趙學遠，周紹磊，王帥磊，祁亞輝

(海軍航空大學， 山東 煙臺 264001)

隨著無人機技術的發(fā)展，以及戰(zhàn)場環(huán)境的變化，多無人機系統(tǒng)的編隊控制問題逐漸成為了學者們爭先研究的領域[1-2]，在近年來涌現出了豐碩的成果，如文獻[3]研究了帶有時延的多智能體系統(tǒng)的編隊控制，所設計的控制器能夠有效控制智能體形成期望編隊。文獻[4]提出了一種基于人工力場的控制方法，使得無人機在飛行過程中在虛擬力場作用下，形成期望的編隊。而隨著多智能體一致性理論的研究，將一致性應用于多無人機編隊控制當中的成果越來越多，而一致性編隊控制問題的解決反過來給一致性理論成果的發(fā)展提供了很大幫助[5-7]。

在無人機飛行過程中，極容易受外外界陣風的擾動，這類擾動具有隨機產生、短時有界的特點，其對多無人機系統(tǒng)編隊的控制品質造成了一定的問題，因此如何抑制這類短時有界擾動，提高系統(tǒng)的魯棒性極具有實際意義。而在現有文獻中，多是針對已知擾動或常數擾動進行的討論，如文獻[8]考慮了常數擾動存在時異構多智能體系統(tǒng)的一致性問題，所設計的控制器只能抑制常數擾動，對隨機產生的外界擾動并不能有效抑制。文獻[9-10]則都是針對已知擾動設計的控制器提高智能體系統(tǒng)魯棒性。

雖然也有部分文獻針對未知外界擾動展開研究，如文獻[11]為帶有時延的非線性多智能體系統(tǒng)設計了一致性控制器，有效抑制了一維白噪聲干擾。文獻[12]設計了H∞控制器，使得多智能體系統(tǒng)抵抗外界短時有界擾動影響，實現了系統(tǒng)的一致性控制，并借助線性矩陣不等式給出了一致性控制器的設計步驟。但是上述文獻中系統(tǒng)的通信拓撲結構均為固定的拓撲結構，但是無人機之間距離增大、障礙物阻擋等外界環(huán)境變化極易造成多無人機系統(tǒng)的通信拓撲結構發(fā)生變化。而固定拓撲條件下所得到的結論不能直接應用于有向切換拓撲體條件，因此降低對多無人機系統(tǒng)的通信拓撲約束，研究有向切換拓撲條件下的抗擾動問題更具有實際意義。

在無人機飛行過程中，會根據執(zhí)行任務不同將無人機分為領導者和跟隨者，在戰(zhàn)場環(huán)境中，不僅需要多無人機系統(tǒng)形成期望編隊，還希望編隊能夠追蹤期望軌跡，因此多無人機系統(tǒng)的編隊-追蹤控制問題更具有研究價值，其中領導者追蹤期望軌跡，跟隨者形成期望編隊。

本文針對有向切換拓撲條件下的多無人機系統(tǒng)編隊-追蹤控制問題展開研究，考慮無人機在飛行過程中受到外界短時有界擾動，設計H∞控制，實現了多無人機系統(tǒng)的編隊-追蹤控制，并對擾動由一定的抑制作用，滿足了暫態(tài)性能指標，提高了系統(tǒng)的魯棒性。

1 相關引理

引理1[13]圖G的Laplacian矩陣L至少有一個零特征值，其他非零特征值均具有正實部；如果有向圖G包含有一個有向生成樹，則0是L的簡單特征值，1N是其對應的右特征向量。

引理2[14]若矩陣W∈RN×N的所有特征值均具有正實部，那么存在一個正定矩陣Q使得

WTQ+QW>2αQ

其中0<α

2 問題描述

考慮多無人機系統(tǒng)中的無人機由二階動力學系統(tǒng)模型描述，在飛行過程中無人機受到陣風影響，陣風具有短時有界且隨機產生的性質，這與文獻[8]中的常數擾動和文獻[9-10]中的已知擾動具有很大不同。第i架無人機的動力學模型可刻畫為：

(1)

根據無人機執(zhí)行任務不同，將負責追蹤編隊中心軌跡的無人機稱為領導者，其他形成編隊的無人機稱之為跟隨者。領導者無人機序號為1，跟隨者無人機序號為2,…,N。

(2)

為了行文通順，在此給出平均駐留的定義。

定義1：隨著時間任意切換的多無人機系統(tǒng)內部通信拓撲結構圖Gσ(t)，在給定時間區(qū)間[t0,t)的平均駐留時間為

其中NB(t0,t)是多無人系統(tǒng)通信拓撲圖在時間[t0,t)內的切換次數。

3 一致性控制器設計

分別為領導者和跟隨者設計如下控制器

(3)

將領導者的控制器代入1號無人機可得

(4)

定義領導者實際狀態(tài)與編隊中心軌跡誤差為θ1(t)=x1(t)-r(t)，因此可以得到

(5)

(6)

將跟隨者的控制器代入2,…,N號無人機可得

(7)

令

ξ(t)=[ξ2(t),ξ3(t),…,ξN(t)]T可得

(8)

其中

θi(t)=xi(t)-hi(t)，i=2,…,N

(9)

定義：多無人機系統(tǒng)在形成期望編隊的過程中，如式(3)的控制器可使系統(tǒng)實現滿足暫態(tài)響應性能的H∞一致性控制，能夠有效抑制外部短時有界擾動，如果對于給定的擾動衰減指標γ>0，系統(tǒng)滿足如下兩個條件：

1) 當w(t)=0時，對于任意對給定的無人機初始狀態(tài)

(10)

2) 當w(t)≠0時，初始狀態(tài)為0時，多無人機系統(tǒng)的性能指標滿足

(11)

基于上述分析給出有向切換拓撲條件下控制器的設計步驟及對步驟設計合理性的證明。

步驟1選取反饋矩陣K1使得(A+BK1)是Hurwitz的，且式(11)成立。

步驟2選取常數0<α

步驟3求反饋矩陣K2=-BTP2。

(12)

其中σ是大于1的常數，P1為正定對稱陣。

(13)

其中，φ1=max(λ(Q))，φ2=min(λ(Q))，γ>0給定常數。

證明：由于作為領導者的1號無人機在多無人機系統(tǒng)的通信拓撲圖中，只能向跟隨者傳遞信息，而不能接收來自跟隨者的信息，因此拓撲圖的切換過程不會對其產生影響。

針對領導者構造Lyapunov函數

(14)

對式(14)求導可得

(15)

(16)

其中

根據Schur補引理可得，當且僅當式(12)成立時，Φ<0顯然成立

因此

(17)

對兩端同時積分可得

(18)

對于零初始條件可得

(19)

當w=0時，

(20)

對式(14)沿著式(20)求導可得

(21)

針對跟隨者，多無人機系統(tǒng)的通信拓撲結構發(fā)生變化會對其產生影響，因此構造分段的Lyapunov函數如下

(22)

對其求導可得

2wT(t)(FTQσ(t)?DTP2)θ2n

(23)

2wT(t)(FTQσ(t)?DTP2)θ2n

(24)

當w≠0時，

(25)

那么

(26)

(27)

其中

Θ2=Qσ(t)F?P2D

因為Qσ(t)≤φ1I,FFT≤φI，則

ATP2+P2A-2αP2BBTP2+βP2+

(28)

故可得

(29)

因此?(t)>0，故 恒成立

(30)

(31)

因此對兩端同時積分可得

(32)

因此對于零初始條件可得

(33)

因為?(t)=eσk(t-tk)，那么1

(34)

當w=0時，

(35)

對式(22)沿著系統(tǒng)(35)求導可得

(36)

由式(13)可得

ATP2+P2A-2αP2BBTP2+βP2<0

(37)

結合式(37)和式(36)可得

(38)

故

V2(t)

(39)

(40)

對式(39)和式(40)進行迭代計算可得

V2(t)≤e-βtμkV(0)

(41)

(42)

綜上按照所給步驟設計的控制器能夠實現多無人機系統(tǒng)的編隊-追蹤控制，并滿足暫態(tài)性能指標。

4 仿真驗證

將無人機考慮為由式(1)描述的二階模型，假設無人機三維空間運動相互解耦，多無人機系統(tǒng)的通信拓撲在圖1中隨機切換，在圖2中展示多無人機系統(tǒng)通信拓撲圖的切換過程。

圖1 多無人機系統(tǒng)通信拓撲示意圖

圖2 拓撲切換過程曲線

從拓撲圖圖中可得到相應的Laplacian矩陣，因為拓撲切換過程只對跟隨者產生影響，故為了簡便，在此只給出跟隨者之間的拓撲結構對應的Laplacian矩陣

設無人機受到的短時有界擾動函數為

其中

通過步驟1可求得

通過步驟2可求得

通過步驟3可求得

如圖3所示為無人機在t時刻無人機實際位置與期望編隊和編隊中心軌跡考慮暫態(tài)響應的誤差量曲線，由定義可知，當誤差量趨向于0時，領導者在編隊中心準確跟蹤軌跡r(t)，跟隨者形成期望的平行四邊形編隊.從圖3中發(fā)現經過3 s的振蕩，誤差量基本收斂于0，開始在0附近微小振蕩，且當4～5 s和8～12 s外界干擾作用下，振蕩幅度較小，尤其是在8～12 s期間，可以說對外界擾動抑制效果非常明顯，只在擾動產生(8 s)和擾動結束(12 s)時產生了很小的振蕩，對多無人機系統(tǒng)形成期望編隊并追蹤軌跡影響甚微，滿足了暫態(tài)性能指標。

圖3 考慮暫態(tài)響應誤差量曲線

在不考慮暫態(tài)響應所設計的控制器作用下，無人機實際位置與期望編隊和編隊中心軌跡的誤差量曲線如圖4所示，誤差量趨于零的過程耗時長且震蕩劇烈，當外界擾動作用時，振幅明顯增大，對比圖3中誤差量的變化過程，不考慮暫態(tài)響應所設計的控制器控制品質處于明顯劣勢。

為了清晰看出考慮暫態(tài)響應設計的H∞控制器對多無人機系統(tǒng)的控制效果，在圖5中展示了無人機在0.5 s和4 s時刻在空間中位置，下方為0.5 s時無人機位置，上方為4 s時無人機位置。從中可以看出4 s時刻領導者位于編隊中心，準確追蹤了期望軌跡，跟隨者形成了期望的平行四邊形編隊。

圖4 不考慮暫態(tài)響應誤差量曲線

圖5 無人機空間位置示意圖

5 結論

1) 設計了H∞一致性控制器能夠對外界擾動產生一定的抑制作用，提高了系統(tǒng)的魯棒性，且所受擾動為隨機短時有界擾動，對多無人機系統(tǒng)具有實際意義。

2) 所研究的多無人機的通信拓撲為有向切換拓撲，相比一般的有向拓撲或者無向拓撲而言，降低了通信要求，多無人機系統(tǒng)無需一直保持一種通信結構。

3) 本文實現了編隊-追蹤控制，使得多無人機編隊的領導者準確追蹤期望軌跡，跟隨者形成期望的時變編隊，相比只有編隊控制，更適應戰(zhàn)場環(huán)境需要。