顯式歐拉法逐步迭代,求出皮膚外側(cè)溫度關(guān)于空間位置及時間關(guān)系,從而得到溫度分布。

        (4)假人中心抽象為恒溫?zé)嵩矗瑢⑵つw內(nèi)層環(huán)境看作流體,增加對流換熱的情況考慮,來精確皮膚表層溫度的分布。

        在環(huán)境-熱防護(hù)服-皮膚外側(cè)系統(tǒng)中,原點為I層與外界環(huán)境的邊界,x的正向為熱量傳遞的方向。由于本題已假定熱傳遞僅沿垂直于皮膚方向進(jìn)行,可視為一維導(dǎo)熱問題,故可忽略y、z方向分量。又假人體內(nèi)的溫度控制在37℃恒定,故為0。

        因此,在本題中熱傳導(dǎo)方程可簡化為:

        a為熱擴散率。

        熱傳導(dǎo)方程組的構(gòu)建:熱量從環(huán)境中以熱傳導(dǎo)的方式由I層逐步向內(nèi)層傳遞,每層織物材料均有兩個導(dǎo)熱界面。根結(jié)合初始、邊界條件建立各層織物的熱傳導(dǎo)方程組。

        I層熱傳導(dǎo)方程:因本題僅考慮熱傳導(dǎo)一種傳遞作用,由 0 時刻的初始溫度,得到初始條件及邊界條件,對于 I 層:

        II 、III層熱傳導(dǎo)方程組:

        II層既與I層相鄰,又與III層相鄰,且兩種導(dǎo)熱界面均只有熱傳導(dǎo)一種作用。而IV層是空氣層,在狹小的空間內(nèi),我們可以忽略空氣的流動,即不考慮熱對流作用,則III層的導(dǎo)熱情況與II層類似。對于II 、III層有:

        其余層對于邊界條件的處理基本相同,不再贅述。

        在假人體內(nèi)中心,存在37℃的恒溫?zé)嵩?,以熱對流形式向周圍“吹?37℃的熱風(fēng)”,使皮膚內(nèi)層溫度穩(wěn)定在 37℃。

        附件數(shù)據(jù)的分析:

        用Excel 對附件5400組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。1645s前,皮膚外側(cè)溫度隨時間變化而上升;1645s后,皮膚外側(cè)溫度不隨時間的變化而改變。故前者為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過 程,后者為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程。

        皮膚邊界節(jié)點離散方程的建立:

        考慮皮膚表層邊界及外側(cè)部分。皮膚表層受到內(nèi)部流體的熱對流作用,對流換熱系數(shù)為h。此時邊界點 N 代表寬度為x/ 2 的元體。

        對該元體應(yīng)用能量守恒定律:

        對流換熱系數(shù)h的求解:

        本題存在穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱兩個階段,針對不同的階段,對流換熱系數(shù)具有不同形式:

        以上兩式分別為穩(wěn)定導(dǎo)熱和非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱情況下對流換熱系數(shù)的表達(dá)式。

        在問題一中,由于1645 秒后傳熱即達(dá)穩(wěn)態(tài)。故皮膚外側(cè)溫度分布模型取為第一式。由附件二中皮膚表層的數(shù)據(jù) t(i) 及皮膚外側(cè)溫度分布模型,可解得對流換熱系數(shù)h=8.612。代入式(*) 可求出皮膚表層溫度。

        如圖1所示,隨著位置不斷接近皮膚表層,溫度由 48℃ 穩(wěn)定到 37℃,這與 附件2數(shù)據(jù)一致 。

        2.2 問題二模型的建立與求解

        問題二已知熱防護(hù)服I、III、IV層的厚度、環(huán)境溫度、工作時間,要求II層的最優(yōu)厚度。本題將最優(yōu)厚度理解為達(dá)到該厚度時,熱防護(hù)服滿足工作條件且質(zhì)量最輕。

        2.2.1 單層織物優(yōu)化模型的建立確定對流換熱系數(shù)h

        問題二要求皮膚外側(cè)溫度不超過47℃,且超過44℃的時間不超過5分鐘。易知:

        只有在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的情況下,皮膚外側(cè)的溫度才會隨時間的變化而改變,故應(yīng)選擇非穩(wěn)態(tài)傳熱的對流交換系數(shù)。

        由附件二中皮膚表層的數(shù)據(jù)t(i)N 及皮膚外側(cè)溫度分布模型,可解得對流換熱系數(shù)h 。

        10830時間節(jié)點時,h為8.025且之后不再變化。即在該節(jié)點前為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程,之后為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程。本題考慮非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱階段,對該時間節(jié)點之前對流交換系數(shù)取平均值得 h 為 9.932。

        下面進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)的確定。

        目標(biāo)函數(shù):II 層織物厚度最小。

        由于織物材料密度確定,熱防護(hù)服質(zhì)量與該層織物厚度成正相關(guān),故只需 滿足II 層織物厚度 δ2最小,而δ2等于Δx2乘 n 。

        約束條件的確定:

        2.2.2 單層織物優(yōu)化模型的求解

        廣度優(yōu)先窮舉搜索法在本題應(yīng)用設(shè)計算法如下:

        (1)通過附件一中II 層厚度的范圍,結(jié)合給定的空間步長,求出迭代次數(shù)的范圍。

        (2)在迭代次數(shù)的范圍內(nèi),根據(jù) II 層厚度與空間步長及迭代次數(shù)的關(guān)系:δ2= Δx2×n, 結(jié)合第一問中的差分方程與邊值條件,對皮膚外側(cè)前 60 分鐘的溫度進(jìn)行迭代。

        (3)判斷此次迭代是否滿足約束條件。若滿足則記錄本次迭代次數(shù),并進(jìn)行下一次迭代,若不滿足則直接進(jìn)行下一次迭代。

        (4)不斷重復(fù)上述過程直到遍歷迭代次數(shù)范圍內(nèi)所有的數(shù)。

        (5)選取記錄的有效迭代次數(shù)中最小的值,這個最小值對應(yīng)的厚度即最優(yōu)厚度。

        2.2.3 單層織物優(yōu)化模型的結(jié)果

        由以上算法得最小的厚度為4.91mm。

        2.3 模型的改進(jìn)

        對I層織物與環(huán)境通過熱對流交換熱量的改進(jìn)如下:

        根據(jù)文獻(xiàn),實際中空氣存在流速,若忽略空氣流速對熱傳遞的影響,會對結(jié)果造成偏差,因此在分析外部空氣與I層防護(hù)服熱交換時要熱的對流交換,即在外部空氣與I層防護(hù)服熱交換中,得新邊界條件:

        h為空氣對流換熱系數(shù),t0為初始時刻外部空氣的溫度,t(τ,x) 為τ時刻,x位置處的溫度。

        其余的方程與邊值條件與之前相同。對新方程利用差分法進(jìn)行離散,得迭代公式:

        參考文獻(xiàn)

        [1]王補宣.工程傳熱傳質(zhì)學(xué)(上冊)[M].北京:科學(xué)出版社,1982.

        [2]楊世銘,陶文銓.傳熱學(xué)[M].第4版.高等教育出版社,2006.

        [3]窮舉搜索法[EB/OL].https://baike.baidu.com/item/E7A9 B7E4B8BEE6909CE7B4A2E6B395,2018-9-14.

        [4]徐建良,湯炳書.一維熱傳導(dǎo)方程的數(shù)值解[J].淮陰師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2004,3(3):210-214.

        [5]盧業(yè)虎.高溫液體環(huán)境下熱防護(hù)服裝熱濕傳遞與皮膚燒傷預(yù)測[D].上海:東華大學(xué),2013.

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