李 寧 賀航飛
(海南省海南中學(xué) 571158)
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具. 導(dǎo)函數(shù)的零點在研究函數(shù)單調(diào)性和極值時起著關(guān)鍵作用. 有時候?qū)Ш瘮?shù)的零點存在但是不可求,這時就可以虛設(shè)零點參與接下來的解題. 下面從不同題型歸類剖析虛設(shè)導(dǎo)函數(shù)零點的應(yīng)用.
例1已知函數(shù)f(x)=ex-alnx(a∈R,a>0),證明:f(x)≥a(2-lna).
又g(0)=-a<0,g(a)=a(ea-1)>0,從而存在x0∈(0,a)使得g(x0)=0,且當(dāng)x∈(0,x0)時f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,+∞)時f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增. 從而f(x)≥f(x0)= ex0-alnx0.
評注本題f(x)的極小值剛好是最小值,而f′(x)的零點x0存在但不可求. 關(guān)于x0的信息集中在方程g(x0)=0中,借助此方程靈活變形,化簡f(x0)的解析式(設(shè)法將其中的指數(shù)結(jié)構(gòu)、對數(shù)結(jié)構(gòu)等復(fù)雜表達(dá)式換為較為簡單結(jié)構(gòu)).
例2已知函數(shù)f(x)=ex-x2,設(shè)x≥0,求證:f(x)>x2+4x-14.
證明設(shè)g(x)=f(x)-(x2+4x-14)=ex-2x2-4x+14(x≥0).則g′(x)=ex-4x-4,g″(x)=ex-4. 當(dāng)x∈(0,ln4)時,g″(x)<0,g′(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(ln4,+∞)時,g″(x)>0,g′(x)單調(diào)遞增. 又g′(0)=-3<0,g′(2)=e2-12<0,g′(3)=e3-16>0,于是存在x0∈(2,3)使得g′(x0)=0,此時ex0=4x0+4,且當(dāng)x∈(0,x0)時g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,+∞)時g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.
評注對于取不到等號的函數(shù)不等式的證明,在作差求導(dǎo)時往往會遇到導(dǎo)函數(shù)零點不可求的情形. 在用零點存在性定理確定零點所在區(qū)間時,應(yīng)盡可能讓這個區(qū)間長度變小. 在解析分析的過程中,可以先取一個大致區(qū)間,后期如果這個區(qū)間不能滿足需求,再回過頭調(diào)整這個區(qū)間.
例3 已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=(k-3)x-k+2(k∈Z). 當(dāng)x>1時,不等式f(x)>g(x)恒成立,求k的最大值.
評注分離參數(shù)后,問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(x)的最小值. 在審題時,題目求整數(shù)k的最大值,而不是求實數(shù)k的最大值,很有可能是k的最大值存在但不可求,只能估算. 本題也可以不分離參數(shù),采用先取特殊值必要性探路再證充分性的方法解決,即:由f(2)>g(2)得k<4+2ln2,由于k∈Z,從而k≤5. 容易證明當(dāng)k=5時f(x)-g(x)>0恒成立,故整數(shù)k的最大值為5.
例4 已知函數(shù)f(x)=ax2-x-lnx,a∈R. 若函數(shù)f(x)有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
(1)當(dāng)a≤0時,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,不可能有兩個零點.
(2)當(dāng)a>0時,設(shè)g(x)=2ax2-x-1,則二次函數(shù)g(x)開口向上且g(0)=-1<0,從而存在x0>0使得g(x0)=0,且當(dāng)x∈(0,x0)時g(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,+∞)時g(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為(0,1).
相關(guān)練習(xí):
2.已知函數(shù)f(x)=x2-x-xlnx,證明:f(x)存在唯一極大值點x0,且e-2 3.若k∈Z,當(dāng)x>1時,不等式xlnx+x>k(x-1)恒成立,求k的最大值. 4.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax2(a>0),若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)有唯一零點x0,證明:e-2